Istituzioni di Matematiche I
Prova parziale n.2 del 30.11.09 - Calcolo differenziale
[1]
1. Punti 11 + 2
Studiare le principali proprietà della funzione f ( x ) = x arcsen ( 1 /
x ) e tracciarne il
grafico.
In particolare precisare i punti di non derivabilità.
Il calcolo e lo studio della derivata seconda può essere svolto facoltativamente.
2. Punti 6
Risolvere in campo complesso il sistema formato dalle due equazioni :
izw w
z2 w 2 - 1 .
3. Punti 5
Tra le parabole di equazione y = ( m – 2 ) x2 – 2 ( m – 1 ) x – 4 ( m – 2 ) trovare quella che
interseca l’asse delle ascisse in due punti A e B, tali che, posto C = ( 0 , 1 ), il triangolo ABC
abbia area minima. In particolare, spiegare in modo esauriente l’esistenza di tale valore minimo.
4. Punti 6
Utilizzando la formula di Taylor, calcolare il limite per x 0 della funzione
2
1
ex - 4 e 2 x - 2 x2
1- x
.
log ( 1 x arctgx ) - sen2 x
5. Punti 4
Utilizzando la definizione di limite, verificare che è lim x 0 log
1 x
0
1- x
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Prova parziale n.2 del 30.11.09 - Calcolo differenziale
[2]
1. Punti 11 + 2
Studiare le principali proprietà della funzione f ( x ) = x arccos ( 1 /
x ) e tracciarne il
grafico.
In particolare precisare i punti di non derivabilità.
Il calcolo e lo studio della derivata seconda può essere svolto facoltativamente.
2. Punti 6
Risolvere in campo complesso il sistema formato dalle due equazioni :
zw iz
z w -1
3. Punti 5
Tra le parabole di equazione y = ( m – 1 ) x2 – ( 2 m – 1 ) x – 4 ( m – 1 ) trovare quella che
interseca l’asse delle ascisse in due punti A e B, tali che, posto C = ( 0 , 1 ), il triangolo ABC
abbia area minima. In particolare, spiegare in modo esauriente l’esistenza di tale valore minimo.
4. Punti 6
Utilizzando la formula di Taylor, calcolare il limite per x 0 della funzione
sen 2 ( 2 tg x ) - tg 2 ( sen 2x )
.
log ( 1 x arcsenx ) - sen x 2
5. Punti 4
Utilizzando la definizione di limite, verificare che è lim x - log
.
ex
e2 x 1
-
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[3]
1. Punti 11 + 2
Studiare le principali proprietà della funzione f ( x ) = - x arcsen ( 1 /
x ) e tracciarne
il grafico.
In particolare precisare i punti di non derivabilità.
Il calcolo e lo studio della derivata seconda può essere svolto facoltativamente.
2. Punti 6
Risolvere in campo complesso il sistema formato dalle due equazioni :
izw z
z2 w 2 - 1 .
3. Punti 5
Tra le parabole di equazione y = - ( m + 2 ) x2 + 2 ( m + 1 ) x + 4 ( m + 2 ) trovare quella che
interseca l’asse delle ascisse in due punti A e B, tali che, posto C = ( 0 , 1 ), il triangolo ABC
abbia area minima. In particolare, spiegare in modo esauriente l’esistenza di tale valore minimo.
4. Punti 6
Utilizzando la formula di Taylor, calcolare il limite per x 0 della funzione
2
1
e- x - 4 e - 2 x - 2 x 2
1 x
.
log ( 1 x arctgx ) sen 2 x
5. Punti 4
Utilizzando la definizione di limite, verificare che è lim x 0 log
1 x
0
1 x
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Prova parziale n.2 del 30.11.09 - Calcolo differenziale
[4]
1. Punti 11 + 2
Studiare le principali proprietà della funzione f ( x ) = - x arccos ( 1 /
x ) e tracciarne
il grafico.
In particolare precisare i punti di non derivabilità.
Il calcolo e lo studio della derivata seconda può essere svolto facoltativamente.
2. Punti 6
Risolvere in campo complesso il sistema formato dalle due equazioni :
zw iw
w z -1.
3. Punti 5
Tra le parabole di equazione y = ( m + 1 ) x2 – ( 2 m + 1 ) x – 4 ( m + 1 ) trovare quella che
interseca l’asse delle ascisse in due punti A e B, tali che, posto C = ( 0 , 1 ), il triangolo ABC
abbia area minima. In particolare, spiegare in modo esauriente l’esistenza di tale valore minimo.
4. Punti 6
Utilizzando la formula di Taylor, calcolare il limite per x 0 della funzione
tg 2 ( 2 sen x ) - sen2 ( tg 2x )
.
log ( 1 x arctg x ) - tg x 2
5. Punti 4
Utilizzando la definizione di limite, verificare che è lim
x 0
log
ex
e2x - 1
.
