TESINA di ALGEBRA

SSIS Lazio, VIII Ciclo, Indirizzo FIM, A.A. 2006-07 II semestre - Luigi Cenci
Tesina di Algebra del corso di Laboratorio di Didattica della Matematica (prof. Paolo Maroscia)
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Tesina del corso di: Laboratorio di Didattica della Matematica (prof. Paolo Maroscia)
Specializzando:
Cenci Luigi (matricola 287409)
Titolo:
Illustrare tre risultati di Algebra delle Scuole Secondarie Superiori
1) Teorema sulle radici razionali (di un’equazione a coefficienti interi)
Se α è radice razionale dell’equazione di grado n  0 a coefficienti interi
a n x n  a n-1x n-1  a n-2 x n-2    a 2 x 2  a1x1  a 0  0 , con a n e a 0 entrambi non nulli,
p
allora   , con p e q interi non nulli divisori rispettivamente di a 0 e a n .
q
In particolare, se a n  1 (in tal caso l’equazione si dice monica), allora   p .
La dimostrazione, non difficile, richiede solo alcune proprietà elementari relative alla
divisibilità tra interi e ai numeri primi. Nonostante ciò, questo notevole risultato viene
solitamente presentato senza alcuna giustificazione, se non quella di costituire una “curiosa”
appendice del Teorema di Ruffini volta a risolvere equazioni in una incognita (o a fattorizzare
polinomi in una indeterminata) di grado superiore al secondo come, ad esempio,
4x 3  8x 2  7 x  5  0 , 27x 3  9x 2  12x  4  0 , 6x 4  11x 3  34x 2  55x  20  0 (1), costringendo
così gli studenti ad un procedimento per tentativi, perlopiù noioso e talvolta estenuante,
denominato Regola di Ruffini.
Non una parola viene spesa per sottolineare la valenza del teorema come criterio, semplice ma
efficace, per provare l’irrazionalità di una vasta gamma di reali tra i cosiddetti irrazionali
algebrici. Ad esempio, per provare che 2 non è razionale si può procedere:
 per via aritmetica: si suppone per assurdo che
2
m
, con m ed n interi non nulli
n
primi tra loro, …;
 oppure per via algebrica: si scrive x  2 , si razionalizza elevando al quadrato, ottenendo
così l’equazione monica a coefficienti interi x 2  2  0 di cui 2 è (per costruzione) radice;
osservato, poi, che i divisori p di a 0  2 sono  1 e  2 , e che questi non sono radici
dell’equazione, possiamo concludere, in forza del teorema sulle radici razionali, affermando
che 2 non può essere razionale2.
Generalizzando, la medesima via algebrica ci consente immediatamente di classificare come
irrazionali gli infiniti numeri reali n p , n, p naturali, con p primo ed n  1 . Decisamente più
interessante è, invece, provare l’irrazionalità di numeri come
1
2
3 2,
3
3 2 ,
3  3 2 . In
1 5
1
2
4 1
; ) , ( ;  i ) e ( ; ;  5i ) .
3
3
3 2
2 2
Alla stessa conclusione si giunge osservando semplicemente che 2  1 ,  2 , senza dover verificare che i quattro
Le radici delle tre equazioni sono rispettivamente (  1;
numeri  1 e  2 non soddisfano l’equazione x 2  2  0 .
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tali casi, laddove l’approccio aritmetico diventa assai problematico, per non dire impraticabile,
quello algebrico consente di dare una risposta, pagando solo il prezzo di fastidiosi calcoli, con
ripetuti elevamenti a potenza non sempre facili da individuare e che vanno gestiti, man mano
che l’indice delle radici cresce, ricorrendo anche al Triangolo di Pascal-Tartaglia-Zhu Shijie3.
A titolo di esempio, ritengo istruttivo illustrare il procedimento per provare l’irrazionalità di:
3 2

x  3  2  x 2  ( 3  2 ) 2  5  2 6  (x 2  5) 2  24  x 4  10x 2  1  0 ,
 1 non sono radici di x 4  10x 2  1  0 

3
3  2 non è razionale;
3 2
x  3 3  2  x 3  3  2  (x 3  3)2  2  x 6  6x 3  7  0 ,
 1 e  7 non sono radici di x 6  6x 3  7  0 

3
3  2 non è razionale;
33 2
x  3  3 2  (x  3 )3  2  x 3  3 3x 2  9x  3 3  2  x 3  9x  2  3 3 ( x 2  1) 
(x 3  9x  2) 2  27(x 2  1) 2  x 6  9x 4  4x 3  27x 2  36x  23  0 ,
dopodiché, con santa pazienza (e l’uso di calcolatrice), si prova che  1 e  23 non sono
radici dell’equazione, cosicché possiamo dire che
3  3 2 non è razionale.
Un’altra utile applicazione del teorema è quella che permette di rispondere a domande del
tipo: l’equazione x 3  5x  21  0 ha radici in Z? In tal caso è sufficiente verificare che  1 ,
 3 ,  7 ,  21 non soddisfano l’equazione per concludere che questa non ha radici razionali e
perciò neanche intere. La portata didattica di un tale quesito va, però, ben oltre il teorema sulle
radici razionali. Si può, infatti, rispondere ad esso con vari tools matematici, in dotazione alle
Superiori, che vale la pena esaminare onde rapportarle al nostro teorema:
 ricorrendo al teorema Fondamentale dell’Aritmetica:
si scrive l’equazione nel seguente modo x  (x 2  5)  21 , e dunque x  0 , dopodiché,
ipotizzando x  Z, si hanno le seguenti possibilità
(x  1)  (x 2  5  21)  12  5  21 assurdo;
(x  21)  (x 2  5  1)  212  5  1 assurdo;
(x  3)  (x 2  5  7)  32  5  7 assurdo;
(x  7)  ( x 2  5  3)  7 2  5  3 assurdo;
 oppure, con semplici passaggi algebrici:
si scrive l’equazione nel seguente modo x 3  21  5x , dopodiché, ipotizzando x  Z, si
hanno le seguenti possibilità
x  3  (x 3  21  0)  (5x  0)  l’equazione è impossibile;
3
Zhu Shijie (朱世杰), matematico cinese vissuto a cavallo dei secoli XIII e XIV (1270?-1330?). Nella sua importante
opera “Specchio Prezioso dei Quattro Elementi” (Siyuan Yujian 四元玉鑒), del 1303, è riportato il famoso diagramma
triangolare il cui nome viene associato dagli italiani a Tartaglia (Niccolò Fontana, detto Tartaglia, 1499-1577), e dai
francesi a Pascal (Blaise Pascal, 1623-1662).
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x  3  (x 3  21  6)  (5x  15)  l’equazione non è verificata;
x  2  (x 3  21  13)  (5x  10)  l’equazione non è verificata;
x  1  (x 3  21  20)  (5x  5)  l’equazione non è verificata;
x  0  (x 3  21  21)  (5x  0)  l’equazione non è verificata;
x  0  (x 3  21  0)  (5x  0)  l’equazione è impossibile;
 oppure, infine, con alcuni semplici passaggi di analisi matematica:
il numero delle radici reali dell’equazione è 1 oppure 3 (dato che le radici complesse si
presentano sempre a coppie coniugate in un’equazione a coefficienti reali), ma visto che
f(x)  x 3  5x  21 è strettamente crescente in r (essendo f ' (x)  3x 2  5  0 in r),
necessariamente l’equazione ha una sola radice reale e, siccome f(2)  3 e f(3)  21 ,
concludiamo affermando che questa è compresa tra 2 e 3 (per il Teorema di Esistenza
degli Zeri) e non è intera.
Dall’esame di queste technicalities risolutive emerge, tra le altre cose, l’estrema rapidità di
quella basata sul teorema delle radici razionali.
2) Teorema binomiale (Formula del Binomio di Newton)
n
(a  b)      a n - k  bk
k 0  k 
n
n
a, b  R e n  0 intero .
La sua dimostrazione, basata sul principio di induzione e sulle proprietà dei coefficienti
binomiali, può risultare noiosa - ma, di certo, non difficile - e forse per questo viene
generalmente omessa. Si preferisce, tuttavia, estrapolare da essa i quattro “prodotti notevoli”
(x  y) 2  x 2  2xy  y2 , (x  y) 3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y3 , richiedendo agli studenti di mandarli a
memoria. Viene a perdersi così il contesto cui essi appartengono, quello rappresentato dal
Triangolo di Tartaglia (vd. nota 3), ricchissimo di proprietà sui coefficienti binomiali e non
solo4.
Un’altra utilità della formula di Newton riguarda lo studio della struttura dell’insieme delle
parti di un insieme con un numero finito, n  0 , di elementi. Una volta accertato che il numero
n
n!
dei sottoinsiemi con k  n elementi è pari al coefficiente binomiale   
, abbiamo:
 k  k!(n - k)!
n
k 0  k 
n
 2n  (1  1)n      il numero dei sottoinsiemi è 2 n ;
n
k 0  k 
n
 0  [1  (1)]n    (-1)k  metà ( 2n-1 ) dei sottoinsiemi hanno un numero pari di
elementi5 e l’altra metà un numero dispari.
4
5
Numeri di Fibonacci, Numeri di Catalan, Numeri Triangolari, Numeri Poligonali, ecc.
L’insieme vuoto  , con 0 elementi, viene annoverato tra i sottoinsiemi con numero pari di elementi.
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3) Disuguaglianza tra le Medie Semplici (o Medie Pitagorico-euclidee)
Dati due numeri reali a, b, entrambi positivi, e indicate con H , G , M e Q, le loro
medie rispettivamente armonica , geometrica , aritmetica e quadratica , sussiste tra
queste la relazione H  G  M  Q , valendo ciascuna uguaglianza se e solo se a  b .
Ricordato come tali medie vengono definite, e cioè
M  M(a; b) 
ab
a 2  b2
1
2ab

, H  H(a; b) 
, G  G(a; b)  ab , Q  Q(a; b) 
,
1 1
2
a

b
2
M( ; )
a b
una bellissima “dimostrazione senza parole” (in inglese, PWW=Proof Without Words) è
rappresentata dalla seguente figura (che rende anche conto del nome di Medie Pitagoricoeuclidee)
M
Q
a
H
G
b
La stessa figura mostra anche che G  M  H ( I Teorema di Euclide).
È chiaro che la prova algebrica va comunque effettuata ma, opportunamente, solo dopo averla
“visualizzata”. Solo così, credo, è possibile richiedere, sollecitare, la necessaria attenzione per
far apprezzare anche la bellezza dei passaggi algebrici:
1 
 1
 0


b
 a
 0

a b

2
 0  a  b 2 
2
 H  G;
 G  M;
a  b 2  a  b 2  a  b 2
 MQ .