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Le funzioni goniometriche
Come si misurano gli angoli
Angolo è la parte di piano delimitata da due semirette a e b aventi l’origine V in comune.
Le due semirette sono i lati dell’angolo, il punto V ne è invece
il vertice. L’angolo che non contiene il prolungamento dei lati
viene detto convesso, quello che li contiene viene detto
concavo.
Ricordiamo poi che:
•
•
l’angolo nullo è l’angolo i cui lati sono coincidenti e ha
come punti solo quelli della semiretta dei lati
angolo
nullo
l’angolo giro è l’angolo i cui lati sono coincidenti e che
contiene tutti i punti del piano
angolo
giro
a
b
a
b
1
Le funzioni goniometriche
•
l’angolo piatto è l’angolo
prolungamento dell’altro
i
cui
lati
sono
Come si misurano gli angoli
uno
il
b
a
Angolo piatto
a
l’angolo retto è l’angolo che si ottiene tracciando la
bisettrice dell’angolo piatto
angolo retto
0
•
b
Un angolo poi si dice acuto se è minore di un angolo retto, si dice ottuso se è maggiore di un
angolo retto ma minore di un angolo piatto.
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Le funzioni goniometriche
Come si misurano gli angoli
Gli angoli si possono misurare in gradi oppure radianti.
Misurare in gradi
Il grado sessagesimale viene definito come la trecentosessantesima parte dell’angolo giro:
(1° = 1/360 di angolo giro)
Il grado non ha multipli, ma ha sottomultipli:
• il primo, corrispondente a 1/60 di grado, che ha come simbolo un apice;
• il secondo, corrispondente a 1/60 di primo, cioè a 1/3600 di grado, che ha come simbolo un
doppio apice.
ESEMPI
Esprimiamo in gradi, primi e secondi l’angolo 32,48°
32,48° = 32° + 0,48° = 32° + 0,48°  60 = 32° 28,8’ = 32° + 28’ + 0,8 60 = 32°28’48”
Esprimiamo in gradi, nella forma decimale, l’angolo 15°32’40”
15°32’40” = 15° + 32  (1/60)° + 40  (1/3600)° ≈ 15,544 (al millesimo di grado)
La conversione dai gradi alla forma decimale e quella contraria possono essere svolte con la
calcolatrice scientifica.
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Le funzioni goniometriche
Come si misurano gli angoli
Dato un angolo α di vertice C e la circonferenza avente centro nel
vertice dell’angolo e raggio r, si assume come misura di α il rapporto
tra la lunghezza
l dell’arco AB sotteso da α e il raggio r :
ℓ
misura di a =
r
Tale ampiezza non dipende dal raggio della circonferenza scelta. L’unità di questo nuovo sistema di
misurazione si chiama radiante.
Un radiante è l'ampiezza di un angolo al quale corrisponde un arco AB la cui lunghezza
raggio r.
l
è uguale al
ESEMPIO
lunghezza circonferenza rettificata 2p r
=
= 2p
raggio
r
Quindi un angolo piatto misura π e un angolo retto π/2
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Le funzioni goniometriche
Come si misurano gli angoli
In generale per passare da un sistema di misura ad un altro, si usa la proporzione
y : x =360°:p
Dove
x : misura dell’angolo in radianti
y : misura dell’angolo in gradi
ESEMPI
Troviamo la misura in radianti di un angolo di 32°15’
32°15' = 32,25°
x = 32,25 ×
®
32,25° : x = 360° : 2p
2p
» 0,56287
360
p
Troviamo la misura in gradi di un angolo di
y:
p
15
= 360° : 2p
®
y =
360 ×
2p
p
15
15 = 12°
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Le funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche fondamentali
Considerata la circonferenza goniometrica (avente centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani
ortogonali e raggio unitario ed un angolo α avente vertice nell’origine e un lato coincidente con il
semiasse positivo delle ascisse, indicato con P il punto di intersezione con la circonferenza,
chiamiamo:
• seno dell’angolo α, e scriviamo sin α, la funzione che ad α associa l’ordinata del punto P:
sin α = yp
• coseno dell’angolo α, e scriviamo cos α, la funzione che ad α associa l’ascissa del punto P:
cos α = xp
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Le funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche fondamentali
Qualunque sia l’ampiezza dell’angolo α, sia sin α che cos α non possono assumere valori inferiori a -1 o
valori superiori a 1; valgono quindi le limitazioni:
-1£ sina £ 1
-1£ cosa £ 1
•
Le funzioni seno e cose di α sono definite per qualunque angolo α e hanno quindi come dominio R;
il codominio è l’intervallo cha va da -1 a 1
•
Entrambe le funzioni sono periodiche di periodo 2π, cioè:
sin(a + 2k p ) = sina
cos(a + 2k p ) = cosa
k ÎZ
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Le funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche fondamentali
Riprendiamo la circonferenza goniometrica e tracciamo la
retta t ad essa tangente nel punto A(1,0); dato un angolo
orientato α, sia Q il punto in cui il secondo lato di α interseca
la retta t.
Chiamiamo tangente dell’angolo α, e scriviamo tan α, la
funzione che ad α associa l’ordinata del punto Q:
tan α = yQ
•
Il dominio della funzione tangente è l’insieme R ad esclusione dei punti
a=
p
2
+kp
il codominio è l’insieme R
•
La funzione è periodica di periodo π, cioè:
tan(a + k p ) = tana
k ÎZ
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Le funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche fondamentali
I grafici di y = sin x, y = cos x e y = tan x
Poiché le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π, costruiremo il grafico nell’intervallo
(0, 2π) dell’asse x e lo riporteremo rispettando la periodicità.
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Le funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche fondamentali
La funzione tangente è periodica di periodo π e conviene scegliere come intervallo base per la sua
rappresentazione, quello che va da
-
p
2
a
p
2
Il grafico che si ottiene va ripetuto in ogni intervallo successivo o precedente di ampiezza π.
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Le funzioni goniometriche
Le cofunzioni
Accanto alle funzioni goniometriche già viste se ne usano altre che prendono il nome di cofunzioni.
Si chiama cosecante di un angolo α, e si scrive cosecα, il reciproco
del seno dello stesso angolo, supposto sinα ≠ 0.
In simboli
coseca =
1
sina
Il dominio della funzione cosecante è l’insieme dei valori
In base alle limitazioni di sin α abbiamo che:
a Î R tali che a ¹ k p
coseca £ -1 Ú coseca ³ 1
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Le funzioni goniometriche
Le cofunzioni
Si chiama secante di un angolo α, e si scrive secα, il reciproco del
coseno dello stesso angolo, supposto cosα ≠ 0.
In simboli
sec a =
1
cos a
Il dominio della funzione cosecante è l’insieme dei valori
In base alle limitazioni di cos α abbiamo che:
a Î R tali che a ¹
p
2
sec a £ -1 Ú seca ³ 1
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Le funzioni goniometriche
Le cofunzioni
Si chiama cotangente di un angolo α, e si scrive cotanα, il reciproco
della tangente dello stesso angolo. Si pone cioè, supposto sinα ≠ 0,
cotana =
Il dominio è l’insieme dei valori

cos a
sina
reali tali che a ¹ k p
Il codominio coincide con l’insieme dei numeri reali
La cotangente di

è l’ascissa del punto R
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Le funzioni goniometriche
Le relazioni fondamentali
Due relazioni fondamentali legano tra loro le funzioni goniometriche:
1^ relazione fondamentale della goniometria
2^ relazione fondamentale della goniometria
sin2 a + cos2 a = 1
sina
tana =
cos a
per qualunque angolo α
con cos a ¹ 0
cioè
a¹
p
2
+kp
Dalle due relazioni ricaviamo che
sina = ± 1- cos2 a
cos a = ± 1- sin2 a
e che
sina = ±
tana
1+ tan2 a
cos a = ±
1
1+ tan2 a
Il segno viene scelto a seconda delle informazioni che si hanno su α.
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Le funzioni goniometriche
I valori delle funzioni goniometriche fondamentali
Dalle relazioni tra i lati dei triangoli rettangoli con gli angoli di 30° e 60° o di 45° si ottengono i
valori delle funzioni goniometriche fondamentali per angoli particolari.
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Le funzioni goniometriche
I grafici derivati
I grafici derivati
Dai grafici delle funzioni fondamentali possiamo dedurre, mediante l’applicazione di opportune
isometrie, quelli di altre funzioni.
Rappresentiamo il grafico di
y = 2sin x -1 .
Dopo aver disegnato la funzione di base y = sin x (in nero
nella figura), operiamo le seguenti trasformazioni:

•
y
p
O
dilatazione di fattore 2 lungo l’asse delle ordinate per
avere 2sin x ; in pratica basta raddoppiare le ordinate
del grafico base (grafico in blu)
p
-1
2
2p
3
p
2
x
traslazione di vettore v = (0,-1) sul grafico precedente
per ottenere 2sin x -1 (grafico in rosso).
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Le funzioni goniometriche
Gli angoli associati
Gli angoli i cui valori delle funzioni goniometriche sono “complessivamente” uguali a quelli di un
angolo α vengono detti angoli associati.
Ecco il primo gruppo di angoli associati
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Le funzioni goniometriche
Gli angoli associati
Ecco il secondo gruppo di angoli associati
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Le funzioni goniometriche
Le formule
Le formule di addizione e sottrazione
Le formule di addizione e sottrazione hanno lo scopo di determinare le espressioni del seno, del
coseno e della tangente della somma e della differenza di due angoli in funzione delle
corrispondenti funzioni goniometriche dei due angoli.
(
)
sin a - b = sina cos b - cos a sin b
(
)
cos a - b = cosa cos b + cos a cos b
sin a + b = sina cos b + cos a sin b
cos a + b = cos a cos b - sina sin b
(
)
tan a + b =
tana + tan b
1- tana tan b
(
)
(
)
(
)
tan a - b =
tana - tan b
1+ tana tan b
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Le funzioni goniometriche
Le formule
ESEMPI
(
)
2 3 -1
2 3
2 1
6- 2
sin15° = sin 45° - 30° = sin45°cos30° - cos 45°sin30° =
×
× =
=
2 2
2 2
4
4
(
)
(
)
tan105° = tan 60° + 45° =
tan60° + tan45°
3 +1
=
= -2 - 3
1- tan60°tan45° 1- 3
(
)
(
Calcoliamo il valore dell’espressione: cos 60° + a - cos 60° - a
(
)
(
)
)
(
cos 60° + a - cos 60° - a = cos60°cos a - sin60°sina - cos60°cos a + sin60°sina
)
= -2sin60°sina = - 3 sina
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Le funzioni goniometriche
Le formule
Le formule di duplicazione
Le formule di duplicazione degli angoli esprimono il valore delle funzioni goniometriche dell’angolo 2α
in funzione di quelle dell’angolo α. Tali formule si deducono da quelle di addizione, ponendo α = β
sin2a = 2sina cos a
cos2a = cos2 a - sin2 a =
2cos2 a -1
1- 2sin2 a
tan2a =
2tana
1- tan2 a
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Le funzioni goniometriche
Le formule
ESEMPI
Calcoliamo cos2a sapendo che sina =
3
5
æ3ö
7
2
cos2a = 1- sina = 1- 2 ç ÷ =
è 5 ø 25
2
Calcoliamo sin2a sapendo che sina =
æ 2ö
21
cos a = - 1- ç ÷ = 5
è5ø
2
2
e che α è un angolo ottuso.
5
2 æ 21 ö
4 21
÷=sina = 2 × × çç 5 è 5 ÷ø
25
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Le funzioni goniometriche
Le formule
Le formule di bisezione
Le formule di bisezione esprimono le funzioni goniometriche dell’angolo
sin
a
2
cos
tan
a
2
a
2
=±
1- cos a
2
=±
1+ cos a
2
=
a in funzione di quelle di α
2
sina
1- cos a
=
1+ cos a
sina
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Le funzioni goniometriche
Le formule
ESEMPI
cos15° = cos
sin22°30' = sin
30°
1+ cos30°
=
=
2
2
45°
1- cos 45°
=
=
2
2
1+
3
2 = 6+ 2
2
4
1-
2
2 = 1 2- 2
2
2
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Le funzioni goniometriche
Le formule
Le altre formule
Altre formule utili sono le seguenti:
•
le formule parametriche, che esprimono il seno, il coseno e la tangente di un angolo α funzione di
t = tan
a nell’ipotesi che sia a ¹ 180° + k 360°.
2
2t
sina =
1+ t 2
•
1- t 2
cos a =
1+ t 2
tana =
2t
1- t 2
le formule di prostaferesi
sin p + sinq = 2sin
p +q
p -q
cos
2
2
cos p + cos q = 2cos
p +q
p -q
cos
2
2
sin p - sinq = 2cos
e
p +q
p -q
sin
2
2
cos p - cos q = -2sin
p +q
p -q
sin
2
2
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Le funzioni goniometriche
•
Le formule
le formule di Werner
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
sina sin b = éëcos a - b - cos a + b ùû
2
1
cos a cos b = éëcos a - b + cos a + b ùû
2
1
sina cos b = éësin a - b + sin a + b ùû
2
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Le funzioni goniometriche
Le formule
ESEMPIO
(
)
(
)
Semplificano la seguente espressione: sin 45° - a × cos 45° - a -
(
1
cos2a
2
)
sin 45° - a = sin45°cos a - cos 45°sina
(
Formule di sottrazione
)
cos 45° - a = cos45°cos a + sin45°sina
cos2a = cos2 a - sin2 a
Formula di duplicazione
Quindi
æ 2
öæ 2
ö 1
1
2
2
ç
÷
ç
sin 45° - a cos 45° - a - cos2a = ç
cos a sina ֍
cos a +
sina ÷÷ - cos2 a - sin2 a =
2
2
2
è 2
øè 2
ø 2
(
)
(
(
)
)
æ 2
ö æ 2
ö 1
1
= çç
cos a ÷÷ - çç
sina ÷÷ - cos2 a + sin2 a = 0
2
è 2
ø è 2
ø 2
2
2
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