oscillatore armonico semplice.

FENOMENI OSCILLATORI
Prof.ssa Silvia Martini
L.S. “F. D’Assisi”
a.s. 2010-2011
Fenomeni oscillatori
Introduzione
I fenomeni oscillatori di tipo meccanico ed elettromagnetico, ci circondano
costantemente nella vita quotidiana. Esempi di oscillazioni meccaniche sono il
pendolo oscillante di un orologio, la corda di una chitarra che vibra; mentre esempi
di oscillazioni elettromagnetiche, sono quelle degli elettroni che si muovono
avanti e indietro nei circuiti responsabili della trasmissione e della ricezione di
segnali radio e TV.
La caratteristica comune di tutti questi sistemi oscillanti è la formulazione
matematica che descrive le loro oscillazioni.
Oscillatore armonico semplice
Oscillazioni meccaniche
Consideriamo il sistema meccanico massa – molla denominato oscillatore
armonico semplice.
Applicando la seconda legge di Netwon F = ma si
ottiene l’equazione dell’ oscillatore armonico
semplice, :
 kx  m
k
 
m
2
d 2x
dt 2
Ovvero: d x  k x  0
dt
m
2
2
ω = pulsazione o frequenza
angolare [rad/s].
la cui soluzione è una
funzione x(t) che
descrive la posizione dell’ oscillatore armonico
semplice in funzione del tempo.
Oscillazioni meccaniche
Oscillatore armonico semplice
Una soluzione dell’ equazione del moto dell’ oscillatore armonico semplice è:
x(t )  A sen(t   )
dove:
• A è lo spostamento massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio;
• (t   ) è la fase del moto;
•  è la fase iniziale o costante di fase.
L’ampiezza A e la costante di fase  dell’oscillazione sono determinate dalle
condizioni iniziali che sono lo spostamento e la velocità al tempo t0
Oscillatore armonico semplice
Oscillazioni meccaniche
Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T
A
T
2

 2
m
k
La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete
per unità di tempo, quindi:

T
1
1

T 2
k
m
Si ricava quindi la relazione che lega la pulsazione ω alla frequenza (o al periodo):
2
  2 
T
Oscillazioni meccaniche
Oscillatore armonico semplice
La posizione del corpo è:
A
x(t )  Asen(t   )
Derivando rispetto al tempo si ricava la velocità:
ωA
v(t )   A cos(t   )
Derivando ancora si ottiene l’andamento dell’accelerazione
in funzione del tempo:
ω2A
a(t )   2 A sen(t   )   2 x(t )
Considerazioni Energetiche
Oscillazioni meccaniche
Per il moto armonico di un sistema non soggetto a forze dissipative, l’energia
meccanica totale
E  K U
si conserva, cioè resta costante durante il moto.
L’energia potenziale U è in ogni istante:
U (t ) 
1 2 1
kx  kA2sen 2 (t   )
2
2
L’energia cinetica K è invece in ogni istante:
K 
1
1
mv 2  m 2 A2 cos 2 (t   )
2
2
K
1
1
mv 2  kA2 cos 2 (t   )
2
2
Considerazioni Energetiche
Oscillazioni meccaniche
L’ energia meccanica totale è quindi :
1 2
kA cos 2 (t   ) 
2
1 2
kA sen 2 (t   )
2
1 2
Etot  kA
2
Etot  K  U 
Essa è costante e ha il valore di
1 2
kA
2
Circuito LC
Oscillazioni elettriche
L’equivalente elettrico del sistema meccanico massa – molla, in assenza di attrito, è
il circuito LC :
Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha:
q
di
L
C
dt
con
dq
i
dt
quindi
d 2q 1

q0
2
dt
LC
d 2q
2


q0
2
dt
in cui
2 
1
LC
Circuito LC
Oscillazioni elettriche
Una soluzione dell’ equazione del circuito LC è:
q  Q0 sen t   
dove:
• Q0 è la carica iniziale sul condensatore ossia l’ ampiezza del moto oscillatorio;

• t    è la fase del moto;
•

è la fase iniziale o costante di fase.
L’ampiezza Q0 e la costante di fase
dalle condizioni iniziali.

dell’ oscillazione sono determinate
Oscillazioni elettriche
Analogia
È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:
d 2x k
 x0
2
dt
m
d 2q 1

q0
2
dt
LC
x(t )
q(t )
v(t )
i(t )
m
L
1
k
C
Considerazioni Energetiche
Oscillazioni elettriche
L’ energia elettromagnetica totale è:
1 2 1 q2 1
U  U B  U E  Li 
 L 2 Q02
2
2C 2
essa è costante e ha il valore di
1
L 2 Q02
2
Oscillatore Armonico smorzato
Oscillazioni meccaniche
Consideriamo un oscillatore armonico
smorzato da una forza viscosa :
Introduciamo la forza di attrito
viscoso :
f att  v
che è proporzionale alla velocità
tramite il coefficiente di attrito
viscoso 
Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :
 kx  v  ma

d 2 x  dx k

 x0
2
dt
m dt m
Oscillatore Armonico smorzato
Oscillazioni meccaniche
La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere :
d 2 x  dx k

 x0
2
dt
m dt m
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :


2m
k
0 
m
l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico smorzato diventa:
d 2x
dx
2

2



x0
0
2
dt
dt
Oscillatore Armonico smorzato
Oscillazioni meccaniche
Il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici dell’oscillatore.
Parametro relativo alla
forza di attrito
• Smorzamento debole
k
 20   2
2
4m
Parametro relativo alla
forza elastica
  02   2
reale
x(t )  A0 e  t sen(t   )
Oscillazioni meccaniche
Oscillatore Armonico smorzato
La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo
poiché è modulata da un esponenziale decrescente :
x(t )  A0 e  t sen(t   )
Circuito RLC
Oscillazioni elettriche
L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico smorzato è il circuito RLC :
Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha:
q
di
 L  Ri
C
dt
con
i
quindi
d 2 q R dq q


0
2
dt
L dt LC
dq
dt
Circuito RLC
Oscillazioni elettriche
La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi:
d 2 q R dq q


0
2
dt
L dt LC
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :
R

2L
1
0 
LC
l’ equazione differenziale del circuito RLC diventa:
d 2q
dq
2

2



q0
0
2
dt
dt
Oscillazioni elettriche
Analogia
È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:
d 2 x  dx k

 x0
2
dt
m dt m
d 2 q R dq q


0
2
dt
L dt LC

m
R
L
k
m
1
LC
Circuito RLC
Oscillazioni elettriche
Anche in questo caso, il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri
fisici del circuito.
• Smorzamento debole
q t   De sen t   
 t
con
  02   2
reale, cioè :
 20   2
Parametro relativo alla
conservazione della carica
Parametro relativo alla
dissipazione della carica
1 R2

C 4L
Circuito RLC
Oscillazioni elettriche
La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo
poiché è modulata da un esponenziale decrescente :
q t   De sen t   
 t
Oscillazioni meccaniche
Oscillatore Armonico forzato
Consideriamo ora un oscillatore armonico forzato:
applichiamo cioè all’ oscillatore
una forza esterna ad esempio
sinusoidale
F  F0 sen(  't )
in cui  ' rappresenta la pulsazione
della forza esterna
F  F0 sen( 't )
Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :
 kx  v  F0 sen  't  ma
F0
d 2 x  dx k
'


x

sen

t
2
dt
m dt m
m
Oscillatore Armonico forzato
Oscillazioni meccaniche
La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere:
F0
d 2 x  dx k
'


x

sen

t
2
dt
m dt m
m
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :


2m
k
0 
m
'
l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico forzato diventa:
F0
d 2x
dx
2
'

2



x

sen

t
0
2
dt
dt
m
Oscillatore Armonico forzato
Oscillazioni meccaniche
La soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime:
x(t )regime  A 'sen  ' t   '
Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza
esterna, anche se sfasato in ritardo rispetto ad essa avendo:
x(t )regime  A 'sen  ' t   '
F  F0 sen(  't )

2 ' 
 '  arctg   2
2 



'
0


Oscillatore Armonico forzato
Oscillazioni meccaniche
se
'   0
F0
A' 
m

1
2
0
  '2   4 2 '2
2
F0
A 
2m0
'
F0
x(t ) 
cos  't
2m0

2 ' 
 '  arctg  2
2



'
 0

 

2
• Spostamento in quadratura di fase con la
forza esterna
• Parametro dominante “  ” coefficiente di
smorzamento
Risonanza
Oscillazioni meccaniche
'
Grafichiamo A in funzione di
A' 
F0
m

 ':
1
2
0
  '2   4 2 '2
2
Con smorzamento molto piccolo la funzione
assume un massimo in condizioni di risonanza
:
'
  0
Circuito RLC con generatore di f.e.m.
Oscillazioni elettriche
L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico forzato è il circuito RLC
con generatore di f.e.m.:
Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha:
di q
 0 cos  t  L   Ri
dt C
'
quindi
con
d 2 q R dq q  o
'



cos

t
2
dt
L dt LC L
i
dq
dt
Circuito RLC
Oscillazioni elettriche
La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi:
d 2 q R dq q  o
'



cos

t
2
dt
L dt LC L
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :
R

2L
1
0 
LC
l’ equazione differenziale del circuito RLC con f.e.m. diventa:
0
d 2q
dq
2
'

2



q

cos

t
0
2
dt
dt
L
'
Analogia
Oscillazioni elettriche
È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:
F0
d 2 x  dx k
'


x

sen

t
2
dt
m dt m
m

m
k
m
F0
m
d 2 q R dq q  o
'



cos

t
2
dt
L dt LC L
1
R
LC
L
0
L
Circuito RLC con generatore di f.e.m.
Oscillazioni elettriche
Anche in questo caso la soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime:
Q(t )regime  Q0 sen  ' t   '
La carica sarà caratterizzata a regime dalla stessa pulsazione della f.e.m esterna
anche se sfasata in ritardo rispetto ad essa avendo:
Q(t )regime  Q0 sen  ' t   '
   0 cos( ' t )
Oscillazioni elettriche
Circuito RLC con generatore di f.e.m
La soluzione in corrente risulta essere la derivata della carica quindi :
i(t )regime  i0 cos  ' t   '
Affinché questa risulta essere soluzione, inseriamo la suddetta espressione
nell’ equazione del circuito in corrente:
o
d 2i R di
i


   'sen  ' t
2
dt
L dt LC
L
L’uguaglianza deve essere valida in qualsiasi istante e quindi devo essere uguali
'
i corrispondenti coefficienti di sen  t e cos  't al primo e al secondo
membro.
Circuito RLC con generatore di f.e.m
Oscillazioni elettriche
Imponendo le due identità si ottengono le seguenti relazioni:
i0 
0
1
R 2    ' L  ' 
C

1
 L '
C
tg '  
R
'
2
Risonanza
Oscillazioni elettriche
La condizione più interessante è quella di risonanza :
i0 
0
1
R 2    ' L  ' 
C

i0 
i (t ) 
0
R
0
2
 '  0:
1 

'

L

'


'

C
  arctg  

R




'0
R
cos  't
In condizioni di risonanza quindi il circuito si
comporta come puramente resistivo poiché la
corrente e la f.e.m. sono in fase
Risonanza
Oscillazioni elettriche
Riportiamo in seguito l’andamento della i0 e in funzione della
valori di resistenza:
Quindi la i0 assume il valore massimo per
1
  0 
LC
'
 ' per diversi
Risonanza
Oscillazioni elettriche
Risonanza :
Utile
per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei
sintonizzatori di onde elettromagnetiche.
Svantaggiosa quando le ampie oscillazioni generate provocano rotture nel
sistema: per esempio l’ azione del vento o di onde sismiche
su edifici, il passaggio di veicoli su ponti; in tali casi le
pulsazioni di risonanza devono essere molto diverse dalle
pulsazioni che l’ambiente circostante può imprimere al sistema.
CIRCUITI ELETTRICI
IN
CORRENTE ALTERNATA
Prof.ssa Silvia Martini
L.S. “F. D’Assisi” a.s. 2010-2011
Circuiti in corrente alternata
Analisi in regime alternato
Esaminiamo il comportamento in regime alternato sia dei singoli elementi
di
circuito (resistore, induttore, condensatore) che di alcune semplici
combinazioni in serie e in parallelo.
Resistore R
Applicando ai capi di un resistore una f.e.m.
   0 cos t
esso risulta essere attraversato dalla corrente i  i0 cos t
Ai capi del resistore compare la tensione in fase con
la corrente:
VR  Ri  Ri0 cos t  V0 cos t
tra i valori massimi sussiste la relazione:
V0  Ri 0
Circuiti in corrente alternata
Analisi in regime alternato
Induttore L
Per l’ induttore attraversato dalla corrente alternata
i  i0 cos t
si ha:
VL  L
di

  Li0 sen t  Li0 cos(t  ) 
dt
2

V0 cos(t  )
2
la tensione
VL è in anticipo di π/2 sulla corrente.
Tra i valori massimi sussiste la relazione:
Il termine ωL si chiama reattanza dell’induttore.
V0  Li0
Analisi in regime alternato
Circuiti in corrente alternata
Condensatore C
Per un condensatore attraversato dalla corrente alternata
i  i0 cos t
si ha:
dVC
iC
dt
i
i




VC  0 sen t  0 cos t    V0 cos t  
C
C 
2
2

la tensione VC è in ritardo di π/2 sulla corrente.
Tra i valori massimi sussiste la relazione:
Il termine
1 si chiama reattanza del condensatore.
C
i0
V0 
C
Circuiti in corrente alternata
Analisi in regime alternato
Serie RL
Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un induttore si ha:
i  i0 cos t

,
VR  Ri 0 cos t
,


VL  Li0 cos t  
2

La somma VR + VL ,tensione ai capi della serie,è data dal vettore
risultante V, il cui modulo V0 e la cui fase  rispetto ad i sono
espressi da:
V0  R   L i0
2
2 2
,
tg 
L
R
.
Tale tensione è in anticipo di fase sulla corrente e i valori massimi sono
proporzionali tra loro.
Circuiti in corrente alternata
Analisi in regime alternato
Serie RC
Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un condensatore si ha:
i  i0 cos t

,
VR  Ri 0 cos t
,
i0


VC 
cos t  
C
2

La somma VR + VC ,tensione ai capi della serie,è data dal vettore
risultante V, il cui modulo V0 e la cui fase  rispetto ad i sono
espressi da:
1
V0  R  2 2 i0
C
2
Tale tensione è in ritardo
proporzionali tra loro.
tg  
1
 RC
di fase sulla corrente e i valori massimi sono
,
Analisi in regime alternato
Circuiti in corrente alternata
Serie LC
In questo caso abbiamo solo i vettori VL e VC, paralleli e discordi, entrambi
ortogonali al vettore i:
i0




VL  Li0 cos t  
VC 
cos t  
i  i0 cos t
2
C 
2

se L  1
se L  1
C
C


V  V0 cos t  
2



V  V0 cos t  
2

1 

 1

V0   L 
i
V



L
0

i0
0
C 

 C

1 , V e V sono eguali ed opposti per cui la tensione V è uguale a zero.
Se L 
L
C
C
Circuiti in corrente alternata
Analisi in regime alternato
Serie RLC
In questo caso si ha:
i  i0 cos t
VR  Ri0 cos t
,
VC 


VL  Li0 cos t  
2

,
i0


cos t  
C
2

,
quindi :
V  V0 cost   
2
,
1 

V0  R 2   L 
 i0
C 

,
tg 
1
C
R
L 
Analisi in regime alternato
Circuiti in corrente alternata
Serie RLC
V  V0 cost   
2
,
1 

V0  R 2   L 
 i0
C 

,
1
L 
C
tg 
R
Si vede come al crescere di ω il circuito passi dalla situazione in cui
1
C
è preponderante rispetto a ωL (comportamento capacitivo) a quella in cui ωL
è preponderante rispetto a
1 (comportamento resistivo).
C
.
Circuiti in corrente alternata
Analisi in regime alternato
Impedenza serie
Quando attraverso uno o più elementi R,L,C in serie viene fatta passare una corrente
alternata
i  i0 cos t
la tensione ai capi della serie è:
V  V0 cos(t   )
Il valore massimo V0 è legato al valore massimo i0 della corrente da :
V0  Z 0i0
dove Z0 è detta impedenza della serie.
86
Analisi in regime alternato
Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata
Per l’analisi di circuiti semplici in configurazioni costituite da serie e paralleli degli
elementi R, L, C si adotta il metodo simbolico che si basa sulla rappresentazione
delle grandezze alternate f.e.m. e corrente con numeri complessi, aventi modulo
eguale al valore massimo e fase eguale alla fase della corrispondente grandezza
alternata.
La relazione tra la f.e.m. complessa e la corrente complessa è lineare. Il coefficiente
di proporzionalità (impedenza complessa) riassume in sè l’ effetto del circuito.
Quando gli elementi sono in serie l’impedenza totale è la somma delle singole
impedenze, quando sono in parallelo l’inverso dell’impedenza totale è la
somma degli inversi delle singole impedenze.
Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata
Analisi in regime alternato
L’impedenza totale di un generico circuito ha sempre una parte reale Zr, e una parte
immaginaria Zi che viene chiamata reattanza e indicata con la lettera X :
i
Z  Z 0 e  Z r  iX
,
Z0  Z  X
2
r
2
,
X
tg 
Zr