esercitazione 1

TEMA D’ESAME 8-5-2014
Data la v.a.
1- Xunif {1,…,6}, dado equilibrato di 6 facce, scrivere la legge di
probabilità pX(x) calcolando anche E(X) e var(X)
2- Xexp(), scrivere la densità fX(x) calcolando anche E(X) e var(X)
Se X1, …, Xn è un c.c estratto da X, calcolare la distribuzione della v.a.
Y2=X1+X2:
1- Nel caso di Xunif {1,…,6}
2- Nel caso di Xexp()
Quanto vale la probabilità di osservare il valore modale di Y 3=X1+X2+X3? E
il valore meno probabile?
1- Nel caso di Xunif {1,…,6}
2- Nel caso di Xexp()
Due giocatori A e B giocano a dadi con un dado equilibrato a testa.
Ciascuno tira il suo dado e vince chi fa il punteggio più alto. A e B
decidono di fare 100 tiri.
Determinare la distribuzione di probabilità del numero di tiri vinti da A.
Calcolare il valore atteso dei tiri vinti da A e il numero atteso di tiri finiti in
pareggio.
Similmente sia la v.a. Y:”numero di tiri finiti in pareggio”
A e B decidono ora di tirare fino a che uno dei due non vince. Scrivere la
distribuzione di probabilità del numero complessivo di tiri necessari a
terminare la partita.
Calcolare valore atteso e varianza del numero di tiri necessari a terminare
la partita.
Sapendo che il primo tiro è finito in pareggio, con che probabilità ce ne
vorranno almeno altri due per finire la partita?
Un automobilista deve posteggiare l’auto all’interno di un autosilo a più
piani. Ad ogni piano si trovano un numero uguale di parcheggi numerati
progressivamente da 1 ( primo posto al primo piano) a n (ultimo posto al
10° piano). Associamo all’i-esimo posto – auto una v.a. Xi che assume
valore 1 quando il posto è libero e 0 viceversa. Assumiamo che la
disponibilità di posti sia equamente distribuita, il che implica che la
probabilità di trovare libero il posto i-esimo è  e questo per ogni i
indipendentemente dal piano e supponiamo inoltre che le Xi siano
indipendenti.
Scrivere la legge di probabilità della v.a. Xi.
Periodicamente in ogni piano viene effettuato un conteggio dei posti
liberi: Ogni piano contiene k posti auto degli n complessivi. Si consideri la
v.a. Y1 “numero dei posti liberi al piano 1”. Scriverne la legge di
probabilità evidenziando il legame fra i valori di Xi e quello di Y1.
Allo stesso modo si consideri la v.a. Y 1+Y2 “numero di posti liberi al primo
e al secondo piano”. Come si distribuisce? E come si distribuisce la v.a.
“numero dei posti liberi nell’autosilo”?
Ad ogni piano c’è un semaforo che è rosso quando il piano è completo.
Quanto vale la probabilità che a un dato piano il semaforo sia rosso.
Dato che è verde quanto vale la probabilità che tutto il piano sia libero?
Sapendo che nei primi due piani ci sono x posti liberi, quanto vale la
probabilità che nel primo piano ci possano stare y auto?
Sapendo che due auto entrano una dopo l’altra, detta Q la v.a. numero di
posti che la seconda auto deve far passare prima di trovare posto
calcolare la legge di Q.
TEMA 9 FEBBRAIO 2011
“La mente è fatta per interpretare il mondo come qualcosa di organizzato, spesso
individuando forme e strutture che in realtà non esistono. Con questa
predisposizione a individuare forme e strutture, c’è una certa probabilità che una
persona possa vedere prove dell’esistenza di catene di eventi dotate di significato
laddove non ve ne sono”.
Sia X una v.a. bernoulliana di parametro . Scrivere la sua legge di
probabilità pX(x) e fare il grafico della sua funzione cumulativa FX(x).
Sia ora un c.c. di dimensione n preso dalla popolazione X. Scrivere la legge
congiunta p(X)(x).
Scrivere la legge della v.a. 𝑦 = ∑𝑛𝑗=1 𝑋𝑗
Calcolare E(X) e var(X)
TEMA 05-05-2015
Una linea di produzione di componenti elettronici viene sottoposta a un
controllo di qualità. Il monitoraggio consiste nell’associare ad ogni
componente esaminato un valore X che sarà “0” se il componente è
conforme alle specifiche e “1” in caso contrario. Si suppone che ogni
componente sia conforme o meno indipendentemente dagli altri e che la
probabilità di non essere conforme valga .
Data una sequenza di componenti nelle condizioni sopraddette sia T la
v.a. che conta il numero di insuccessi che precedono il primo successo.
Come si distribuisce T?
Sapendo che fino al ventesimo componente uno solo è difettoso, come si
distribuisce la v.a. T’ “numero di componenti conformi prima del primo
NON conforme”?
Quanto valgono E(T) e var(T)?
Alla luce della domanda precedente, è plausibile che i seguenti 100 valori
siano osservazioni da T?
0101110001100000003100110000221110100010000000101010000200…
(Per comodità 70 attese pari a 0, 25 attse pèari a 1, 4 attese pari a 2 e 1
attesa pari a 3).
Quale proprietà caratterizza la v.a. geometrica?
A quale condizionamento bisogna sottoporre il c.c. precedente per
ottenere il campione “filtrato” seguente?
1111111311122111….
Quale stima si può proporre per P(T1) sulla base dei calcoli al punto
precedente e quale stima si può proporre per P(T2)? Alla luce delle
stime precedenti si può concludere (in modo qualitativo) che il c.c.
(0101110001100000003100110000221110100010000000101010000200
…)provenga da T?
Ad ogni osservazione della v.a. T quante osservazioni della v.a. X
corrispondono? (Se T=0 allora 1 osservazione da X, se T=1 allora 2
osservazioni da X…). Ricavare delle prime osservazioni del campione
0101110001100000003100110000221110100010000000101010000200…
un campione di 10 osservazioni dalla X.
La v.a di conteggio degli 1 da queste 10 osservazioni quale legge segue?