Corollario - Matematica e Informatica

Teoria dei numeri
Lezione del giorno 9 maggio 2008
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Abbiamo dimostrato il seguente risultato: se p è primo >2 si ha (2/p) = (1)(p 1)/8 .
Dal tale risultato segue in pratica che (2/p)= 1 a secondo se (p2-1)/8 è pari o dispari. Ma
considerando la classe [p] in Z8 si ha [p]=[t] con t=0,1,…,7, p=t+8k con k naturale, ed essendo p
dispari anche t è dispari, cioè gli unici valori possibili di t sono t=1,3,5,7. Si ha allora:
(p2-1)/8 = (t2-1)/8+(8k2+2tk)
Dunque (p2-1)/8 è pari se e solo se (t2-1)/8 è multiplo di 2, e ciò avviene solo per t=1,7.
Riassumendo:
(2/p)=+1 se (p2-1)/8 è pari cioè se p1,7 (mod 8)
(2/p)=-1 se (p2-1)/8 è dispari cioè se p3,5 (mod 8)
Per il calcolo del simbolo di Legendre (q/p) nel caso di q,p primi distinti entrambi > 2 può essere
utile il seguente Teorema (di cui si omette la dimostrazione):
Legge di reciprocità quadratica di Gauss.
Se p,q sono primi >2 distinti si ha:
(p/q)(q/p) = (-1)(p-1)(q-1)/4
Si può allora calcolare uno dei numeri (p/q), (q/p) conoscendo l’altro: infatti moltiplicando
l’eguaglianza precedente per esempio per (p/q) (ricordando che (p/q)2=(1)2=1) si ha
(q/p) = (-1)(p-1)(q-1)/4(p/q)
Tutte le considerazioni già fatte permettono di costruire un algoritmo per il calcolo di (a/p), quando
p>2 è un primo ed a è un numero naturale qualunque non multiplo di p:
- si rende a<p sostituendo a con la sua riduzione modulo p (ricordare che se ab (mod p) allora
(a/p)=(b/p))
- si fattorizza a in prodotto di potenze di primi distinti:
a = p1k1 p 2 k 2 ....p r k r (pi primi distinti p)
in modo da avere:
r
(a/p) =
 (p i /p)
i 1
k i dispari
e ricondurre il calcolo di (a/p) si riconduce al calcolo di (pi/p)
- se pi=2 si usa la formula già dimostrata per (2/p)
- se pi>2 quindi pi, si usa la legge di reciprocità quadratica per ricavare (pi/p) in funzione di (p/pi),
ed essendo p>pi si riduce p modulo pi , si fattorizza tale riduzione in prodotto di primi, e si itera il
procedimento.
L’algoritmo precedente riconduce il calcolo a numeri sempre più piccoli: al limite alla fine si tratta
2
di calcolare un simbolo di Legendre del tipo (2/p)= (1)(p 1)/8 o (1/p)=1 (perché 112 (mod p)).
Esempio:
Calcoliamo (338/131).
Riducendo 338 modulo 131 si ottiene 76, quindi si deve calcolare (76/131).
I fattori primi di 76 sono 2 (con molteplicità 2) e 19 (con molteplicità 1), quindi (76/131)=(19/131).
Per la legge di reciprocità quadratica (essendo [(19-1)/2][(131-1)/2] dispari): (19/131)=-(131/19).
Riducendo 131 modulo 19 si ottiene 17, da cui (131/19)=(17/19).
Per la legge di reciprocità quadratica (essendo [(17-1)/2][(19-1)/2] pari): (17/19)=(19/17).
Riducendo 19 modulo 17 si ottiene 2, da cui (17/19)=(2/17).
Infine (2/17)=+1 (perché 171 (mod 8)).
Riassumendo si ha (338/131)= -1 (quindi 331 non è resto quadratico modulo 131).
Siamo ora in grado di dimostrare il:
Teorema di Pepin.
Fr 1
3 2
(2r )
Il numero di Fermat Fr = 2
+1 (con r>0) è un numero primo 
 -1 (mod Fr)
Dimostrazione:
(): Basta applicare l’implicazione () del Teorema di Proth-Pocklington, con n=Fr , h=1, a=3
(): Essendo 3, Fr primi dispari distinti (perché Fr>3 essendo r>0), per la legge di reciprocità
quadratica si ha:
Fr 1
(3/Fr) = (Fr/3) (1) 2
Ma (Fr-1)/2= 2 2 1 è pari, dunque (3/Fr) = (Fr/3).
Valgono le seguenti congruenze modulo 3:
r
r
r -1
Fr = 2(2 ) +1 = 4 (2 ) +1  1+1  2 (mod 3)
Dunque, per la proprietà 3 del simbolo di Legendre e per il calcolo di (2/p) si ha:
(3/Fr) = (Fr/3) = (2/3) = (-1)(9-1)/8 = -1
Per il criterio di Eulero si ha la tesi
Fr 1
3 2
 -1 (mod Fr).
I numeri di Fermat Fr hanno alcune applicazioni geometriche relative al cosiddetto problema della
“ciclotomia”: fissato un naturale n>1, suddividere una circonferenza in n parti uguali
(equivalentemente disegnare un poligono regolare di n lati iscritto nella circonferenza) usando solo
riga e compasso.
Per quali valori di n>2 il problema ha soluzione ?
Per esempio per n=6 il problema ha soluzione: il lato dell’esagono regolare si può costruire con riga
e compasso perché la sua ampiezza è uguale a quella del raggio della circonferenza circoscritta.
Analogamente per n=3: per costruire il lato del triangolo equilatero, basta costruire l’esagono
regolare e unire i vertici “saltando” un vertice intermedio.
I matematici hanno dimostrato il seguente:
Teorema.
Il problema della ciclotomia ha soluzione per tutti e soli i valori n>2 tali che n sia della forma:
n  2 t Fr1 Fr2 .....Frm
dove t0, e Fr1 , Fr2 ,....., Frm sono numeri primi di Fermat distinti.
Per esempio per n=7 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 7 è primo ma non è un
primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ettagono regolare.
Anche nel caso in cui Fr non sia primo, i fattori primi di Fr hanno una struttura particolare:
Teorema.
r
Se r>1, ogni fattore primo p di Fr= 2(2 ) +1 è
Dimostrazione:
 1 (mod 2r+2), quindi p=1+k2r+2 con k intero.
r
Per ipotesi p è divisore del numero dispari Fr, quindi p è primo >2. Si ha 2(2 )  -1 (mod Fr), quindi
r
anche 2(2 )  -1 (mod p).
r 1
Essendo 2, p coprimi si ha [2]Zp* , [2](2 ) =[-1]2 = [1], e se s è il periodo di [2] in Zp* , s è
divisore di 2r+1, quindi s=2d con dr+1. Dimostriamo che d=r+1. Se per assurdo fosse d<r+1,
sarebbe:
r
d
r d
r d
[2](2 ) = ([2](2 ) ) 2 = ([2]s ) 2 =[1]
r
ed essendo 2(2 )  -1 (mod p) si avrebbe 1  -1 (mod p), contraddizione perché p>2.
Dunque d=r+1, s=2r+1. Ma il periodo s di [2] è divisore della cardinalità p-1 di Zp* , p-1=2r+1z con z
intero, p-1 multiplo di 8 (perché r+1>2), p  1 (mod 8).
Per le proprietà di (2/p), si ha (2/p)=1, e per il criterio di Eulero 2(p-1)/2  1 (mod p), [2](p-1)/2=[1], e il
periodo s di [2] è divisore di (p-1)/2, cioè (p-1)/2=hs=h2r+1 da cui la tesi p  1 (mod 2r+2).
Per trovare un fattore primo di Fr, si può procedere facendo assumere in successione al parametro k
i valori interi positivi k=1,2,…., e verificando con l’algoritmo della divisione se il numero
p=1+k2r+2 è divisore di Fr. Il minimo valore di k per cui p=1+k2r+2 è divisore di Fr fornisce con
certezza un valore primo p (se p non fosse primo avrebbe un divisore primo p1<p, ma p1 sarebbe a
maggior ragione divisore di Fr, quindi sarebbe della forma p1=1+k12r+2 con k1<k, contro la
minimalità di k).
Dopo avere trovato un fattore primo p di Fr, si può ripetere il ragionamento sul numero Fr/p per
trovare altri fattori primi di Fr e pervenire alla completa fattorizzazione di Fr in prodotto di primi.
Numeri di Mersenne.
Dopo avere studiato i numeri di Fermat (successivi di una potenza di 2), studieremo i numeri che
precedono una potenza di 2.
Poniamo Mk=2k-1, con k>1: un tale numero naturale è detto numero di Mersenne.
Come per i numeri di Fermat, studiamo quando un numero di Mersenne Mk è primo: vedremo in
tale caso che k non può essere qualunque:
Teorema.
Se Mk=2k-1 (con k>1) è un numero primo, l’esponente k è primo.
Dimostrazione:
Per assurdo sia k non primo, e sia k=ts, con 1<t,s<k.
Sfruttando l’identità algebrica già considerata in altre dimostrazioni:
(xs-ys)=(x-y)(xs-1+xs-2y+….+xys-2+ys-1)
con y=1, x=2t, si ottiene che x-y=2t-1 è divisore di xs-ys=2ts-1=2k-1=Mk , con 2t-1>1 (perché t>1) e
2t-1<Mk (perché t<k), contraddizione perché Mk è primo.
Dunque, per cercare valori primi di Mk=2k-1 si deve restringere la ricerca al caso in cui l’esponente
k sia primo.
Esistono tuttavia esponenti k primi per cui Mk non è primo: per esempio per k=11 si ha
Mk=211=2047=2389, non primo.
Notizie sulla situazione attuale della ricerca sui numeri di Mersenne primi si possono trovare sul
sito: www.mersenne.org (progetto GIMPS: Great Internet Mersenne Primes Search).
A tutt’oggi sono stati trovati 44 numeri di Mersenne primi: il più grande è stato scoperto nel
settembre 2006: è il numero 232,582,657-1, ed ha 9.808.358 cifre in base 10.