5 dicembre 2011

Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 5 dicembre 2011
Abbiamo dimostrato il seguente:
Teorema.
2
Se p è primo >2 si ha: (2 / p) = (1)( p 1)/8
Da tale Teorema precedente segue in pratica che (2 / p)= 1 a secondo se (p2-1)/8 è pari o dispari.
Ma considerando la classe [p] in Z8 si ha [p]=[t] con t=1,3,5,7 (perché p è dispari), p=t+8k con k
naturale. Si ha allora:
(p2-1)/8 = (t2-1)/8+(8k2+2tk)
Dunque (p2-1)/8 è pari se e solo se (t2-1)/8 è multiplo di 2, e ciò avviene solo per t=1,7.
Riassumendo:
(2 / p)=+1 se (p2-1)/8 è pari cioè se p1,7 (mod 8)
(2 / p)= -1 se (p2-1)/8 è dispari cioè se p3,5 (mod 8)
Per il calcolo del simbolo di Legendre (q / p) nel caso di q, p primi distinti > 2 può essere utile il
seguente Teorema (di cui si omette la dimostrazione):
Legge di reciprocità quadratica di Gauss.
Se p,q sono primi >2 distinti si ha:
(p / q)(q / p) = (-1)(p-1)(q-1)/4
Si può allora calcolare uno dei numeri (p / q), (q / p) conoscendo l’altro: infatti moltiplicando
l’eguaglianza precedente per esempio per (p / q) (ricordando che (p / q)2=(1)2=1) si ha
(q / p) = (-1)(p-1)(q-1)/4(p / q)
Tutte le considerazioni già fatte permettono di costruire un algoritmo per il calcolo di (a / p),
quando p>2 è un primo ed a>1 è un numero naturale qualunque non multiplo di p:
- si rende a<p sostituendo a con la sua riduzione modulo p (per la proprietà 3) del simbolo di
Legendre)
- si fattorizza a in prodotto di potenze di primi distinti:
a = p1k1 p2 k2 .... pr kr (pi primi distinti , tutti p perché p non è divisore di a)
in modo da avere:
r
(a / p) =

i 1
ki dispari
( pi / p )
e ricondurre il calcolo di (a / p) al calcolo di (pi / p)
- se pi=2 si usa la formula già dimostrata per (2 / p)
- se pi>2, si usa la legge di reciprocità quadratica per ricavare (pi / p) in funzione di (p / pi), ed
essendo p>pi si riduce p modulo pi , si fattorizza tale riduzione in prodotto di primi, e si itera il
procedimento.
L’algoritmo precedente riconduce il calcolo a numeri sempre più piccoli: al limite alla fine si tratta
2
di calcolare un simbolo di Legendre del tipo (2 / p)= (1)( p 1)/8 o (1/p)=1 (perché 112 (mod p)).
Esempio:
Calcoliamo (338/131).
Riducendo 338 modulo 131 si ottiene 76, quindi si deve calcolare (76/131).
I fattori primi di 76 sono 2 (con molteplicità 2) e 19 (con molteplicità 1), quindi (76/131)=(19/131).
Per la legge di reciprocità quadratica (essendo [(19-1)/2][(131-1)/2] dispari): (19/131)=-(131/19).
Riducendo 131 modulo 19 si ottiene 17, da cui (131/19)=(17/19).
Per la legge di reciprocità quadratica (essendo [(17-1)/2][(19-1)/2] pari): (17/19)=(19/17).
Riducendo 19 modulo 17 si ottiene 2, da cui (17/19)=(2/17).
Infine (2/17)=+1 (perché 171 (mod 8)).
Riassumendo si ha (338/131)= -1 (quindi 331 non è resto quadratico modulo 131).
Siamo ora in grado di dimostrare il criterio di Pepin per la primalità dei numeri di Fermat:
Teorema di Pepin.
Fr 1
Il numero di Fermat Fr = 2(2 ) +1 (con r>0) è un numero primo  3 2  -1 (mod Fr)
Dimostrazione:
(): Basta applicare l’implicazione () del Teorema di Proth-Pocklington, con n=Fr , h=1, a=3
(): Essendo 3, Fr primi dispari distinti (perché Fr>3 essendo r>0), per la legge di reciprocità
quadratica si ha:
r
(3 / Fr) = (Fr / 3) (1)
Fr 1
2
Ma (Fr-1)/2= 22 1 è pari (perché r>0), dunque (3 / Fr) = (Fr / 3).
Valgono le seguenti congruenze modulo 3:
r
r
r -1
Fr = 2(2 ) +1 = 4 (2 ) +1  1+1  2 (mod 3)
Dunque, per la proprietà 3) del simbolo di Legendre e per la regola di calcolo di (2 / p) si ha:
(3/Fr) = (Fr/3) = (2/3) = (-1)(9-1)/8 = -1
Per il criterio di Eulero si ha infine la tesi 3
Fr 1
2
 -1 (mod Fr).
Il teorema di Pepin permette di costruire un test deterministico di primalità per i numeri di Fermat
r
Fr = 2( 2 ) +1 (con r>0):
1) si calcola la riduzione
Fr -1
3 2
modFr
Fr 1
2) se tale riduzione è = (n -1) (ciò equivale alla congruenza 3 2  -1 (mod Fr)) si esce con
output “Fr è primo”; in caso contrario si esce con output “Fr è composto”.
Poiché si può utilizzare l’algoritmo della esponenziazione modulare, la complessità di tale test è di
r
r
ordine O(x3), dove x=L(Fr)=2r+1 (perché 2( 2 ) < Fr< 2( 2 +1) ).
I numeri di Fermat Fr hanno alcune interessanti applicazioni geometriche relative al cosiddetto
problema della “ciclotomia”: fissato un naturale n>2, suddividere una circonferenza in n parti
uguali (equivalentemente disegnare un poligono regolare di n lati iscritto nella circonferenza)
usando solo riga e compasso.
Per quali valori di n>2 il problema ha soluzione ?
Per esempio per n=6 il problema ha soluzione: il lato dell’esagono regolare si può costruire con riga
e compasso perché la sua ampiezza è uguale a quella del raggio della circonferenza circoscritta.
Esiste un importante Teorema (di cui diamo solo l’enunciato):
Teorema.
Il problema della ciclotomia ha soluzione per tutti e soli i valori n>2 tali che n sia della forma:
n = 2t Fr1 Fr2 .....Frm
dove t 0, e Fr1 , Fr2 ,....., Frm sono numeri primi di Fermat distinti (al limite può essere anche m=0,
quando n è una potenza di 2)
Per esempio per n=7 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 7 è primo ma non è un
primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ettagono regolare.
Anche per n=9=32 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 9 è il quadrato di un
primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ennagono regolare.
Dimostriamo che i fattori primi dei numeri di Fermat Fr hanno una struttura particolare, per r>1.
Teorema.
Se r>1, per ogni divisore primo p di Fr= 2( 2 ) +1 si ha p  1 (mod 2r+2), quindi p=1+k2r+2 con k
numero naturale.
Dimostrazione:
r
r
Per ipotesi p è divisore del numero dispari Fr, quindi p è primo >2. Si ha 2( 2 )  -1 (mod p).
r +1
Essendo 2, p coprimi si ha [2] Zp* , [2]( 2 ) =[-1] 2 = [1], e se s=ord([2]) in Zp* , s è divisore di
2r+1, quindi s=2d con d r+1. Dimostriamo che d=r+1. Se per assurdo fosse d<r+1, sarebbe:
r
d
r -d
r -d
[2]( 2 ) = ([2]( 2 ) )2 = ([2]s ) 2 =[1]
r
ed essendo 2( 2 )  -1 (mod p) si avrebbe 1  -1 (mod p), contraddizione perché p>2.
Dunque d=r+1, s=2r+1. Ma il s=ord([2]) è divisore della cardinalità p-1 di Zp* , p-1=2r+1z con z
naturale, e dunque p-1 è multiplo di 8 (perché r+1>2), ossia p  1 (mod 8).
Per le proprietà del simbolo di Legendre si ha (2/p)=1, e per il criterio di Eulero 2(p-1)/2  1 (mod p),
[2] (p-1)/2=[1], dunque s=ord([2]) è divisore di (p-1)/2, cioè (p-1)/2=hs=h2r+1 con h naturale da cui
p-1=h2r+2 cioè la tesi.
Per trovare un divisore primo di Fr (con r>1), si può allora implementare il seguente algoritmo: si
fanno assumere in successione al parametro k i valori interi positivi k=1,2,…., verificando con
l’algoritmo della divisione se il numero p=1+k2r+2 è divisore di Fr. Il minimo valore di k per cui
p=1+k2r+2 è divisore di Fr fornisce con certezza un divisore primo p di Fr (se p per assurdo non
fosse primo, p avrebbe un divisore primo p1<p, ma p1 sarebbe a maggior ragione divisore di Fr,
quindi sarebbe della forma p1=1+k12r+2 con k1<k, contro la minimalità di k).
Dopo avere trovato un divisore primo p di Fr, si può ripetere il ragionamento sul numero Fr /p per
trovare altri divisori primi di Fr /p (e quindi di Fr) e pervenire infine alla completa fattorizzazione di
Fr in prodotto di primi.