308/01 A.A. 2001/02 UNIVERSITA` DEGLI STUDI DI TRIESTE

308/01
A.A. 2001/02
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TRIESTE
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CORSO DI LAUREA
PROGRAMMA DEL CORSO DI
INGEGNERIA
ALGEBRA LINEARE ED ELEMENTI DI
GEOMETRIA
DOCENTE
Giovanni Landi
Strutture algebriche
Relazioni binarie. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza. Operazioni binarie.
Gruppi. Anelli. Campi. Anelli di polinomi in una variabile. Omomorfismi di strutture
algebriche. Isomorfismo.
Classi di resto modulo n.
Vettori geometrici e sistemi di riferimento
Vettori applicati nel piano e nello spazio. Somma di vettori. Vettori liberi nel piano e
nello spazio. Sistemi di riferimento. Origine, unità di misura, orientamento. Sistemi di
riferimento cartesiani nel piano e nello spazio. Lunghezza di un vettore. Prodotto
scalare. Prodotto vettoriale.
Spazi vettoriali
Spazi vettoriali reali e complessi. n-uple, componenti. Sottospazi vettoriali. Retta
vettoriale. Sottospazio somma. Combinazioni lineari. Spazio generato. Sistema di
generatori. Indipendenza lineare. Basi. Componenti di un vettore rispetto ad una base.
Completamento ad una base. Base canonica. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Teorema di Grassmann sulla dimensione della somma di spazi vettoriali. Somma
diretta di spazi vettoriali.
Matrici
Matrici a componenti in un campo. Matrici quadrate. Matrici base. Prodotto di matrici
riga per colonna. Matrice identica. Matrice trasposta. Matrice invertibile. Matrice
inversa. Gruppo lineare delle matrici invertibili. Rango di una matrice. Matrice
diagonale. Matrice triangolare superiore (inferiore). Matrice triangolare superiore
(inferiore) completa. Matrice ridotta per righe (per colonne). Elemento speciale.
Riduzione di matrici. Trasformazioni elementari sulle righe (sulle colonne).
Riduzione per righe (per colonne).
Sistemi lineari
Equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari. Soluzioni, compatibilita',
incompatibilita'. Matrice del sistema, matrice dei coefficienti. Sistema lineare ridotto.
Risoluzione dei sistemi lineari ridotti. Metodo delle eliminazioni successive.
Risoluzione dei sistemi lineari generali. Metodo pratico per la risoluzione dei sistemi
lineari. Teorema di Rouche'-Capelli. Sistemi lineari omogenei.
Applicazioni lineari
Definizione di applicazione lineare. Applicazione lineare associata ad una matrice.
Matrice associata ad un'applicazione lineare. Sottospazi associati ad un'applicazione
lineare: nucleo, immagine. Metodo pratico per il calcolo del nucleo. Metodo pratico
per il calcolo dell' immagine. Criterio di iniettivita', criterio di suriettivita', criterio di
isomorfismo. Matrice ed applicazione di rango massimo. Composizione di
applicazioni lineari. Applicazione invertibile, applicazione inversa. Matrici invertibili
ed isomorfismi. Calcolo della matrice inversa. Determinante di una matrice. Metodo
pratico per il calcolo del determinante. Minore complementare. Complemento
algebrico. Teorema di Laplace per il calcolo del determinante. Teorema di Binet.
Cambio di base in uno spazio vettoriale. Matrice del cambio di base. Trasformazione
per cambio di base della matrice associata ad un' applicazione lineare.
Diagonalizzazione di matrici
Endomorfismi. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Endomorfismi semplici.
Autovalori, autovettori, autospazi. Polinomio caratteristico di una matrice (di un
endomorfismo). Diagonalizzazione di una matrice. Metodo pratico per la
diagonalizzazione di una matrice.
Spazi euclidei
Prodotto scalare in uno spazio vettoriale. Prodotto scalare canonico in Rn, spazio
euclideo En. Lunghezza di un vettore. Ortogonalita'. Base ortonormale. Proiezione
ortogonale. Metodo di Gram-Schmidt per l'ortonormalizzazione. Matrici ortogonali,
ortogonali speciali. Matrici ortogonali e rotazioni. Matrici simmetriche ed
endomorfismi autoaggiunti. Diagonalizzazioni di matrici simmetriche.
Geometria lineare affine (euclidea)
Retta affine reale. Piano affine reale. Spazio affine reale. Sistemi di riferimento
cartesiani ortogonali. Traslazioni. Rette nel piano e nello spazio. Giacitura di una
retta. Equazione vettoriale e parametrica di una retta. Piani nello spazio. Giacitura di
un piano. Equazione vettoriale e parametrica di un piano. Parallelismo tra rette, tra
piani, tra rette e piani. Rette incidenti, rette e piani incidenti. Rette sghembe.
Intersezione tra rette nel piano e nello spazio. Intersezione tra piani nello spazio.
Intersezione tra rette e piani nello spazio. Equazioni normali della retta e del piano.
Rette ortogonali. Piani ortogonali. Ortogonalita' tra una retta ed un piano.
Coniche
Coniche come luogo geometrici. Parabola, iperbole, ellisse (circonferenza).
Equazione di una conica. Forma matriciale di una conica. Matrice dei coefficienti,
matrice della forma quadratica. Coniche degeneri. Forma canonica di una conica.
Riduzione a forma canonica di una conica. Metodo del completamento dei quadrati;
traslazioni. Diagonalizzazione della forma quadratica; rotazioni.