Settembre 2012 - Matematica e Informatica

Prova scritta di Matematica Discreta
(17 settembre 2012)
Avvertenza: il punteggio massimo alle risposte viene attribuito solo in caso di
giustificazioni dettagliate del ragionamento
Esercizio 1. Sia A l’insieme delle parole sull’alfabeto binario {0,1} di lunghezza
compresa fra 3 e 6 (inclusi) e sia B l’insieme delle matrici 3x4 ad elementi in A.
Calcolare quante sono le matrici in B in cui le ultime 3 caselle della prima riga non
contengono solo parole di lunghezza pari e nello stesso tempo le prime 2 caselle della
quarta colonna non contengono solo parole di lunghezza <6. (6 p.)
Esercizio 2. Siano A, B gli insiemi dell’Esercizio 1. Calcolare quante sono le matrici
in B in cui l’ultima colonna ha almeno 2 caselle che contengono entrambe parole di
lunghezza <5. (6 p.)
Esercizio 3. Sia A l’insieme delle parole di lunghezza 4 sull’alfabeto {a,b,c,d,e,f} tra
le cui lettere vi è almeno una vocale e non vi sono più di 3 vocali. Si consideri il
grafo semplice non orientato in cui i vertici sono gli elementi di A e due vertici
distinti x,y sono adiacenti se la somma del numero lettere di x che sono vocali e del
numero di lettere di y che sono vocali è uguale a 4.
Quante componenti connesse ha il grafo e quanti vertici ha ogni componente? (3 p.)
Qual è il numero cromatico del grafo ? (3 p.)
Verificare se in ogni componente (considerata come grafo a sé stante) esiste un
cammino Euleriano (specificando, in caso di esistenza, se ciclico o non ciclico) (3 p.)
Esercizio 4. Una insegna rettangolare è suddivisa in 10 sezioni:
In ogni sezione vengono inseriti 2 elementi grafici: una lettera scelta fra
A,B,C,D,E,I,O ed un numero scelto fra 2,3,4,5,6,7,8; inoltre ogni sezione viene poi
colorata con un colore scelto fra 5 giallo, verde, rosso, nero, viola. Calcolare quante
diverse insegne si possono ottenere se nelle prime 6 sezioni le lettere sono tutte
consonanti e nelle ultime 7 sezioni i numeri sono tutti dispari. (5 p.)
Esercizio 5. Si consideri un dado a 6 facce in cui ogni faccia contiene un numero
diverso compreso fra 1,2,3,4,5,6. Si effettuano 12 tiri consecutivi del dado e ogni
volta si segna il numero uscito nella faccia superiore, ottenendo alla fine un numero
naturale di 12 cifre. Calcolare quanti numeri diversi possibili si possono ottenere se
nei tiri di posto pari (secondo, quarto, sesto etc...) è uscito esattamente per 4 volte un
numero pari e nei tiri di posto dispari (primo, terzo, quinto etc...) è uscito sempre il
numero 5. (4 p.)