2. parziale n.2 (30.11.09)

Istituzioni di Matematiche I
Prova parziale n.2 del 30.11.09 - Calcolo differenziale
[1]
1. Punti 11 + 2
Studiare le principali proprietà della funzione f ( x ) = x  arcsen ( 1 /
x ) e tracciarne il
grafico.
In particolare precisare i punti di non derivabilità.
Il calcolo e lo studio della derivata seconda può essere svolto facoltativamente.
2. Punti 6
Risolvere in campo complesso il sistema formato dalle due equazioni :
izw  w
z2  w 2  - 1 .
3. Punti 5
Tra le parabole di equazione y = ( m – 2 ) x2 – 2 ( m – 1 ) x – 4 ( m – 2 ) trovare quella che
interseca l’asse delle ascisse in due punti A e B, tali che, posto C = ( 0 , 1 ), il triangolo ABC
abbia area minima. In particolare, spiegare in modo esauriente l’esistenza di tale valore minimo.
4. Punti 6
Utilizzando la formula di Taylor, calcolare il limite per x  0 della funzione
2
 1

 ex  - 4 e 2 x - 2 x2

 1- x

.
log ( 1  x arctgx ) - sen2 x
5. Punti 4
Utilizzando la definizione di limite, verificare che è lim x  0 log
1 x
 0
1- x
Istituzioni di Matematiche I
Prova parziale n.2 del 30.11.09 - Calcolo differenziale
[2]
1. Punti 11 + 2
Studiare le principali proprietà della funzione f ( x ) = x  arccos ( 1 /
x ) e tracciarne il
grafico.
In particolare precisare i punti di non derivabilità.
Il calcolo e lo studio della derivata seconda può essere svolto facoltativamente.
2. Punti 6
Risolvere in campo complesso il sistema formato dalle due equazioni :
zw  iz
z  w  -1
3. Punti 5
Tra le parabole di equazione y = ( m – 1 ) x2 – ( 2 m – 1 ) x – 4 ( m – 1 ) trovare quella che
interseca l’asse delle ascisse in due punti A e B, tali che, posto C = ( 0 , 1 ), il triangolo ABC
abbia area minima. In particolare, spiegare in modo esauriente l’esistenza di tale valore minimo.
4. Punti 6
Utilizzando la formula di Taylor, calcolare il limite per x  0 della funzione
sen 2 ( 2 tg x ) - tg 2 ( sen 2x )
.
log ( 1  x arcsenx ) - sen x 2
5. Punti 4
Utilizzando la definizione di limite, verificare che è lim x  - log
.
ex
e2 x  1
 -
Istituzioni di Matematiche I
Prova parziale n.2 del 30.11.09 - Calcolo differenziale
[3]
1. Punti 11 + 2
Studiare le principali proprietà della funzione f ( x ) = - x  arcsen ( 1 /
x ) e tracciarne
il grafico.
In particolare precisare i punti di non derivabilità.
Il calcolo e lo studio della derivata seconda può essere svolto facoltativamente.
2. Punti 6
Risolvere in campo complesso il sistema formato dalle due equazioni :
izw  z
z2  w 2  - 1 .
3. Punti 5
Tra le parabole di equazione y = - ( m + 2 ) x2 + 2 ( m + 1 ) x + 4 ( m + 2 ) trovare quella che
interseca l’asse delle ascisse in due punti A e B, tali che, posto C = ( 0 , 1 ), il triangolo ABC
abbia area minima. In particolare, spiegare in modo esauriente l’esistenza di tale valore minimo.
4. Punti 6
Utilizzando la formula di Taylor, calcolare il limite per x  0 della funzione
2
 1

 e- x  - 4 e - 2 x - 2 x 2

 1 x

.
log ( 1  x arctgx )  sen 2 x
5. Punti 4
Utilizzando la definizione di limite, verificare che è lim x  0 log
1 x
 0
1 x
Istituzioni di Matematiche I
Prova parziale n.2 del 30.11.09 - Calcolo differenziale
[4]
1. Punti 11 + 2
Studiare le principali proprietà della funzione f ( x ) = - x  arccos ( 1 /
x ) e tracciarne
il grafico.
In particolare precisare i punti di non derivabilità.
Il calcolo e lo studio della derivata seconda può essere svolto facoltativamente.
2. Punti 6
Risolvere in campo complesso il sistema formato dalle due equazioni :
zw  iw
w  z  -1.
3. Punti 5
Tra le parabole di equazione y = ( m + 1 ) x2 – ( 2 m + 1 ) x – 4 ( m + 1 ) trovare quella che
interseca l’asse delle ascisse in due punti A e B, tali che, posto C = ( 0 , 1 ), il triangolo ABC
abbia area minima. In particolare, spiegare in modo esauriente l’esistenza di tale valore minimo.
4. Punti 6
Utilizzando la formula di Taylor, calcolare il limite per x  0 della funzione
tg 2 ( 2 sen x ) - sen2 ( tg 2x )
.
log ( 1  x arctg x ) - tg x 2
5. Punti 4
Utilizzando la definizione di limite, verificare che è lim
x  0
log
ex
e2x - 1
 .