PNI
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
Indirizzo: Piano Nazionale Informatica
CORSO SPERIMENTALE
Sessione suppletiva 2008
Tema di MATEMATICA
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a cinque quesiti scelti nel questionario.
PROBLEMA 1
Siano dati un cerchio di raggio r ed una sua corda AB uguale al lato del quadrato in esso inscritto.
1. Detto P un generico punto della circonferenza, giacente sull’arco maggiore di estremi A e B, si
PA2 PB 2
consideri il rapporto:
AB 2
e lo si esprima in funzione di . x tgPAB
Soluzione:
SE AB lato quadrato inscritto. Il lato AB
2R
da cui AB 2R
2
Per il teorema dei seni ho che 0 135
2
2
PA 2 R sin(135 ) 2 R(
cos
sin ) R 2(cos s in )
2
2
PB 2R sin
2 R 2 (cos sin )2 (2 R sin )2 2 R 2 (cos 2 sin 2 2sin cos ) 4 R 2 sin 2
y
2R2
( 2 R) 2
1 cos 2
y 1 2sin cos 2sin 2 1 sin 2 2(
) 2 sin 2 cos 2
2
2 tan
1 tan 2
2x
1 x 2 3x 2 2 x 1
y 2
2
1 tan 2 1 tan 2
1 x2 1 x2
1 x2
2( x 2 2 x 1)
da cui min x 1 2 max x 1 2
y'
(1 x 2 )2
2. Si studi la funzione f(x) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ, indipendentemente dai limiti posti dal
problema geometrico.
3x 2 2 x 1
y
1 x2
Sempre positiva. A,.O. y=3
y'
2( x 2 2 x 1)
da cui min x 1 2 max x 1 2
(1 x 2 )2
3. Detto C il punto d’intersezione della curva γ con il suo asintoto orizzontale, si scriva l’equazione della
tangente a γ in C.
6
3x 2 2 x 1
y ' 1 y 3 1( x 1)
3 3x 2 2 x 1 3 3x 2 x 1 y 3
2
2
1 x
y x2
4. Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva γ, la suddetta tangente e la retta di
equazione x = k, essendo k l’ascissa del punto di massimo relativo.
PROBLEMA 2
2
Si consideri la funzione: y = a sen x + b senx + c
1. Si determinino a, b, c, in modo che il suo grafico γ passi per A(0,2), per B(π/6,0) ed abbia in B
tangente parallela alla retta 3 3 x 2 y 5 0
y
3
5
3x
2
2
y ' 2a sin x cos x b cos x
2 c
a b
0 c
4 2
3 3
1 3
3
2a
b
2 2
2
2
2 c
0 a 2b 4c
3 a b
c 2
0 b 5
a 3 b
c 2
b 5
a 2
y ' 2sin 2 x 5sin x 2
2. Si rappresenti graficamente la curva γ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π.
y 2sin 2 x 5sin x 2
2
5 25 16 5 3
2sin x 5sin x 2 0 sin x
1
4
4
2
2
F(x)>0 0 x
F(x)=0 x
5
6
6
x 2
x5
6
6
x=0 segue y=2
y ' 4sin x cos x 5cos x 0
y ' cos x(4sin x 5) 0
cos x 0
sin x
0 x
2
3
2
5
sempre negativa.
4
x 2
sin x
1
sin x 2
2
Min , 1
2
Max 3 ,9
2
3. Si calcoli il valore dell’area di ciascuna delle due parti di piano compresa fra la retta y=2 e la curva
stessa.
4. Tra tutte le primitive della funzione data, si determini quella il cui grafico passa per P(0,6) e si scriva
l’equazione della retta ad esso tangente in detto punto.
QUESTIONARIO
1. Si determinino le costanti a e b in modo tale che la funzione : risulti continua e
derivabile nel punto x=0.
ax b x 0
a x 0
x
f ( x) e 1
f '( x) xe x e x 1
x0
x0
x2
x
1
ex 1
xe x e x 1
ex 1
a
lim
1 a 0 b 1 lim
lim
2
x 0
x 0
x 0 2
2
x
x
2
2. Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d’incontro si trovi fra
l’equatore e il tropico del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord)?
Il problema è una semplice applicazione di probabilità, la probabilità dell’area regione compresa tra la
latitudine data e l’equatore e tutta la superficie della terra.
p
Area _ regione 2 Rh 2 R 2 sin sin 23, 45
0,19 19%
Area _ sfera
4 R 2
4 R 2
2
3. Si determini il numero reale positivo λ in modo che la curva rappresentativa della funzione
g ( x) e x divida in parti equiestese la regione delimitata dalla curva rappresentativa della
funzione , dall’asse x e dalle rette x = 0 e x = 1
4. Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte testa.
8 1 1
8! 1
35
P( X 4)
0, 27
8
4 2 2 4!4! 2 128
5. Si dimostri che l’equazione (3 x)e x 3 0 per x>0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli
un valore approssimato con due cifre decimali esatte.
f ( x) (3 x)e x 3 f '( x) e x (3 x)e x e x (1 3 x) e x (2 x) 0
Max x 2 f ( x) e2 3 4.34
(3 x)
1
lim (3 x)e x 3 lim
3 lim x 3 3
x
x e x
x e
lim (3 x)e x 3
4
4
x
Metodo tangenti
Dato che f (3) 3 e dato che f (2) e2 3 0 allora nell’intervallo (2,3) per
il teorema degli zeri ha una almeno una soluzione. Dato che la funzione in tale intervallo è continua la
soluzione è unica. Con il metodo delle tangenti e scegliendo come punto iniziale x=3 (scelgo un punto
dopo il massimo, perché la tangente deve essere obliqua).
x
f
f'
N.
3
-3 -20,0855
2,850639 -0,41623 -14,7151
2,822353 -0,01262 -13,829
2,82144 -1,3E-05 -13,8011
x0 3
1
2
3
4
f ( x0 ) 3 f '( x0 ) 20, 085
x1 x0
f ( x0 )
2,85036 ….
f '( x0 )
6. Si dimostri che il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio r è medio
proporzionale fra il volume del cono equilatero inscritto e il volume della sfera.
Calcoliamo il volume del cono equilatero. Il lato BC 3R AH
3
3
3R R
2
2
1
1 3
3
3
VolCono r 2 h R 2 R R 3
3
3 4
2
8
Calcoliamo il volume del cilindro equilatero. Il lato FG 2R
2
2
VolCilindro r 2 h R 2 2 R
R3
4
2
4
VolSfera R 3
3
3 3
3
2
2
R
R3
VolCono
VolCilindro
3 2
2 3 32 2 3 2
8 2
8
2
4
4
8
2
8
8
2
4
VolCilindro
VolSfera
3
2
2
2
3
R
R
3
3
2
2
7. Si calcoli il valore medio della funzione f ( x) ar cos 1 x 2 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1
8. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani sono assegnati i punti A(0,1), B(0,4). Si determini
sul semiasse positivo delle ascisse un punto C dal quale il segmento AB è visto con un angolo di
massima ampiezza.
mBC
40
0 x
mAC
m mAC
1 0
tan BC
0 x
1 mBC mBC
4 1
3
x x
2x
41
x 4
1
xx
x2
x2 4 2 x2
x2 4
3
0
x2 4
x2 4
3
3
arctan 36,87
Massimo per x 2 quindi tan
4
4
tan
3x
3x
tan 2
2
x 4
x 4
y' 3
9. Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: f ( x)
1
ln x
et
dt nel punto P di
t2
ascissa x = e.
10. Tenuto conto che:
12
dx
0
6
1 x2
d’integrazione numerica studiati.
si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi
___________________________
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.
