Siamo ora in grado di dimostrare il:

Teoria dei numeri
Lezione del giorno 4 maggio 2009
Siamo ora in grado di dimostrare il:
Teorema di Pepin.
Fr 1
3 2
(2r )
Sia r>0. Il numero di Fermat Fr = 2
+1 è un numero primo 
 -1 (mod Fr)
Dimostrazione:
(): Basta applicare l’implicazione () del Teorema di Proth-Pocklington, con n=Fr , h=1, a=3
(): Essendo 3, Fr primi dispari distinti (perché Fr>3 essendo r>0), per la legge di reciprocità
quadratica si ha:
Fr 1
(3/Fr) = (Fr/3) (1) 2
Ma (Fr-1)/2= 2 2 1 è pari, dunque (3/Fr) = (Fr/3).
Valgono le seguenti congruenze modulo 3:
r
r
r -1
Fr = 2(2 ) +1 = 4 (2 ) +1  1+1  2 (mod 3)
Dunque, per la proprietà 3 del simbolo di Legendre e per la regola di calcolo di (2/p) si ha:
(3/Fr) = (Fr/3) = (2/3) = (-1)(9-1)/8 = -1
Per il criterio di Eulero si ha infine la tesi
Fr 1
3 2
 -1 (mod Fr).
I numeri di Fermat Fr hanno alcune applicazioni geometriche relative al cosiddetto problema della
“ciclotomia”: fissato un naturale n>1, suddividere una circonferenza in n parti uguali
(equivalentemente disegnare un poligono regolare di n lati iscritto nella circonferenza) usando solo
riga e compasso.
Per quali valori di n>2 il problema ha soluzione ?
Per esempio per n=6 il problema ha soluzione: il lato dell’esagono regolare si può costruire con riga
e compasso perché la sua ampiezza è uguale a quella del raggio della circonferenza circoscritta.
Analogamente per n=3: per costruire il lato del triangolo equilatero, basta costruire l’esagono
regolare e unire i vertici “saltando” un vertice intermedio.
Esiste un importante Teorema (di cui diamo solo l’enunciato):
Teorema.
Il problema della ciclotomia ha soluzione per tutti e soli i valori n>2 tali che n sia della forma:
n  2 t Fr1 Fr2 .....Frm
dove t0, e Fr1 , Fr2 ,....., Frm sono numeri primi di Fermat distinti (al limite può essere anche m=0,
quando n è una potenza di 2)
Per esempio per n=7 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 7 è primo ma non è un
primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ettagono regolare.
Anche per n=9=32 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 9 è il quadrato di un primo
di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ennagono regolare.
Anche nel caso in cui Fr non sia primo, i fattori primi di Fr hanno una struttura particolare:
Teorema.
r
Se r>1, ogni fattore primo p di Fr= 2(2 ) +1 è
Dimostrazione:
 1 (mod 2r+2), quindi p=1+k2r+2 con k intero.
r
Per ipotesi p è divisore del numero dispari Fr, quindi p è primo >2. Si ha 2(2 )  -1 (mod Fr), quindi
r
anche 2(2 )  -1 (mod p).
r 1
Essendo 2, p coprimi si ha [2]Zp* , [2](2 ) =[-1]2 = [1], e se s è il periodo di [2] in Zp* , s è
divisore di 2r+1, quindi s=2d con dr+1. Dimostriamo che d=r+1. Se per assurdo fosse d<r+1,
sarebbe:
r
d
r d
r d
[2](2 ) = ([2](2 ) ) 2 = ([2]s ) 2 =[1]
r
ed essendo 2(2 )  -1 (mod p) si avrebbe 1  -1 (mod p), contraddizione perché p>2.
Dunque d=r+1, s=2r+1. Ma il periodo s di [2] è divisore della cardinalità p-1 di Zp* , p-1=2r+1z con z
intero, p-1 multiplo di 8 (perché r+1>2), p  1 (mod 8).
Per le proprietà di (2/p), si ha (2/p)=1, e per il criterio di Eulero 2(p-1)/2  1 (mod p), [2](p-1)/2=[1], e il
periodo s di [2] è divisore di (p-1)/2, cioè (p-1)/2=hs=h2r+1 da cui la tesi p  1 (mod 2r+2).
Per trovare un fattore primo di Fr, si può allora procedere nel modo seguente: si fanno assumere in
successione al parametro k i valori interi positivi k=1,2,…., verificando con l’algoritmo della
divisione se il numero p=1+k2r+2 è divisore di Fr. Il minimo valore di k per cui p=1+k2r+2 è divisore
di Fr fornisce con certezza un divisore primo p di Fr (se p per assurdo non fosse primo, p avrebbe un
divisore primo p1<p, ma p1 sarebbe a maggior ragione divisore di Fr, quindi sarebbe della forma
p1=1+k12r+2 con k1<k, contro la minimalità di k).
Dopo avere trovato un fattore primo p di Fr, si può ripetere il ragionamento sul numero Fr/p per
trovare altri fattori primi di Fr e pervenire alla completa fattorizzazione di Fr in prodotto di primi.