Insiemi ortonormati di funzioni

Insiemi ortonormati di funzioni
Definizione,
Funzioni ortogonali. Un insieme di n funzioni  f1 x , f 2 x ,..., f n x  si dice ortogonale in a, b
se
 f x   f x dx  0
b
a
h
k
h  k
h, k  n
Definizione,
Funzioni ortonormate. Un insieme di n funzioni
dice ortonormato in a, b se
 f1 x, f 2 x,..., f n x
ortogonale in a, b , si
 f x   f x dx  1
b
a
h
h
h  n
Più in generale l’insieme ortogonale di cui sopra si dice ortonormato rispetto alla funzione peso
px se risulta
 f x   f x   px dx  1
b
a
h
h
h  n
Dunque si può dire brevemente che un insieme di funzioni  f1 x , f 2 x ,..., f n x  risulta
ortonormato in a, b (e dunque anche ortogonale), rispetto alla funzione peso px , se risulta
 f x  f x  pxdx  
b
a
h
h
hk
h, k  n
dove si è introdotto il delta di Kronecker, che si ricorda assumere i valori
 hk  1  h  k
 hk  0  h  k
Definizione,
Coefficienti generalizzati di Fourier . Facciamo le seguenti posizioni:
1) l’insieme infinito d
peso px ;
 f1 x, f 2 x,..., f n x,...
1
è ortonormato in a, b rispetto alla funzione

2) la serie di funzioni
 c f x  (dove c
i
i 1
i
i
sono numeri reali) converge uniformemente,in a, b,
verso una certa funzione F x  .
Allora i coefficienti ci sono detti coefficienti generalizzati di Fourier.
Deduzione,
Valore dei coefficienti generalizzai di Fourier. Si dimostra che
ci   F x  f i x  px dx
b
a
Dimostrazione. Intanto l’ipotesi di ortonormalità si scrive
1  i  j
 f x  f x  px dx  0  i  j
b
i
a
j
Dunque è anche vero che

ci  i  j
 b c f x  f x  px dx   c






c
f
x
f
x
p
x
dx




j
a j i j
a j i j

j 1 
0  i  j
b
Ammettiamo ora ( la dimostrazione segue dopo) che la serie di funzioni

 c f x f x px
j 1
j
i
j
converga uniformemente, in a, b, verso la funzione F x  f i x  px  . Allora vale il teorema di
integrazione per serie, il quale porge
b

a

b
F x  f i x  px dx     c j f i x  f j x  px dx 
a

j 1 
Considerando allora il precedente risultato si ha la tesi:
 F x f x pxdx  c
b
a
i
i
Ora ritorno sul punto in sospeso: la dimostrazione di convergenza assoluta. Ebbene, l’ipotesi 2 in
termini matematici si scrive
n
    | n    F x    c j f j x    , x  a, b
j 1
Ma allora, moltiplicando ambo i membri della disuguaglianza per f i x  px  si ha
2
n
    | n    F x  f i x  px    c j f j x  f i x  px   f i x  px  , x  a, b
j 1
Tenendo poi presente che le funzioni f i x  sono continue (e anche la funzione peso lo è), allora il
teorema di Weierstras permette di dire che
M    | f i x  px   M , x  a, b
E dunque, tornando sopra, si ha
n
    | n    F x  f i x  px    c j f j x  f i x  px   M , x  a, b
j 1
Questa proposizione indica, per definizione stessa di convergenza assoluta, che la serie di funzioni
n
 c f  x  f  x  p x 
j
j 1
j
i
converge uniformemente verso la funzione F x  f i x  px  , come si voleva dimostrare ■
Esempio uno,
Un insieme ortogonale ma non ortonormale. Consideriamo in  L, L l’insieme di funzioni
1, sin
x
L
, cos
x
L
, sin
2x
x
, cos ,...
L
L
Vediamo se tale insieme è ortogonale:
kx
L L
kx kx
L
kx
L
cos k  cos k   0
1

sin
dx

sin
d

cos

L


L
L
kx
L
L
kx
L L
kx
L
L
kx
L L
kx kx
L
kx
L
sin k  sin k   0
dx 
cos
d

sin

L

L
kx L
L
L
kx
L L kx
L
L
h  k x
h  k x 
hx
kx
1 L
L sin L  sin L dx  2  L cos L dx  L cos L dx   0  0  0, h  k
L
L
1  cos
In quest’ultimo integrale si sono sfruttate le formule di Prostaferesi prima, e il risulatato del secondo
integrale poi. Riporto, per completezza, l’applicazione delle formule di Prostaferesi all’integrale:
pq
p  q cos q  cos p
 sin

 PROSTAFERE SI
2
2
2
h  k x
2hx


 p  q  L
 p 
L


 p  q  2kx
q  h  k x
L
L


sin
3
Riprendo ora con la verifica della ortogonalità.
h  k x dx  L cos h  k x dx   0  0  0, h  k
hx
kx
1 L

cos
dx

cos


L L
L
L
2   L
L
L

L
L
h  k x
h  k x 
hx
kx
1 L
L sin L  cos L dx  2  L sin L dx  L sin L dx   0  0  0, h  k
L
cos
Anche nel calcolo degli ultimi due integrali si sono applicate le formule di Prostaferesi, come sopra.
Comunque abbiamo provato la ortogonalità della serie di funzioni. Ora vediamo se è anche
ortogonale:
L
 11dx  2L
L
h  h x dx  L cos h  h x dx  
hx
hx
1 L
 sin
dx    cos

L
L
L
L
2  L
L
L

h  h x dx  0  1 L 1dx  1 2 L  L
1 L
  cos
2 L
L
2  L
2
L
L
h  h x
h  h x 
hx
hx
1 L
L cos L  cos L dx  2  L cos L dx  L cos L dx  
L
1
  0   1dx   L
L

2

L
sin
La serie di funzioni non è ortonormale, e non si può neanche considerare ortonormale rispetto ad
una qualche funzione peso, a causa del primo integrale di cui sopra. Se però eliminiamo il primo
termine della serie di funzioni data, cioè 1 , allora otteniamo una serie di funzioni ortonormale
rispetto alla funzione peso 1 L .
Esempio 2,
Calcolo di coefficienti. Dato l’insieme di funzioni
a0 , a1  a2 x, a3  a4 x  a5 x 2
vogliamo determinare i coefficienti in maniera tale che l’insieme sia ortonormato in 0,1 . Sembra
allora sensato cominciare imponendo
1
a
0
0
 a0 dx  1  a0  1  a0  1
2
Scegliamo a0  1 (sperando che non pregiudichi la soluzione del problema!) e imponiamo
l’ortogonalità fra le prime due funzioni:
 a0  a1  a2 x dx  0   a1dx   a2 xdx  0  a1 
1
1
1
0
0
0
1
a2  0  a2  2a1
2
Adesso, per una ulteriore condizione su a1 , a2 impongo la condizione di ortonormalità
4
2
2
2
2 2
0a1  a2 x dx  1  0a1  2a1x dx  1  0a1 dx  04a1 x dx  1 
1
1
a1  4a1
2
2
1
1
1
2
2
2
 1  3a1  4a1  3  a1  3  a1   3
3
Scegliendo il segno negativo (sempre arbitrariamente e sperando bene) si hanno sin qui i
coefficienti
a0  1 a1   3 a2  2 3
Procedo ora con l’imporre l’ortogonalità fra la prima e la terza funzione dell’insieme:
 a  a
1
0
0
a3 
3

1
1
1
0
0
0
 a4 x  a5 x 2 dx  0   a3 dx   a4 xdx   a5 x 2 dx  0 
1
1
1
1
a4  a5  0  a3   a4  a5
2
3
2
3
Per cui la terza funzione dell’insieme si scrive

1
1
a4  a5  a4 x  a5 x 2
2
3
Impongo poi l’ortogonalità fra la seconda e la terza funzione:
 
1
0

1
 1

3  2 3 x   a4  a5  a4 x  a5 x 2 dx  0 
3
 2

 3

3
2 3
a4 
a5  3a4 x  3a5 x 2  3a4 x 
a5 x  2 3a4 x 2  2 3a5 x 3 dx  0 
0
2
3
3

1
 
3
a4 
2
3
a4 
6
3
3
3
3
3
2 3
3
a5 
a4 
a5 
a4 
a5 
a4 
a5  0 
3
2
3
2
3
3
2
3
a5  1  a4  a5  0  a4  a5
6
Per cui adesso possiamo scrivere la terza funzione come
1

a5   x  x 2 
6

Impongo adesso l’ortonormalità della terza funzione, in modo da ricavare il coefficiente a5 .
5
2
1
1
1


2 1 1
a5    x  x 2  dx  1  a5    x 2  x 4  x  x 2  2 x 3 dx  1 
0 6
0 36
3
3




1
1
4

2  1
a5    x  x 2  2 x 3  x 4 dx  1 
0 36
3
3


2 1
1 4 1 1
2 1
2 1 
a5        1  a5 
  1  a5  6 5
 36 6 9 2 5 
 180 
Arbitrariamente scegliamo a5  6 5 e dunque otteniamo i coefficienti
a0  1
a1   3
a2  2 3
1
1
1
1
1
1
a3   a4  a5  a5  a5  6 5  6 5  3 5  2 5  5
2
3
2
3
2
3
a4  a5  6 5
a5  6 5
Dunque un insieme di funzioni ortonormato dedotto da quello dato è ad esempio
1  3  2 3x
5  6 5x  6 5x 2
Ulteriori esempi sono presenti nel manoscritto
6
Introduzione alla serie di Fourier
Osservazione,
Funzione periodica. Sia data la generica funzione f x  definita in  L, L. Estendiamo il suo
insieme di definizione a tutto  ponendo
F x  2 L   f x 
In questo modo otteniamo la funzione F x  periodica in  , di periodo 2 L , il cui andamento sarà
del tipo indicato in figura: si vede la funzione di partenza f x  , definita in  L, L , e la funzione
F x  , definita in  , ottenuta dalla prima. Si deve osservare che la funzione F x  risulta
discontinua nei punti x  kL, k  N .
Definizione,
Serie di Fourier. Consideriamo la funzione F x  , introdotta sopra: periodica in  , di periodo 2 L .
Allora diciamo serie di Fourier di F x  la serie di funzioni


  a
k 0
k
cos
kx
kx 
x
x
2x
2x
 bk sin
 a 2 cos
 b2 sin
 ...
  a0  a1 cos  b1 sin
L
L 
L
L
L
L
Si evidenzia come nella definizione di serie di Fourier di una data funzione F x  non si faccia
riferimento alla convergenza della serie alla funzione stessa.
Si può notare che le funzioni sinusoidali che costituiscono la serie hanno un periodo che diventa via
via più piccolo: prese per esempio le funzioni cosinusoidali vediamo che la prima ha periodo 2 L , la
seconda ha periodo L , la terza ha periodo L 2 , e così via. Naturalmente lo stesso discorso vale per
la serie di funzioni sinusoidali. Comunque in figura si riporta l’andamento delle prime tre funzioni
cosinusoidali della serie, proprio per evidenziare il fenomeno del dimezzamento del periodo.
Deduzione,
La serie di Furier è ortogonale ma non ortonormata. Per verificare la ortogonalità della serie di
Fourier si devono calcolare alcuni integrali. Questi integrali sono stati calcolati nell’ambito
7
L
L

cos
cos
3L
4

L
2

L
4
x
L

cos
L
4

L
2

3L
4
2x
L
3x
L
dell’esempio uno della sezione sugli insiemi ortonormati di funzioni. Dunque riporto direttamente i
valori degli integrali in oggetto.
kx
dx  0
L
L
L
kx
L 1  cos L dx  0
L
hx
kx
L sin L  sin L dx  0, h  k
L
hx
kx
L cos L  cos L dx  0, h  k
L
hx
kx
L sin L  cos L dx  0, h  k

L
1  sin
Dunque la serie di Fourier risulta ortogonale. Gli integrali relativi alla verifica della ortonormalità,
già calcolati nell’esempio citato sopra, sono invece i seguenti:
L
 11dx  2L
L

L
L
sin
hx
hx
 sin
dx  L
L
L
8

L
L
cos
hx
hx
 cos
dx  L
L
L
Si vede dunque che la serie di Fourier non è ortonormata e che non esiste neanche una funzione
peso rispetto alla quale si possa considerare ortonormata: infatti se considerassimo la funzione peso
px   1 L , come suggerirebbero di fare gli integrali trigonometrici, ci sarebbe il problema del
primo termine della serie, come si vede dal primo integrale ■
Osservazione,
Serie di Fourier in scrittura alternativa. Per fare in modo che la serie di Fourier sia una serie
ortonormata, oltre che ortogonale, allora si usa come prima funzione della serie la funzione 1 2
anziché la funzione unitaria. In questo modo la serie di Fourier si scrive
a0
1  
kx
kx 
1
x
x
2x
2x
   ak cos
 bk sin
 a2 cos
 b2 sin
 ...
  a0  a1 cos  b1 sin
2 k 1 
L
L 
2
L
L
L
L
Si faccia attenzione che il coefficiente a0 di questa scrittura vale due volte quello della scrittura
precedente. L’utilità di scrivere la serie di Fourier come serie ortonormata consiste nel fatto che nel
seguente teorema si possono applicare i risultati ottenuti per gli insiemi di funzioni ortonormati.
Inoltre, come si vede nel seguito, la scrittura dei coefficienti della serie di Fourier risulta, in questa
sua nuova versione, più compatta.
Deduzione,
I coefficienti della serie di Fourier. Nel caso in cui la serie di Fourier della funzione F x 
converga uniformemente verso la funzione stessa, allora i coefficienti della serie, scritta in forma
alternativa, sono dati da:
1 L
hx
F x  cos
dx,

L L
L
1 L
hx
bh   F x  sin
dx,

L
L
L
ah 
h  0,1,2,3,...
h  1,2,3,...
Questi coefficienti sono quelli relativi alla scrittura alternativa della serie di Fourier.
Dimostrazione. Questo teorema si dimostra con la stessa procedura usata nella dimostrazione del
teorema sul calcolo dei coefficienti generalizzati di Fourier. Senza ripetere dunque quella procedura
basta allora applicare la formula dei coefficienti generalizzati al caso particolare della serie di
Fourier scritta nella forma alternativa, ottenendo così la tesi ■
I coefficienti della serie di Fourier sono diversi a seconda della forma in cui è scritta la serie: per
essere precisi solo il primo coefficiente è diverso nei due casi, avendo valore doppio nel caso della
scrittura della serie in forma alternativa. Comunque riassumo le due scritture, e i relativi
coefficienti, in questa tabella. Per evitare confusione.
9
Scritture alternative della serie di Fourier
kx
kx 
 bk sin

L
L 
k 0
x
x
2x
2x
 a0  a1 cos  b1 sin
 a2 cos
 b2 sin
 ...
L
L
L
L


  a
k
cos
Espressione dei coefficienti
1 L
F  x dx
2 L  L
1 L
hx
ah   F x  cos
dx,
h  1,2,3,...
L L
L
a0 
bh 
1 L
hx
F x  sin
dx,

L L
L
1  
kx
kx 
1 L
hx
   ak cos
 bk sin
ah   F x  cos
dx,


L
2 k 1 
L
L 
L
L
1
x
x
2x
2x
 a0  a1 cos  b1 sin
 a2 cos
 b2 sin
 ...
1 L
hx
2
L
L
L
L
bh   F x  sin
dx,
L L
L
a0
h  1,2,3,...
h  0,1,2,3,...
h  1,2,3,...
Nel seguito si farà sempre riferimento alla seconda scrittura della serie di Fourier.
Deduzione,
Funzione pari. Nel caso di una funzione pari, cioè di una funzione F x  per la quale
risulti F x  F  x , allora i coefficienti di Fourier delle funzioni non cosinusoidali sono tutti nulli.
Infatti

kx
kx   
k  x 
k  x  

F x   F  x     ak cos
 bk sin
 bk sin
    ak cos

L
L  k 0 
L
L 
k 0 

kx
kx   
kx
kx 

a
cos

b
sin
 bk sin

    ak cos


k
k
L
L  k 0 
L
L 
k 0 


  b
k 0
k sin



kx 
kx 

    bk sin
   bk   bk  bk  0,
L 
L  k 0
k 0 
k 0
k  1,2,3,...
Restano dunque solo i termini della serie costituiti da funzioni pari, cioè da coseni ■
Deduzione,
Funzione dispari. Nel caso di una funzione dispari, cioè di una funzione F x  per la quale
risulti F x  F  x , allora i coefficienti di Fourier delle funzioni cosinusoidali sono tutti nulli.
Infatti


kx
kx 
k  x 
k  x  


F x    F  x     ak cos
 bk sin
 bk sin
    ak cos

L
L 
L
L 
k 0 
k 0 


kx
kx 
kx
kx 


 bk sin
 bk sin
 ak cos
    ak cos


L
L 
L
L 
k 0 
k 0 


  a
k 0
k
cos
kx
kx   
kx
kx 
 bk sin
 bk sin
     ak cos

L
L  k 0 
L
L 


kx   
kx 

a
cos


a
cos

a


ak  ak  0,
k  1,2,3,...
 k
  k
  k


L  k 0 
L  k 0
k 0 
k 0
Restano dunque solo i termini della serie costituiti da funzioni dispari, cioè da seni ■

10
Convergenza della serie di Fourier
Deduzione,
Primo lemma: lemma al lemma. Si vuole dimostrare che
 
1 
sin  x n  
2 
1
 
 cos x  cos 2 x  ...  cos nx 
x
2
2 sin
2
n  N , x  R
Dimostrazione. Procediamo per induzione. Il primo passo allora è verificare che la tesi sia vera per
n  1, cioè che sia
  2 1 
3
sin  x   sin  x 
1
  2 2    2 
 cos x 
x
x
2
2 sin
2 sin
2
2
Questo si può scrivere anche
sin
x
1 3 
x
cos x   sin  x   sin 
2
2 2 
2
Questa scrittura della proprietà da dimostrare suggerisce immediatamente di ricorrere alle formule
di Prostaferesi, in particolare alla formula
sin
pq
pq 1
cos
 sin p  sin q 
2
2
2
Se allora faccio le posizioni

p
3
x
2

q
x
2
e vado a sostituire nella formula di Prostaferesi ottengo proprio la tesi per n  1 . Ora invece devo
dimostrare che se la tesi vale per n  1 , allora vale per n . Scrivo quindi la tesi per n  1 :
 
1 
sin  x n  
2 
1
 
 cos x  cos 2 x  ...  cosn  1x 
x
2
2 sin
2
Ora aggiungo cos nx ad ambo i membri:
11
 
1 
sin  x n  
2 
1
 
 cos x  cos 2 x  ...  cosn  1x  cos nx 
 cos nx
x
2
2 sin
2
Il secondo membro si scrive
 
1 
x
sin  x n    2 sin cos nx
2 
2
 
x
2 sin
2
Riconsiderando la formula di Prostaferesi indicata sopra e applicandola al secondo addendo del
numeratore abbiamo
2 sin
  2n  1  
  2n  1  
x
cos nx  sin  
 x   sin  
 x 
2
 2  
 2  
Andando a sostituire questo risultato nel secondo membro otteniamo
 
  2n  1  
1 
x
sin  x n    2 sin cos nx sin  
 x 
2 
2
 2  
 


x
x
2 sin
2 sin
2
2
e la tesi è dimostrata ■
Deduzione,
Secondo lemma. Data la funzione f :  L, L si vuole dimostrare che
sn  x  
1 L
L  L
 k 
1 
sin 
 n  t 
L 
2 
f x  t  
dt
k
2 sin
t
2L
dove si intende che sn x  è la somma parziale della serie di Fourier della funzione data.
Dimostrazione. Ricordando le espressioni dei coefficienti della serie di Fourier si ha
sn  x  

n
a0
kx
kx 

   ak cos
 bk sin

2 k 1 
L
L 
n
1 L
kv
kx 1 L
kv
kx 
1 L


f
v
dv

f v  cos
dv cos
  f v  sin
dv sin






L

L

L
2L
L
L
L
L
L 
k 1  L
12
Si osservi che la variabile di integrazione v non è quella delle funzioni trigonometriche. Bene,
osservato questo adesso cerco di scrivere il secondo membro in modo da poter applicare il lemma
uno. Segui i passaggi…
sn  x  

n
L
1 1 L
kv
kx
kv
kx  
 L
dv cos
  f v  sin
dv sin
  f v   dv     f v  cos


L

L

L
L2
L
L
L
L  
k 1 
1 n 
1 L
kv
kx
kv
kx   



f
v
cos
 sin
sin
    cos
  dv


L L 
L
L
L
L   
 2 k 1 
Osservando adesso che
cos
kv
kx
kv
kv
 k
v  x 
cos
 sin
sin
 cos
L
L
L
L
 L

si ha
sn  x  
1 n 
1 L
k





f
v
v  x   dv
    cos


L L 
L

 2 k 1 
che, in base al primo lemma, diventa

  
 
1

 sin   n  v  x   
L
2
1 L

  dv
sn x     f v  


L L
v  x   
2 sin




2L




Operando il cambio di variabili v  x  t abbiamo

  
1  

 sin   n  t   
L
2   
1 L x 

sn x     f t  x  
 dt

L  L x
2 sin
t


 


2
L



La funzione integrando, prodotto di tre funzioni, dovrebbe avere periodo, se non mi sbaglio, di 4 L :
infatti f ha periodo 2 L , il seno a numeratore ha periodo 2L / n  1 / 2 e quello a denominatore ha
periodo di 4 L . Questo mi impedisce di arrivare alla tesi: se infatti il periodo fosse 2 L sarebbe
immediata, così invece non so come provarla. Sul Marcellini-Sbordone si opera come se il periodo
fosse 2 L . Qui dunque c’è qualcosa che non ho capito. Lascio in sospeso la cosa e considero
dimostrata la tesi ■
Definizione,
Regolarità a tratti. Una funzione F : a, b   si dice regolare a tratti in a, b se
1)  n punti x0 , x1 ,..., xn con a  x0  x1...  xn  b tali che F  C 1 xi , xi 1 , i  0,1,2,3... ;
13
2) ciascuna delle F | : xi , xi 1 , i  0,1,2... presenta agli estremi delle discontinuità eliminabili.
Prima di vedere in quali condizioni si verifica la convergenza della serie di Fourier alla sua funzione
(e di che tipo di convergenza si tratta), è necessario dimostrare due proprietà, due lemmi,
apparentemente insignificanti.
Deduzione,
Convergenza puntuale della serie di Fourier. Se F :  è una funzione regolare a tratti di periodo
2 L , allora la serie di Fourier di F converge puntualmente verso la funzione
1
F x    F x  
2
dove si intende che
F x    lim F x   
 0
F x    lim F x   
 0
Dimostrazione. Intanto si osserva che nei punti di continuità della funzione f risulta
1
F x   F x    F x 
2
I limiti destro e sinistro sono introdotti per quei punti in cui la funzione è discontinua, come sono i
punti di fusione che si hanno quando, partendo da una generica funzione, la si estende su tutto 
creando una funzione periodica (vedi l’illustrazione della introduzione alla serie di Fourier).
Comunque quello che si deve dimostrare qui è in definitiva che
F x    F x   

lim  sn x  

n
2


E allora il secondo lemma ci permette intanto di scrivere

  
1  

 sin   n  t   
L
2   
F x    F x   1 L 
F x    F x  

sn  x  
   F t  x  
dt 




2
L L
2
2 sin
t


 


2
L




  
1  

 sin   n  t   
L
2   
1 0
F x  

   F t  x  
dt 




L L
2
2 sin
t


 


2
L




  
1  

 sin   n  t   
L
2   
1 L
F x  

   F t  x  
dt 



L 0
2
2 sin
t


 


2L



14
D’altra parte, per il primo lemma abbiamo anche che
 
1 
sin   n  t 
2 
1

2
n
L 
 cos t  cos
t  ...  cos
t


2
L
L
L
2 sin
t
2L
 
1 
sin   n  t 
L
L 1
2 

2
n 
L
L 
dt     cos t  cos
t  ...  cos
t dt 
0
0

L
L
L 
2
2
2 sin
t
2L
 
1 
sin   n  t 
0
0 1
2 

2
n 
L
L 
dt     cos t  cos
t  ...  cos
t dt 
L
L 2

L
L
L 
2

2 sin
t
2L
Quindi possiamo scrivere
F x    F x  

2

  
 
1  
1 

 sin   n  t   
sin   n  t 
L
2   
2 
1 0
F x  2 0

L 
   F t  x  
dt

dt 



L


L L
2
L
2 sin
t
2 sin
t


 


2
L
2
L




  
 
1  
1 

 sin   n  t   
sin   n  t 
L
2   
2 
1 L
F x   2 L  L 

   F t  x  
dt 
dt



0


L 0
2
L
2 sin
t
2 sin
t


 


2
L
2
L



sn  x  
Semplificando e ricordando che la variabile di integrazione non è x ma t , abbiamo
F x    F x  

2

  
 
1  
1 

 sin   n  t   
sin   n  t 
L
2   
2 
1 0
1 0

L 


   F t  x  
dt

F
x

dt 



L


L L
L
2 sin
t
2 sin
t


 


2
L
2
L




  
 
1  
1 

 sin   n  t   
sin   n  t 
L
2   
L
2 
1 L
1 L

   F t  x  
dt   F  x   
dt


0


L 0
L
2 sin
t
2 sin
t


 


2
L
2
L



sn  x  
15
Sfruttando la proprietà additiva degli integrali definiti abbiamo ancora
F x   F x  

2
1 0 F t  x   F x     
1 
1 L F t  x   F x     
1 
 
sin   n  t dt  
sin   n  t dt


L L
2 
L 0
2 
L
L
2 sin
t
2 sin
t
2L
2L
sn  x  
Se adesso definisco la funzione
 F t  x   F x  


2 sin
t


2
L
G t   
 F t  x   F x  


2 sin
t

2L
per  L  t  0
per 0  t  L
posso scrivere
sn  x  
 
F x    F x   1 L
1 
  Gt sin   n  t dt

L
2
L
2 
L
che, ricorrendo alle formule sulla somma degli archi, diventa
sn  x  

  n    
F x    F x   1 L
 n     
  G t  sin  t  cos
t   cos t  sin 
t  dt 
2
L L
 L   2L  
  L   2L 
1 L
1 L
    n 
    n 
G t  cos
t  sin  t dt   G t  sin 
t  cos t dt

L L
L L
 2L   L 
 2L   L 
Introdotte le due funzioni
 
H1 t   G t  cos
t
 2L 
 
H 2 t   G t  sin 
t
 2L 
posso scrivere
sn  x  
F x    F x   1 L
1 L
 n 
 n 
  H1 t  sin  t dt   H 2 t  cos t dt
2
L L
L L
 L 
 L 
A questo punto l’applicazione del teorema di Riemann porterebbe direttamente a
F x    F x   

lim  sn  x  

n
2


1 L
1 L
 n 
 n 
 lim  H 1 t  sin  t dt  lim  H 2 t  cos t dt  0  0  0

L

L
n L
n L
 L 
 L 
16
ovvero alla tesi. Tuttavia per applicare il teorema di Riemann dovremmo provare che H1 t , H 2 t 
sono funzioni limitate, ovvero che Gt  è una funzione limitata. Per fare questo dobbiamo calcolare
i limiti
lim G t   lim
t 0
t 0
2 sin
lim G t   lim
t 0 
F t  x   F x  
t 0

t
2L
F t  x   F x  
2 sin

2L
t
Ricorriamo al teorema di De L’Hospital, avendo una forma di indecisione del tipo 0/0. Dunque
abbiamo
F t  x   F x   L
lim G t   lim
 lim
t 0
t 0
t 0



2 sin
lim G t   lim
t 0
t 0
t
2L
F t  x   F x  
2 sin

2L
t


F | t  x 

L

cos


t
2L
F t  x 
|
lim
t 0
cos

2L
t
L


F | x  
L

F | x  
La regolarità a tratti di F (vedi secondo punto della definizione di regolarità a tratti) ci garantisce
che F | x , F | x   sono valori finiti. Dunque Gt  è limitata e, in definitiva, anche H1 t , H 2 t 
sono limitate. E la tesi è dimostrata ■
Deduzione,
Terzo lemma. Se F :  L, L è una funzione regolare a tratti su  , allora posto
a|k 
1 L |
 kx 
F x  cos
dx

L L
 L 
b| k 
1 L |
 kx 
F x  sin 
dx


L
L
 L 
si dimostra che
ak 
|
k
bk
L
bk  
|
k
ak
L
dove si intende sempre che ak , bk sono, con la consueta simbologia, i coefficienti di Fourier della
funzione F :  L, L .
Dimostrazione. Si tratta di una semplice dimostrazione che sfrutta il metodo di integrazione per
parti:
17
ak 
1 L
1
 kx 
F x  cos
dx 


L
L
k
 L 
L
1
1
 kx 

F x  sin   
k
    L k
Dunque bk  
|
  kx  
 F x d  sin  L   
L
L
1
 kx 
L sin  L dF x    k
L

L
L
L |
 kx  |
sin 
bk
 F  x dx  
k
 L 
k
k
|
ak . Allo stesso modo suppongo si dimostri che ak 
bk ■
L
L
Deduzione,
Convergenza uniforme. Se F :  è una funzione regolare a tratti di periodo 2 L e in più essa è
continua in  , allora risulta che la relativa serie di Fourier converge totalmente verso di essa, in  .
Dimostrazione. Ricordo che una serie di funzioni
una serie numerica
M
f k x   M k ,
k
f
k
si dice totalmente convergente se esiste
convergente, e a termini di segno positivo, tale che
x, k
Questo tipo di convergenza, apparentemente di scrso interesse, è quello di maggiore interesse, in
quanto comporta la convergenza uniforme (la quale a sua volta comporta quella puntuale).
L’interesse della convergenza totale risiede poi nel fatto che, se c’è, è più facile da dimostrare che la
convergenza uniforme.
Tornando a noi intanto possiamo dire che, stante l’ipotesi di continuità di F :  , usando il risultato
del teorema sulla convergenza puntuale, abbiamo qui subito che la serie di Fourier converge
puntualmente verso F x  su tutto  . Questo vuol dire (su questo passaggio logico non sono
sicuro) che se convergenza totale si ha (come dobbiamo dimostrare) allora la convergenza è proprio
verso F . Questo discorso è necessario perché dimostrare la convergenza totale non vuol dire
dimostrare la convergenza verso una data funzione. Cioè, altrimenti detto, la convergenza totale si
dimostra a prescindere dalla funzione verso la quale la convergenza si ha.
Va bene, allora devo dimostrare che
M k : ak cos
kx
kx
 bk sin
 Mk
L
L
x  , k
Intanto si può senz’altro scrivere che
ak cos
kx
kx
kx
kx
 bk sin
 ak cos
 bk sin
 ak  bk
L
L
L
L
A questo punto si fa un piccolo gioco di pochi passaggi:
18

2 ak  2k ak
2
2
2
 A  B   0  2 AB  A  B  
2 b  2k b
k
 k
k2 2
1
2
 ak  bk 
ak  bk  2
2
k

1
1
2
 k 2 ak  2
k
k

1
1
2 2
 k bk  2
k
k

Dunque sin qui abbiamo
ak cos


kx
kx k 2 2
1
2
 bk sin

ak  bk  2
L
L
2
k
E qui entra in gioco il terzo lemma
L |

a


bk
k

kx
kx 1 L2
1
|2
|2
k

a
cos

b
sin

bk  ak  2

k
k
2 2
L
L
2k 
k
b  L a |
 k k k


Richiamando la disuguaglianza di Bessel posso poi scrivere
 a

k 1
|2
k
 bk

|2
|2
a
1 L 2
  F | x dx  0
L L
2
Poiché, per ipotesi, l’integrale a secondo membro assume un valore finito ( F | è limitata), allora la
serie numerica a termini non negativi
 a

k 1
|2
k
 bk
|2

converge. E siccome converge anche la serie armonica

1 / k
2
, in definitiva la serie numerica

 1 L2
1
|2
|2
  2 k 2 2 bk  ak  k 2 


converge. Avendo dimostrato allora che
ak cos



 1 L2
kx
kx
1
|2
|2
 bk sin
  
bk  ak  2 
2 2
L
L
k 
k 1  2 k 
ne segue la convergenza totale ■
Si ricorda adesso che, in base ai risultati sulla teoria delle serie di funzioni, se la serie di Fourier
converge uniformemente verso la relativa funzione F , cosa che accade per esempio nelle ipotesi
del precedente teorema, allora si può integrare F integrando la serie di Fourier, cioè si può scrivere
19
 F x dx 
x2
x1


x2  a
x2 
a
kx
kx  
kx
kx 

   0    ak cos
 bk sin
 bk sin
dx  0 x2  x1      ak cos


x1
x
L
L 
2
L
L 
k 1 1 
 2 k 1 
Tuttavia, come scopriamo con il prossimo teorema, non è necessario che si verifichino tutte le
ipotesi del teorema precedente per poter integrare. In particolare l’ipotesi di continuità non è
necessaria.
20
Disuguaglianza di Bessel e teorema di Riemann
Seguono due teoremi: la disuguaglianza di Bessel e il teorema di Riemann. Si tratta di due proprietà
che legano la serie di Fourier alla sua funzione, nel caso di convergenza uniforme. Comincio con un
lemma alla dimostrazione della disuguaglianza di Bessel.
Deduzione,
Lemma alla disuguaglianza di Bessel. Risulterà utile provare che
a
2
L sn x  dx  L 0
L
2
2
n

 L ak  bk
k 1
2
2

dove si intende che sn è la somma parziale di ordine n della generica serie di Fourier, ovvero che
s n  a0
1
x
x
2x
2x
nx
nx
 a1 cos  b1 sin
 a2 cos
 b2 sin
 ...  an cos
 bn sin
2
L
L
L
L
L
L
Dimostrazione. Questa proprietà si può dimostrare attraverso il procedimento di induzione.
Dunque vediamo prima se essa è vera per n  1 . In tal caso la proprietà da dimostrare si scrive

a
x
x 
 1
2
2
L  a0 2  a1 cos L  b1 sin L  dx  L 20  L a1  b1
2
L
2

Allora procediamo al calcolo del primo integrale. A tale scopo sviluppiamo il quadrato del termine
integrando:
x
x 
x
x
x
 1
2 1
2
2
2 x
 b1 sin 2
 a0 a1 cos  a0b1 sin

 a0  a1 cos  b1 sin   a0  a1 cos
L
L
4
L
L
L
L
 2
x x
 a1b1 cos sin
L
L
2
Calcoliamo adesso i sei integrali di cui l’integrale di partenza costituisce la somma. Prima però
ricordo, per abbreviare i passaggi, che, integrando per parti si calcolano facilmente i seguenti
integrali indefiniti:
x  sin x  cos x
c
2
x  sin x  cos x
2
c
 sin x  dx 
2
 cos x  dx 
2
Dunque si ha
x
x 
 1
2 L
2 L
2 L
2 x
2 x
L  a0 2  a1 cos L  b1 sin L  dx  a0 2  a1 L cos L dx  b1 L sin L dx 
L
2
21
L
x
L
L
 a0 a1  cos
L
x
L
L
dx  a0b1  sin
L
x
L
L
dx  a1b1  cos
sin
x
L
dx 
L
 a0
2
 a1b1
L
x
x 
x
x 
 x
 x
 sin
 cos 
 sin
 cos 
2 
2 
L a1 L L
L
L   b1 L  L
L
L  


2
 
2
 
2







 L

 L
L


L
L
sin
x
L
d sin
x
L
 a0
2
L
L  x 
2
2
 a1 L  b1 L  a1b1  sin 
2

L
2 L
L
2

a
2
2
 L 0  L a1  b1
2

Dunque la proprietà è valida per n  1 . Adesso voglio dimostrare che se la proprietà vale per n  1 ,
allora essa varrà anche per n . La proprietà per n  1 si scrive
 s x 
L
L
2
n1

2
Sommando L an  bn
2
2
L

 ad entrambi i membri abbiamo
 s x dx  La
L

n1
a
2
2
dx  L 0  L ak  bk
2
k 1
2
n1
2
n
 bn
2

2

n
a
2
2
 L 0  L ak  bk
2
k 1

Considerando ora che
nx 
nx 

2
2 L 
L  cos L  dx  L  Lan  an L  cos L  dx
2
L
2
nx 
nx 

2
2 L 
sin
dx

L

Lb

b


n
n
L  L 
L  sin L  dx
2
L
2
possiamo scrivere
 s x  dx  La
L
L
2
n 1
2
n
 bn
2

2


n
a
2
2
 L 0  L ak  bk 
2
k 1
2
2
2
n


 sn1 x 2  an 2  cos nx   bn 2  sin nx  dx  L a0  L ak 2  bk 2
L 
L 
L  
2


k 1


L

A secondo membro abbiamo ciò che cercavamo. A primo membro mancano dei termini
nell’integrando. Tuttavia si osservi che
nx 

 a0 an cos
dx  0
L 

L 
nx 
L  a0bn sin L dx  0

L
L
22
kx
nx
an cos
dx  0
L
L
L
L
kx
nx
L ak sin L an cos L dx  0
L
kx
nx
L ak cos L an sin L dx  0
L
kx
nx
L ak sin L an sin L dx  0

L
k  1,2,...n  1
ak cos
k  1,2,...n  1
k  1,2,...n  1
k  1,2,...n  1
E allora possiamo scrivere, per il primo membro, che
2
2


L
 sn1 x 2  an 2  cos nx   bn 2  sin nx  dx  sn x 2 dx
L 

L
L 
L  



L
E in definita abbiamo trovato allora
a
2
L sn x  dx  L 0
L
2
2
n

 L ak  bk
k 1
2
2

che è la tesi ■
Dopo questo noioso e macchinoso lemma ecco la disuguaglianza di Bessel.
Deduzione,
Disuguaglianza di Bessel. Data la funzione f :  L, L, se la sua serie di Fourier converge
uniformemente ad essa, allora si ha
 a

k 1
2
k

 bk 
2
2
a
1 L 2
f x dx  0

L L
2
dove si intende che i coefficienti a0 , a1 , b1 , a2 , b2 ,... sono i coefficienti della serie di Fourier della
funzione f :  L, L.
Dimostrazione. In questa dimostrazione si parte dal lemma di cui sopra. Tieni presente il primo
mebro del lemma. Adesso vediamo di scriverlo in un altro modo. Basta seguire questi semplici
passaggi:
 f x   sn x 2   f x 2  sn x 2  2 f x sn x  
sn x 2   f x   sn x 2   f x 2  2 f x sn x 
Andando a sostituire nel primo membro del lemma abbiamo
a
2
2
L  f x  sn x  dx  L  f x  dx  2L f x sn x dx  L 0
L
L
L
2
2
23
n

 L ak  bk
k 1
2
2

Bene, adesso ci dobbiamo concentrare sul terzo integrale a primo membro. Se sviluppiamo la
somma parziale della serie di Fourier abbiamo

L
L
L
L
 x 
 x 




f
x
dx

a
f
x
cos
dx

b
f x  sin  dx 


1
1
L
L


L
L
L
L
 nx 
 nx 
f x  cos
dx  bn  L f  x  sin 
dx
 L 
 L 
f x sn x dx 
...  an 
L
L
a0
2
L
Non salta agli occhi qualche cosa di familiare? Esatto: i coefficienti della serie di Fourier di f x  !
Infatti ricordo che
ah 
1 L
hx
f x  cos
dx,


L
L
L
h  0,1,2,3,...
bh 
1 L
hx
f x  sin
dx,


L
L
L
h  1,2,3,...
Quindi, sostituendo nella espressione di cui sopra, si ha

L
L
2

2
n
a L
a L
2
2
2
2
2
2
f x sn x dx  0  a1 L  b1 L  ...  an L  bn L  0  L ak  bk
2
2
k 1

Sostituiamo questo integrale nella espressione del lemma abbiamo adesso




L
2
L
a
2
2
2
2
2
L  f x   sn x  dx  L  f x  dx  a0 L  2L ak  bk   0
L
 a
L
n
k 1
2
k
 bk
2


2
n
n
a
2
2 
2
2
 L ak  bk   L 0  L ak  bk 
2
k 1
k 1
 2

a
2
2
L  f x   sn x  dx  L  f x  dx  2 0
L
n
2
k 1
2
L
n


 L ak  bk 
k 1
2
2
2
L
a
1 L
2
2
   f x  dx  0    f x   sn x  dx

L

L
L
2
Tenendo adesso presente che evidentemente
2
2
L
a
a
1 L
1 L
2
2
2

f x  dx  0    f  x   sn  x  dx    f x  dx  0

L
L L
2
L L
2
si ha la tesi ■
Deduzione,
Corollario alla disuguaglianza di Bessel: teorema di Riemann. La funzione f :  L, L sia
limitata. La sua serie di Fourier sia ad essa uniformemente convergente. Allora si ha
24
1 L
kx
f x  cos
dx  0

k 
k  L  L
L
1 L
kx
lim bk  lim  f x sin
dx  0
k 
k  L  L
L
lim ak  lim
Dimostrazione. Basta partire dalla disuguaglianza di Bessel. A primo membro della disuguaglianza
abbiamo una serie numerica i cui addendi sono non nulli. Questo significa che tale serie o converge
ad un numero reale non negativo, oppure diverge a   . D’altra parte l’integrale a secondo
membro, essendo f limitata, deve essere un numero reale non infinito; e così tutto il secondo
membro. Allora la serie numerica a primo membro deve convergere. Questo comporta che i suoi
termini debbano tendere a zero per k   . Cioè appunto la tesi ■
25
Integrazione della serie di Fourier, notazione complessa della
serie di Fourier e serie doppia di Fourier
Deduzione,
Integrazione della serie di Fourier. Sia data la funzione f :  L, L che estendiamo ad  creando
la funzione F :  di periodo 2 L . Supponendo che la funzione F :  sia regolare a tratti, allora la
relativa serie di Fourier può essere integrata membro a membro, risultando che

x2
x1
F x dx 

x
a0
x2  x1    x 2  ak cos kx  bk sin kx dx
2
L
L 
k 1 1 
per ogni x1 , x2   L, L .
Dimostrazione. Definisco la funzione
 x
a 

G x     F t   0 dt
L
2

Mettiamo di poter affermare che la funzione così definita sia regolare a tratti in  , essendolo la sua
funzione integrando. Allora essa la sua serie di Fourier converge almeno puntualmente e si ha

x 
 
a 

k
Gx     F t   0 dt  0    k  cos
L
2
2 k 1  
L

k  


x    k  sin
x
L  


dove  k ,  k sono i coefficienti della serie di Fourier della funzione G . Dunque posso scrivere
x2 
a 
G x2   G  x1     F t   0 dt 
x1
2


 
k 
k     
k 
k  


    k  cos
x2    k  sin
x2       k  cos
x1    k  sin
x1   
L 
L   k 1  
L 
L  



k 1 

 
k
k 
k
k  

    k  cos
x2  cos
x1    k  sin
x2  sin
x1  
L
L 
L
L  


k 1 
Ricordando il teorema sulla derivazione delle funzioni integrali abbiamo d’altra parte
a 

d  F t   0 
x 
x
a 
dGx 
dx
d  L 
2
   F t   0 dt   
dt  F x   F  L 
 F x 
L
L
dx
2
dx
dx
dx

E allora invocando il terzo lemma possiamo scrivere
ak 
k
 k   k  ak k / L
L
bk  
k
 k   k  bk k / L
L
26
dove si intende che ak , bk sono i coefficienti di Fourier di F x  . Dunque, sostituendo, si ha
x2 
a 
G x2   G x1     F t   0 dt 
x1
2


 bk k 
k
k  ak k
x2  cos
x1  
 
 cos

L 
L
L 
L
k 1 
k
k  

x2  sin
x1  
 sin
L
L  

Va bene, ora divaghiamo un attimo con questi due facili passaggi:

x2
x1
kx
L
cos
dx 
L
k

x2
x1
kx  L
kx 2

d  sin
sin


L  k
L x1

x
L 
kx2
kx1  
kx2
kx1  L
 sin
 sin
 sin
   sin

k 
L
L  
L
L  k
x
x2
kx
L x2 
kx 
L
kx 2
x1 sin L dx   k x1 d  cos L    k cos L x 
1



x2
x1
cos
L 
kx2
kx1  
kx2
kx1 
L
 cos
 cos
 cos
   cos

k 
L
L  
L
L 
k

kx
dx
L
x2
x1
sin
kx
dx
L
Sostituendo nella equazione di cui sopra si ha allora

x2 
a 
 b k L
G x2   G x1     F t   0 dt    k
x1
2
L k

k 1 

x2
kx
kx 
 x2
   bk  sin
dx  ak  cos
dx 
x1
x
1
L
L

k 1 

x2
x1
sin
a L
kx
dx  k
L
kL k

x2
x1
cos
kx 
dx  
L

Rimaneggiando abbiamo dunque trovato che

x2
x1
F t dt 

x
x
a0
x2  x1     bk x 2 sin kx dx  ak x 2 cos kx dx 
1
1
2
L
L

k 1 
che è appunto la tesi ■
Adesso scriviamo la serie di Fourier della generica funzione f :  L, L in una forma compatta
attraverso l’uso dei numeri complessi. A tale scopo si ricordi la formula di Eulero
e i   cos   i sin 
Deduzione,
Serie di Fourier in notazione complessa. La serie di Fourier della generica funzione f :  L, L si
scrive anche
27

c e
k 
ikx
L

1 L


con ck 
f
t
e
2 L L
k
ik
t
L
dt
Dimostrazione. Ricorrendo alla formula di Eulero si ha
ikx

 
kx
kx 

L
c
e

ck  cos
 i sin

 k

L
L 
k 
k   

ik
c  1 L f t e  L t dt  1 L f t  cos k
  L
 k 2 L  L
2 L  L
 


 k
t   i sin 

 L

t  dt

Sostituendo l’espressione dei coefficienti ck in quella della serie di Fourier si ha allora

 ck e
ikx
L

k 

  k
1  
k
k  L
x  i sin
x   f t  cos

 cos
2 L k 
L
L  L
  L
  k
1   L

  L f t  cos
2 L k 
  L

 k
x   i sin 

 L
   k
x   cos
   L

 k
t   i sin 

 L

 k
t   i sin 

 L
 
t  dt  
 
 
t  dt  
 

  k   k 
 k   k   
x  cos
t   i sin 
t  cos
x  
 cos
 L
L
L
L
L
1







  

 f t 

dt




L
2 L k 
k   k 
k   k   


  i sin 
x  cos
t   sin 
x  sin 
t   

 L   L 
 L   L  



Ricordando le formule trigonometriche
sin  cos   cos  sin   sin    
e ponendo

k
x
L

k
t
L
abbiamo
ikx
L
  k   k 
1   L
 k   k   
x  cos
t   sin 
x  sin 
t  dt  

  L f t  cos
2 L k 
 L   L  
k  
  L   L 
i   L
 k
 


f t  sin 
x  t dt 



2 L k   L
 L
 

c e
k

Ma si osservi ora che

 k
 
  f t sin  L x  t dt  

k 
L
L
28
 L
 k
    L
 k




x  t dt  
f
t
sin
x

t

dt     L f t sin 

 L
 L
  k 1 
 L
 
k 

 L
 k
    L
 k

x  t dt  
    f t  sin 
x  t dt      f t  sin 
L

L
 L
  k 1 
 L
 
k 0 
0

L
 0
x  t dt  0
  f t  sin 
L
 L

Dunque tutti gli addendi immaginari si semplificano: questo grazie al fatto che la serie vada da  
a   . E otteniamo
ikx
L
  k   k 
1   L
 k   k   
x  cos
t   sin 
x  sin 
t  dt  

  L f t  cos
2 L k 
 L   L  
k  
  L   L 
1    k  L
 k 
 k  L
 k  

cos
x   f t  cos
t dt  sin 
x   f t  sin 
t dt 


2 L k   L   L
 L 
 L  L
 L  

c e
k

Adesso dobbiamo considerare ancora che qui la sommatoria va da   a   . E allora riscriviamo
quanto ottenuto come

 ck e
ikx
L

k  

1 1   k  L
 k 
 k  L
 k  
cos
x   f t  cos
t dt  sin 
x   f t  sin 
t dt  


2 L k   L   L
 L 
 L  L
 L  
1   0  L
 0 
 0  L
 0  


cos
x
f
t
cos
t
dt

sin
x   f t  sin 
t dt  








L

L
2L   L 
 L 
 L 
 L  
1    k  L
 k 
 k  L
 k  
cos
x   f t  cos
t dt  sin 
x   f t  sin 
t dt  


2 L k 1   L   L
 L 
 L  L
 L  
1 1   k  L
 k 
 k  L
 k  

cos
x   f t  cos
t dt  sin 
x   f t  sin 
t dt  


2 L k   L   L
 L 
 L  L
 L  

1 L
1    k  L
 k 
 k  L
 k  





f
t
dt

cos
x
f
t
cos
t
dt

sin
x   f t  sin 
t dt 










L

L

L
2L
2 L k 1   L 
 L 
 L 
 L  
Ricordando che il seno è una funzione dispari e che il coseno è invece una funzione pari si ha

 ck e
ikx
L
k 

1    k  L
 k 
 k  L
 k  
cos
x   f t  cos
t dt  sin 
x   f t  sin 
t dt  


2 L k 1   L   L
 L 
 L  L
 L  

1 L
1    k


f
t
dt

 cos
2 L  L
2 L k 1   L
 L
 k 
 k  L
 k  
x   f t  cos
t dt  sin 
x   f t  sin 
t dt  
L

L

 L 
 L 
 L  
1    k  L
 k 
 k  L
 k  
f t dt   cos
x   f t  cos
t dt  sin 
x   f t sin 
t dt 

L

L
L k 1   L 
 L 
 L 
 L  

1 L
2 L  L
Dunque in fine abbiamo dimostrato che
29

c e
k  
ikx
L
k



a0 L
 k 
 k 


f
t
dt

ak cos
x   bk sin 
x 




L
2L
 L 
 L 
k 1 
cioè la tesi ■
Ora vogliamo considerare il caso di funzioni di più variabili e vedere se è possibile avere per esse
degli sviluppi in serie trigonometriche. Consideriamo allora la funzione f x, y  :  L, L  M , M  .
Supponendo che si abbia

k
k 

f x, y     Ak  y  cos
x  Bk  y  sin
x
L
L 
k 1 
con
Ak  y  
1 L
 k 
f  x, y  cos
x dx


L
L
 L 
Bk  y  
1 L
 k 
f x, y  sin 
x dx


L
L
 L 
Cioè diciamo che, per ogni data y la funzione di x data da f x, y  sia tale da avere una serie di
Fourier convergente. Allora, per il calcolo dei coefficienti, che poi sono in questo caso delle
funzioni di y , possiamo pensare che anche loro ammettano delle serie di Fourier convergenti, e
scrivere dunque


 k
Ak  y     akh cos
 L
h 1 


 k
Bk  y      kh cos
 L
h 1 

 k  
y   bkh sin 
y  

 L 

 k  
y    kh sin 
y  

 L 
dove
 k 
Ak  y  cos
y dy
M
M 
1 M
 k 
bhk 
Bk  y  sin 
y dy

M M
M 
ahk 
1
M

M
Sostituendo qui le espressioni di Ak  y , Bk  y  abbiamo
ahk 
1
LM
 k   k
  f x, y  cos L x  cos M
bhk 
1
LM
 
M
L
M L
M
L
M L

y dxdy

 k   k 
f  x, y  sin 
x  sin 
y dxdy
 L  M 
Ricavati i coefficienti si avrà allora
30
f x, y  
 


k
 k 
 k  
 k 
 k   k 
   akh cos
y   bkh sin 
y   cos
x   kh cos
y    kh sin 
y   sin
x
L
L 
 L 
 L 
 L 
 L 
k 1 h1 

31
Serie di Fourier e conduzione termica
In questa sezione ci occupiamo della risoluzione, attraverso l’uso dello sviluppo in serie di Fourier,
della equazione differenziale alle derivate parziali
  2T  2T  2T  T
D 2  2  2  
y
z  
 x
detta equazione di Fourier, della quale ricordo brevemente il significato e l’utilità. Intanto la
funzione rispetto alla quale si risolve l’equazione, cioè la funzione scalare T  T x, y, z;  ,
rappresenta il campo termico, ovvero il valore della temperatura in ogni dato punto dello spazio e in
ogni dato istante (la variabile  rappresenta proprio il tempo). La costante D , detta diffusività
termica, descrive le proprietà termiche del corpo del quale si vuole conoscere il campo termico: si
consideri che si assume che il corpo sia omogeneo rispetto alla diffusività, altrimenti non si
potrebbe tirare fuori dalla derivazione la diffusività, e l’equazione di Fourier avrebbe una
espressione più complessa.
Si precisa che la diffusività termica di un mezzo è data da D   /  , dove  è la conduttività
termica (una cosa del tutto analoga alla conduttività nella elettrostatica), mentre  è il calore
specifico (paragonabile alla inerzia dei corpi in meccanica) e  la densità.
Le unità di misura della diffusività termica sono m 2 / s .
Esempio 1,
Sbarra isolata. Abbiamo una sbarra cilindrica lunga 3m il cui mantello sia isolato termicamente.
La temperatura iniziale della barra sia uniformemente di 25 C , mentre agli estremi viene
mantenuta, per   0 , una temperatura nulla. Quale è l’andamento, nel tempo, del campo termico
della barra?
Si osserva intanto che il sistema fisico in esame è monodimensionale. È sufficiente cioè un solo
asse di riferimento. Chiamo x tale asse, lo oriento come l’asse della barra, e ne metto l’origine in
coincidenza con un estremo della barra stessa. Considerando allora equazione di Fourier e
condizioni al contorno abbiamo il problema
  2T T
D 2 

 x
T x,0  25 C , T 0,   0 C , T 3m,   0 C

Separo ora le variabili, cioè uso un procedimento molto ingegnoso, anche se probabilmente di rara
applicabilità, che consiste che il campo termico che risolve il sistema si possa scrivere come
prodotto di due funzioni di cui una dipendente dalla sola variabile spaziale e l’altra dipendente dalla
sola variabile temporale. Pongo cioè per ipotesi che T x;   X x  e dunque ho
DX || x    X x |    D
X || x  |  

X x   
32
Si osserva adesso che se deve essere vera questa eguaglianza, allora i suoi due membri debbono
essere costanti (questo è il passaggio geniale del metodo di separazione delle variabili). Dunque,
detta  questa costante si ha
 |       0
X ||  x   |  

D

    ||

X  x   
 X x   X x   0
D

Abbiamo due equazioni differenziali ordinarie (cioè senza derivate parziali), omogenee ( cioè con
coefficiente nullo del termine senza la funzione da ricavare), a coefficienti costanti (nel senso che i
coefficienti degli addendi sono delle costanti), del primo (la prima equazione) e del secondo (la
seconda equazione) ordine.
Considero il polinomio caratteristico della prima equazione, e ne cerco la radice:
   0  
Dunque, secondo la teoria sulle ODE omogenee a coefficienti costanti la soluzione generale della
suddetta equazione è
   C1e
Notiamo allora immediatamente che deve essere   0 , perché se così non fosse avremmo
    per    , il che è fisicamente impossibile.
Considero adesso il polinomio caratteristico della seconda equazione, e ne cerco le radici:
2 

D
 0  

D
 i

D
La presenza dell’unità immaginaria si giustifica considerando che   0 (vedi sopra). Va bene,
allora l’integrale generale di questa equazione si scrive
  
  
X  x   C2 cos
x   C3 sin 
x 
 D 
 D 
Per cui la soluzione della equazione di Fourier per il nostro caso fisico deve essere del tipo

  
   
T x;   X x    C1e  C2 cos
x   C3 sin 
x 
D
D





Adesso possiamo iniziare ad imporre le condizioni al contorno. Comincio con l’imporre che sia
T 0,   0 C . Dunque

  
    0
C1e  C2 cos
0   C3 sin 
0  0 C  C1C2 e  00C  C2  0
D
D





33
Si deduce anche che C1 ha dimensione di temperatura. Dunque la soluzione della equazione di
Fourier si riduce a
  
T  x;   C1C3e  sin 
x 
 D 
Passo ora a imporre la condizione T 3m,   0 C :
 



T 3m;   C1C3e  sin 
3m   00 C 
3m  n 
9m  n 2 2 
D
D
 D

n 2 2 D

9m
Quindi la soluzione è adesso del tipo
T x;   C1C3e

n 2 2 D

9m
 n 
sin 
x
 3m 
n  1,2,...
Posso imporre l’ultima condizione al contorno, cioè T x,0  25 C . Ottengo
 n 
T x;0  C1C3 sin 
x   250 C
3
m


Si vede però che questa condizione non può essere soddisfatta dalla nostra soluzione. Allora si
considera che in realtà noi abbiamo trovato infinite soluzioni, una per ogni valore di n . Se noi
sommiamo questa serie di soluzioni, abbiamo ancora una soluzione. Se allora pongo C1C3  Cn ,
ammettendo così che C n possa assumere un valore diverso in corrispondenza ad ogni valore di n ,
abbiamo che la soluzione della equazione di Fourier si scrive anche

T x;    Cn e
n 1

n 2 2 D

9m
 n 
sin 
x
 3m 
Si osservi che qui supponiamo che la serie di funzioni converga al campo termico, cosa che è
ammissibile visto che il campo termico, come traduzione matematica di un fenomeno fisico, è una
funzione con tutte le garanzie di continuità ad ogni ordine di integrazione.
Allora adesso torniamo ad imporre l’ultima condizione al contorno:

C
n 1
n
 n 
sin 
x   250 C
 3m 
Cosa abbiamo? Abbiamo la funzione costante 250 C, x  0 e la sua serie di Fourier, espressa come
serie di soli seni (cosa legittima visto che la funzione è definita solo per x  0 e dunque il fatto che
sia pari o dispari non ha importanza). Allora non ci resta che calcolare i coefficienti di questa serie
34
di Fourier di soli seni, ricorrendo alla formula generale (o rifacendo i semplici passaggi che
conducono alla formula dei coefficienti di Fourier). Teniamo presente però che la funzione costante
deve essere trasformata, in questo calcolo, nella funzione dispari
25C per x  0
g x   
 25C per x  0
Allora si ha
0
3m
 n 
 n 
 n 
g  x sin 
x dx    250 C sin 
x dx   250 C sin 
x dx 
3 m
3 m
0
 3m 
 3m 
 3m 
Cn  
3m
3m
 0
 n 
 n  
 250 C    sin 
x dx   sin 
x dx  
3 m
0
 3m 
 3m  

3m
 0
 n 
 n  
 250 C   sin  
x dx   sin 
x dx  
3 m
0
 3m 
 3m  

3m
  3 m  n 
 n  
 250 C   sin  
x d  x    sin 
x dx  
0
 3m 
 3m  
 0
3m
3m
 3 m  n 
 n  
 n 
 250 C   sin 
x dx   sin 
x dx   50 0 C  sin 
x dx 
0
0
0
 3m 
 3m  
 3m 

 3m  3m  n   n 
 3m  3m
 n 
 500 C 
x d 
x   500 C 
x 
 0 sin 
 0 d cos
 n 
 3m   3m 
 n 
 3m 
3m
 3m   n 
 3m 
0  3m 
 50 C 
x   500 C 
cos
cosn   1  50 C 
1  cosn 
 n   3m  0
 n 
 n 
0
Dunque la soluzione del problema si scrive in definitiva

 
 3m 
T x;    500 C
1  cosn e
 n 
n1 


n2 2 D

9m
 n 
sin 
x
 3m 
Si deve osservare adesso che per n dispari si hanno termini nulli della serie di funzioni. Dunque si
devono considerare solo i valori n  2k . Si riscrive allora la soluzione come

 3m
T x;    500 C 
 2k
k 1 


150


m 0C 
k 1
e

4 k 2 2 D

9m
 

1  cos2k  e


 2k
sin 
 3m
k
4 k 2 2 D

9m
 2k
sin 
 3m

x 


x

Esempio 2,
Sbarra isolata. Riconsideriamo la sbarra dell’esempio precedente e imponiamo le nuove condizioni
al contorno:
T x;0  25C, T 0;   10C, T 3m;   40C
35
Riconsideriamo allora la soluzione generale ottenuta nel precedente esercizio partendo dalla ipotesi
di poter separare le variabili, cioè di poter scrivere il campo termico come T x;   X x  .
Avevamo trovato

  
   
T x;   C1e  C2 cos
x   C3 sin 
x 
D
D





Se provo ad imporre a questa soluzione generale di verificare la seconda condizione al contorno
abbiamo
T 0;   C1C2e  10C
Per soddisfare questa condizione dovremmo porre   0 . Ma in questo caso, fatte le sostituzioni, si
otterrebbe un campo termico costante nello spazio e nel tempo, cosa che non è possibile, visto che
alle due estremità viene imposta una temperatura diversa da quella iniziale della barra.
Ecco allora un altro procedimento di risoluzione un po’ più complicato della semplice separazione
delle variabili: facciamo l’ipotesi che si possa scrivere
T x;    x;   x  X x   x
Si vede che si ipotizza che il campo termico sia la somma di una funzione a variabili separabili con
una funzione che dipende dalla sola variabile spaziale. Allora l’equazione di Fourier e le relative
condizioni al contorno si scrivono
  2
d 2 
D

D

 x 2
2
dx


 x;0   x   25C
 0;    0   10C

 3m;    3m   40C
Data la linearità del sistema qui sopra, possiamo scomporlo in due sistemi. Per esempio si possono
considerare i due sistemi seguenti:
  2 
 d 2

0
 D x 2  
 dx 2


  x;0  25C    x 
 0  10C
 3m   40C
 0;   0C



 3m;   0C
Allora prendiamo il primo sistema. Abbiamo una equazione differenziale ordinaria (senza cioè
derivate parziali), omogenea del secondo ordine, a coefficienti costanti. Risolvo il suo polinomio
caratteristico presenta la radice 0 con molteplicità 2. Dunque l’integrale generale si scrive
 x  C1 x  C2
36
Imponiamo adesso le condizioni al contorno:
 0  10C  C1 x  0  C2  10C  C2  10C


40C  10C
C
 10
 3m   40C  C1 3m   C2  40C  C1 
3m
m
Dunque la soluzione cercata è
 x   10
C
x  10C
m
Adesso dedichiamoci invece al secondo problema, quello con le derivate parziali. Abbiamo detto
che procediamo per separazione di variabili. Dunque, considerando anche il risultato appena
ottenuto, il problema suddetto si scrive

d 2 X x 
d 
  2 




D
 X x 

2
dx
d
 D x 2  


C

x
 x;0  25C   x    X x 0  15C  10
m
 0;   0C


 X 0   0C
 3m;   0C
 X 3m    0C

Allora, per la risoluzione della equazione differenziale utilizziamo direttamente l’integrale generale
trovato nell’esercizio precedente, cioè

  
   
x   C3 sin 
x 
D
D




 x;   C1e  C2 cos

Se imponiamo le condizioni al contorno  0;   0C,  3m;   0C , che sono proprio le stesse
dell’esempio precedente, abbiamo allora lo stesso risultato è cioè le soluzioni

 x;    Cn e
n 1

n 2 2 D

9m
 n 
sin 
x
 3m 
Adesso rimane solo da imporre la condizione  x;0  15C  10xC / m . Dobbiamo imporre cioè
che sia

C
n1
n
C
 n 
sin 
x   15C  10 x
m
 3m 
Cosa abbiamo? Abbiamo una serie di Fourier di soli seni (a sinistra) di una funzione polinomiale (a
destra). Quello che dobbiamo fare allora è applicare la formula per il calcolo dei coefficienti di
Fourier. Per fare questo però dobbiamo definire anche per x  0 la funzione polinomiale. E poiché
la funzione così definita deve essere dispari (altrimenti non potrebbe essere sviluppata in una serie
di soli seni), definiamo tale funzione come segue:
37
C


15

C

10
x
per x  0

m
g x   
15C  10 x C per x  0

m
Allora si ha
Cn 
3m
1 3m
1  0
 n 
 n 
 n  
g x  sin 
x dx 
x dx   g x  sin 
x dx  
  g x  sin 

0
3m 3m
3m  3m
 3m 
 3m 
 3m  

3m 
1  0 
C   n 
C   n  
x dx   15C  10 x  sin 
x dx  
    15C  10 x  sin 

3
m
0
3m 
m   3m 
m   3m  



3m 
1  0 
C   n 
C   n  
x dx   15C  10 x  sin 
x dx  
    15C  10 x  sin 
0
3m  3m 
m   3m 
m   3m  


3m
15C  0
 n 
 n  
x dx   sin 
x dx  
   sin 
0
3m  3m  3m 
 3m  

3m
10C  0
 n 
 n  
x sin 
x dx   x sin 
x dx 

2  3 m
0
3m 
 3m 
 3m  
Adesso giochiamo ad invertire gli estremi di integrazione e a mettere in evidenza dei segni meno.
Otteniamo
3m
15C  3m  n 
 n  
x dx   sin 
x dx  
  sin 
0
3m  0
 3m 
 3m  

3m
10C  3m
 n 
 n  
x dx   x sin 
x dx  
 x sin 
2  0
0
3m 
 3m 
 3m  

30C  3m  n   20C  3m
 n  
x dx  
x dx 
  sin 
 x sin 
2  0
0
3m 
 3m   3m 
 3m  
Adesso procediamo a calcolare gli integrali:

3m
3m
3m 3m
3m 
 n 
 n 
 n 
 n  
x sin 
x dx  
xd
cos
x


x
cos
x

cos





0  3m x dx 
n 0
n 
 3m 
 3m 
 3m  0

3m
0
3m
3m 
3m 3m
3m 
3m  n  
 n 

3m cosn  
d sin 
x   
sin 
x  
3m cosn  
n 
n 0
n 
n
 3m 
 3m  0 

3m 
3m
9m 2





3
m
cos
n


sin
n




n 
n
n
1
9m 2






cos
n


sin
n



cosn 


n
n
3m

3m
0
3m 3m
3m
3m
 n 
 n 
 n 
cosn   1
sin 
x dx  
d cos
x  
cos
x  

0
n
n
n
 3m 
 3m 
 3m  0
Dunque si ha
38
Cn  
30C
cosn   1  60C cosn 
n
n
Si osservi allora che
30C
60C 60C

n pari  Cn   n 1  1  n  n

n dispari  C   30C  1  1  60C  60C  60C  0
n

n
n
n
n
Dunque si può scrivere

 x;    Cn e

n 2 2 D

9m

 n  
sin 
x    C2 k e
 3m  k 1
n 1

30C


1 
e

k 1 k
 2 k 2  2 D
9m
 2 k 2  2 D
9m
 2k 
sin 
x 
 3m 
 2k 
sin 
x
 3m 
In definitiva la soluzione del problema qui proposto si scrive
T x;  
30C


1 
e

k 1 k
2 k 2  2 D
9m
C
 2k 
sin 
x   15C  10 x
m
 3m 
Esempio 3,
Parete piana. Consideriamo una parete pianeggiante di spessore L e di dimensioni trasversali
infinite. Le due facce della parete siano isolate termicamente, mentre il campo termico nella parete,
all’istante iniziale, sia descritto dalla funzione f x  . Si intende che l’asse x sia ortogonale alla
giacitura della parete e abbia origine su una delle due superficie estreme della parete stessa. Allora
qual è la funzione del campo termico per   0 ?
Il sistema da risolvere è
  2T T
 D x 2  

T x;  0  f  x ,

T
0;   0,
x
T
L;   0
x
Operando per separazione di variabili, come nell’esempio uno, si trova l’integrale generale

  
   
T x;   e  C1 cos
x   C2 sin 
x 
D
D





Ora derivo rispetto a x per imporre le condizioni al contorno sulla derivata.
39
T x; 
 e 
x

  
   
D
D
sin 
x   C2
cos
x 
 C1

D


D





Impongo allora le condizioni suddette:
T
0;   0  e C2 D  0  C2  0
x



T
L;   0  e C1 D sin    L   0 
x

 D 

L  n 
D
  n

D
L
Abbiamo trovato allora le soluzioni
 n 
T x;   e  Cn cos
x
 L 
n  1,2,3...
Nessuna di queste soluzioni può soddisfare la restante condizione al contorno. Tuttavia,
considerando che qualunque somma di queste soluzioni è ancora una soluzione, posso considerare
la soluzione

 n 
T  x;   e   Cn cos
x
 L 
n 1
e imporre la restante condizione

 n 
T  x;  0    Cn cos
x   f x 
 L 
n 1
Ci troviamo allora di fronte alla serie di Fourier, di soli coseni, della funzione f x  . Allora i
coefficienti C n altro non sono che i coefficienti di Fourier di f x  . Per ricavarli secondo la formula
generale, occorre definire f x  anche in x  0 . Poiché lo sviluppo in serie di soli coseni è possibile
solo per una funzione pari, porremmo la definizione
 f x  per x  0
g x   
 f  x  per x  0
Dunque abbiamo
1 L
1 0
1 L
 n 
 n 
 n 
g x  cos
x dx   f  x  cos
x dx   f  x  cos
x dx 


L

L
0
L
L
L
 L 
 L 
 L 
1 0
1 L
2 L
 n 
 n 
 n 
  f x  cos 
x d  x    f x  cos
x dx   f  x  cos
x dx
L
0
0
L
L
L
 L 
 L 
 L 
Cn 
E la soluzione del problema è
40
T x;  
2e
L

 n    n 
   f xcos L x dx  cos L x 

n1
L


0
Esempio 4,
Sbarra infinita. Prendiamo una barra di sezione a  a e di lunghezza infinita. Diciamo che il
mantello della barra sia tenuto a temperatura costantemente nulla e che il campo termico della barra
sia descritto, per   0 , dalla funzione f x, y  . Quale è il campo termico negli istanti successivi?
x
a
a
z
y
Mettendo insieme equazione di Fourier e condizioni al contorno abbiamo il sistema da risolvere:
   2T  2T  2T  T
 D 2  2  2  
y
z  
  x

T  x, y;  0   f  x, y 
T  x,0;   T  x, a;   0

T 0, y;   T a, y;   0
Procedo per separazione di variabili, cioè faccio l’ipotesi che il campo termico possa scriversi come
T x, y;   X xY  y  
Con questa ipotesi l’equazione di Fourier si scrive

d 2 X x 
d 2Y x  
d 
  X x Y  y 




D Y  y  

X
x


2
2
dx
dy 
d

Procedo allora con la separazione delle variabili
41

d 2 X x 
d 2Y x  


D Y  y 
 X x 
2
2
dx
dy

  1 d  
X x Y  y 
  d
 1 d 2 X x 
1 d 2Y x  
1 d 
 
D

2
2
Y  y  dy    d
 X x  dx
Dunque, introdotta la generica costante reale  , abbiamo le due equazioni differenziali
 1 d 2 X x 
1 d 2Y x  

D

2
Y  y  dy 2 
 X x  dx
1 d 
d 
 
    0
  d
d
La seconda è una equazione ordinaria a coefficienti costanti, del primo ordine. Ricavo le radici del
suo polinomio caratteristico:
   0  
Dunque il suo integrale generale è
   C1e
Supponiamo che sia   0 , anche perché altrimenti avremmo che il campo termico ha come fattore
moltiplicativo una funzione che diverge per   0 .
Consideriamo adesso la prima equazione differenziale: possiamo separare ulteriormente le variabili
ottenendo
1 d 2 X x  
1 d 2Y x 


X x  dx 2
D Y  y  dy 2
Introdotta allora la generica costante reale  abbiamo le due equazioni differenziali
1 d 2 X x 
d 2 X x 



 X x   0
X x  dx 2
dx 2

D

1 d 2Y x 

Y  y  dy 2
Consideriamo la prima: è una equazione ordinaria, lineare a coefficienti costanti, del secondo
ordine. Cerco le radici del suo polinomio caratteristico:
2    0    
Si tratta adesso di fare una ipotesi sul segno di  . Se si ipotizza un segno negativo avremo un
integrale generale combinazione lineare di due funzioni esponenziali. Se si ipotizza un segno
42
negativo avremo invece una combinazione lineare di due funzioni trigonometriche. Opto per questa
seconda ipotesi, seguendo il consiglio di M. Spiegel (buon’anima?). Abbiamo l’integrale generale



X x  C2 cos x    C3 sin x  

Adesso rimane l’equazione differenziale

D

1 d 2Y x 
d 2Y x  




    Y  y   0
2
2
Y  y  dy
dy
D

Essendo   0,   0 , il segno del coefficiente in parentesi è indeterminato. Allora anche qui, per
avere un integrale generale con funzioni trigonometriche anziché esponenziali, ipotizzo che tale
coefficiente sia non positivo. Dunque, riassumendo, ho ipotizzato che

  0

  0


   0
D

E l’integrale generale della equazione differenziale di cui sopra si scrive


 
 


Y  y   C4 cos y        C5 sin  y       


D  
D  










 C4 cos y
    C5 sin  y
  
D
D




E allora abbiamo trovato, per il campo termico, la spaventosa espressione
T  x, y;   









 e  C1 cos x    C2 sin x    C3 cos y
    C4 sin  y
  
 D

 D





dove ho rimaneggiato le costanti per averne una in meno. Bene, adesso procedo con l’imposizione
delle condizioni al contorno.







T 0, y;   0  e  C1 C3 cos y
    C4 sin  y
    0  C1  0

 D

 D

T x,0;   0  e C1 cos x    C2 sin x   C3  0  C3  0




Fin qui abbiamo dunque trovato
43











T x, y;   e  C2 sin x   C4 sin  y
    Ke sin x   sin  y
  
D
D




dove ho accorpato ulteriormente le costanti. Impongo le altre due condizioni al contorno.





T a, y;   0  e  C2 sin a   C4 sin  y


T x, a;   0  e  C2 sin x   C4 sin  a


n
    0    
D
a




m
    0 
 
D
D
a


Abbiamo trovato allora le soluzioni
 n   m 
T x, y;   K nme  sin  x
 sin  y

 a   a 
n, m  1,2,...
dove la costante K è diventata un coefficiente con due indici, considerando che ciascuna delle  2
soluzioni sopra indicate avrà un valore proprio per la costante. Si deve adesso osservare che, in
generale, nessuna delle  2 soddisfa l’ultima condizione al contorno rimasta, cioè quella per   0 .
Però, considerando che la somma di tutte queste soluzioni è ancora una soluzione, possiamo
scrivere
 

 n
T x, y;     K nme  sin  x
 a
n 1 m1 
  m
 sin  y
  a



possiamo imporre
 

 n   m
T x, y;  0    K nm sin  x
 sin  y
 a   a
n1 m1 

  f x, y 

Abbiamo allora lo sviluppo in serie doppia di Fourier (di soli seni) della funzione f x, y  . Se
ampliamo l’insieme di definizione di questa funzione a tutto  2 , definendo la funzione dispari
 f x, y  per x  0 and

g x, y    f x, y  per x  0 and
 f x, y  per x  0 or

y0
y0
y0
allora, applicando la teoria (vedi parte su serie doppie di Fourier), si ha
44
K nm 

1
a2
1
a2
 n   m
  g x, y sin  a x  sin  a
a
a
a a

y dxdy 

 m  a
 n 
sin 
y   g x, y  sin 
x dxdy 
a
 a  a
 a 

a
a
 m  0
 n 
 n
sin 
y   g x, y  sin 
x dx   g x, y  sin 
a
0
 a  a
 a 
 a
2 a
 m  a
 n 
 2  sin 
y   g  x, y  sin 
x dxdy 
a a  a  0
 a 

1
a2

a
 
x dx dy 
 
a
 0

 m  a
 n 
 m  a
 n 
y   g x, y  sin 
x dxdy   sin 
y   g x, y  sin 
x dxdy  
  sin 
0
 a 
 a 0
 a 
 a  a  0

4 a  m  a
4 a a
 n 
 n   m 
 2  sin 
y   g x, y  sin 
x dxdy  2   g x, y  sin 
x  sin 
y dxdy
a 0
a 0 0
 a 0
 a 
 a   a 

2
a2
Per cui, in definitiva, il campo termico cercato è dato da
T  x, y;   

4
a2



 n   m  a a
 n   m 
x  sin 
y dxdy
 sin  y
 0 0 g x, y sin 
a   a 
 a   a 


 e sin  x
n 1 m1
Esempio 5,
Cilindro circolare retto. Abbiamo un cilindro circolare retto di lunghezza infinita. Metà del suo
mantello sia a temperatura T1 , mentre l’altra metà sia a temperatura T2 . Introdotto il sistema di
coordinate polari indicato in figura e ricordando l’espressione del laplaciano in coordinate
cilindriche, abbiamo il sistema
R
z
y
θ
x
45
r
  T 
 1  r r  1  2T

 
0
r
r 2  2
r

T r ,    T1 per 0    
T r ,    T per     2
2



Si osservi che manca la dipendenza dal tempo: studiamo lo stato stazionario del sistema fisico.
Procedo per separazione di variabili, cioè ipotizzo che il campo termico possa scriversi nella forma
T r,   Rr  
Allora l’equazione di Fourier si scrive
 dR 
d  r

2
2
2
1
 dr   1 R d   0   dR   d R  R d   0 
r
dr
r 2 d 2
r dr
dr 2 r 2 d 2
r dR r 2 d 2 R
1 d 2


R dr R dr 2
 d 2
Introdotta la costante reale  abbiamo allora le due equazioni differenziali
d 2R
dR
r
 R  0
2
dr
dr
d 2
2)
   0
d 2
1) r 2
La prima equazione non è a coefficienti costanti. Ma è una equazione di Eulero e come tale si
riduce ad una equazione lineare a coefficienti costanti operando
46
INDICE GENERALE
Insiemi ortonormati di funzioni
1
Introduzione alla serie di Fourier
7
Convergenza della serie di Fourier
11
Diseguaglianza di Bessel e teorema di Riemann
21
Integrazione della serie di Fourier,
notazione complessa della serie di Fourier
e serie doppia di Fourier
26
Serie di Fourier e conduzione termica
32
47