Insiemi numerici
Teoria in sintesi
NUMERI NATURALI
Una delle prime attività matematiche che viene esercitata è il “contare” gli elementi di un dato
insieme.
I numeri con cui si conta: 0,1,2,3…. sono i numeri naturali, e vengono indicati con N.
È definita in N un’operazione, detta addizione, che ai numeri naturali x e y, associa il numero
naturale somma di x e y, che si scrive x+y.
Valgono le seguenti proprietà:
1. a + b = b + a per ogni a, b (proprietà commutativa dell’addizione);
2. (a + b)+ c = a + ( b + c) per ogni a, b, c (proprietà associativa dell’addizione);
3. a + 0 = a = 0 + a per ogni a (si dice che il numero naturale 0 è elemento neutro per
l’addizione);
4. (a + b = c) (c a, c b);
5. Se a b, c’è un numero naturale h tale che a + h = b, viceversa se c’è un numero naturale h tale
che a + h = b, allora a b.
In simboli: (a b) esiste h tale che a + h = b.
6. a = b a + c = b + c ( legge di semplificazione)
È definita in N anche la moltiplicazione, che associa ai numeri a, b il numero naturale a · b, detto
prodotto di a e b.
Valgono le seguenti proprietà:
1. ab = ba per ogni a,b (proprietà commutativa);
2. (ab)c = a(bc) per ogni a,b,c (proprietà associativa);
3. a · 1 = a = 1 · a , per ogni a (1 è elemento neutro per la moltiplicazione);
4. se almeno uno dei numeri a,b è nullo, tale è pure a · b; se a · b è nullo, lo è pure almeno uno dei
due numeri a,b;
in simboli (a = 0 b = 0) (a · b = 0) (legge di annullamento del prodotto)
5. se c 0, a = b a · c = b · c ( legge di semplificazione).
Vi è inoltre in N una proprietà che si riferisce alla moltiplicazione e alla addizione:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c) (proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione).
E’ la proprietà comunemente usata nella moltiplicazione per esempio di un polinomio per un
monomio.
È importante fare attenzione al fatto che, nella legge di semplificazione della moltiplicazione, si
suppone c0. Dimenticarsene porta spesso a relazioni assurde (tipo 0=1).
In N vi è inoltre un ordinamento totale, nel senso che presi due naturali qualunque è sempre
possibile confrontare due elementi e stabilire quale sia il maggiore.
Rappresentazione dei numeri Naturali
Data una retta r, fissiamo su di essa un verso. Una retta su cui sia stato fissato un verso si dice
orientata. Ora sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero 0, segniamo poi
a ugual distanza l’uno dall’altro i punti A,B,C, …. Al numero 1 associamo il punto A, al numero 2 il
punto B, e così via. In tal modo otteniamo una corrispondenza tra l’insieme N e i punti della retta r.
Naturalmente vi sono punti di r che non sono immagine di alcun elemento di N: fra il punto O e il
1
punto A c’è almeno un punto X di r, ma non c’è nessun numero naturale al quale sia associato X. I
numeri 0, 1, 2, 3, 4, … sono le ascisse rispettivamente dei punti 0, A, B, C, D, ….
Potenza
Comunemente, l’elevamento a potenza si definisce come prodotto di un certo numero di fattori
uguali:
25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
In generale
ab = a · a · a · … · a (b fattori).
Definendo la potenza in questo modo, però, a0 e a1 non hanno senso, e si debbono fare opportune
convenzioni per estendere anche a questi casi la definizione di potenza.
Possiamo scrivere così la definizione di potenza con esponente maggiore o uguale a 1:
Definizione: a1 = a, an = an-1 · a ; a0 = 1.
Ritroviamo dunque la potenza ab, con b 1, come prodotto di b fattori uguali ad a.
Proprietà delle potenze:
1. am . an = am + n;
2. (a . b)n = an . bn;
3. (am)n = a m n;
4. (abc)n=anbncn;
5. (a:b)n=an:bn
Divisione
Solitamente si dice che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.
Infatti, affermare che
a:b=q
equivale a dire che
a = b · q. (1)
Innanzitutto non può essere b = 0. Infatti se fosse b = 0, per la (1) dovrebbe pure essere a = 0, ma
allora q potrebbe essere un numero qualsiasi!
Tuttavia, in N non esiste sempre il quoziente a : b anche se b 0. Però, se tale quoziente esiste,
esso è unico.
Se x = qy,
diciamo che x è multiplo di y,
che x è divisibile per y,
che y è un divisore di x.
Un numero p N si dice primo se ammette come divisori solo 1 e p.
Se un numero non è primo, e quindi ammette almeno un divisore diverso da 1 e da sé stesso, si dice
composto.
2
Nell’insieme N i numeri primi sono particolarmente importanti perché ogni numero naturale può
essere espresso come prodotto di numeri primi; questa scrittura prende il nome di fattorizzazione in
fattori primi, e questa fattorizzazione è unica (Teorema fondamentale dell’aritmetica).
Il Massimo Comun Divisore di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri in fattori primi e
moltiplicando tra di loro solo i fattori comuni elevati al minimo esponente.
Quando MCD (a, b) = 1, si dice che a e b sono primi fra loro (cioè non hanno fattori primi in
comune).
Il minimo comune multiplo di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri in fattori primi e
moltiplicando tra loro i fattori comuni e non comuni elevati al massimo esponente.
Esempio
MCD (12, 54, 18) = 6
mcm (4, 7, 98) = 196
Dati i numeri naturali a, b (con ab, b 0), esistono un solo numero naturale q e un solo numero
naturale r tali che
a = bq + r, con r < b.
Se risulta r = 0, è possibile la divisione esatta.
Un numero si dice pari se è multiplo di 2 e lo si può indicare con 2n, nN, dispari altrimenti, in tal
caso lo si indica con 2n +1, o con 2n-1, nN.
Esercizi
1.
Scrivere il più piccolo numero naturale che abbia come divisori distinti da 1 e sé stesso i
numeri 2, 3, 11.
[66]
2.
E’ possibile trovare un numero n i cui unici divisori distinti da 1 e da sé stesso siano
2, 3, 11.
[F]
3.
Dire, senza eseguire i calcoli, se le seguenti uguaglianze possono essere vere, e per quali
proprietà:
4.
33 . 52 . 7 = 32 . 53 . 7
16 . 10 = 32 . 5
3 + 5 . 2 + 7 = ( 3 + 5) . 2 + 7
3 + 5 . (2 + 7) = 3 + 5 . 2 + 5 . 7
[F]
[V]
[F]
[V]
In N la divisione gode della proprietà commutativa?
[no perché…]
3
NUMERI INTERI
I numeri interi, detti anche interi relativi, sono 0, 1,2,3,4…….
Definizione: un numero intero relativo è una coppia formata da un segno, + o -, e da un numero
naturale (+0 = -0: solo in questo caso c’è coincidenza).
E’ possibile estendere ai numeri interi tutte le proprietà viste per i naturali.
Definizione: si dice valore assoluto di un numero intero relativo, il numero stesso privato del suo
segno; il valore assoluto di un numero è quindi un numero positivo.
|5
Definizione: la somma di due numeri a e b di ugual segno è un numero dello stesso segno; il suo
valore assoluto è la somma dei valori assoluti di a e b. La somma di due numeri c e d di segno
diverso è un numero che ha il segno dell’addendo di valore assoluto maggiore; il suo valore
assoluto è la differenza dei valori assoluti di c e d.
Esempio
2 + 3 = 5; -2 –7 = -9; -5 +10 = 5
L’insieme dei numeri interi si indica con Z, e in esso si può sempre eseguire la differenza tra due
numeri qualunque. (cosa che non era possibile eseguire in N)
In questo insieme valgono tutte le proprietà viste per N e inoltre per ogni zZ esiste un elemento
che si dimostra essere unico e si indica con –z, tale che z + (-z) = 0.
Quanto a 0, chiamiamo suo opposto zero stesso, dato che 0 + 0 = 0. Invece in N solo 0 ammette
l’opposto (0 stesso).
Definizione: il prodotto di due numeri relativi, in valore assoluto, deve essere il prodotto dei loro
valori assoluti:
| ab ab.
Resta da determinare il segno del prodotto, come è spiegato nella regola seguente
+a·(+b) = +ab;
+a·(-b) = -ab;
-a ·(+b) = -ab;
-a ·(-b) = +ab;
È molto importante osservare che quando scriviamo –b, +ab, -z con a, b, z interi, non stiamo
affermando che il primo e il terzo sono numeri negativi, ed il secondo positivo. Ad esempio,
potrebbe essere b = -2, a = 4, z = 5. Allora –b>0, +ab<0, -z<0.
4
Rappresentazione dei numeri interi
Data una retta r, fissiamo su di essa un verso. Una retta su cui sia stato fissato un verso si dice
orientata. La freccia indica un verso che diciamo positivo; il verso opposto è detto negativo.
Ora sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero 0, segniamo poi a ugual
distanza l’uno dall’altro i punti A,B,C, …. associando ai numeri negativi i punti che precedono O nel
verso prefissato. In tal modo abbiamo una corrispondenza tra l’insieme Z e i punti della retta r. Essa
però non è una biiezione; vi sono infatti punti di r che non sono immagine di alcun elemento di Z.
Esercizi
1.
Scrivere tre numeri negativi il cui valore assoluto non sia maggiore di |-5| e due numeri positivi
maggiori di |-2|.
2.
Scrivere due coppie di interi concordi e due discordi.
3.
Verificare con qualche esempio la proprietà associativa dell’addizione.
NUMERI RAZIONALI
I numeri razionali sono le “frazioni”, della forma a/b con a, b Z, b 0. Osserviamo che due
frazioni distinte possono rappresentare lo stesso numero.
Esempio
3 12
5 20
Se a e b sono primi fra loro la frazione a/b si dice ridotta ai minimi termini.
L’insieme di tali numeri si indica con Q. In Q si può sempre seguire la divisione tra due elementi
qualunque, a patto che il secondo sia diverso da zero (Cosa che non era possibile in Z)
Eseguendo la divisione fra due interi si possono ottenere o un numero decimale finito o un numero
decimale illimitato periodico.
Nell’insieme dei razionali valgono tutte le proprietà viste per i numeri interi, inoltre per ogni q Q
che sia diverso da zero, esiste un numero razionale che si indica con 1/q o con q 1 , detto reciproco
di q: tale che q(1/q) =1.
5
Ecco le regole per l’addizione e la moltiplicazione di due numeri razionali :
a c ad bc
b d
bd
a c ac
b d bd
Si ha inoltre che
a c
ad bc
b d
nel caso in cui b, d siano positivi. (Considerate voi accuratamente gli altri casi).
All’infuori di 0(=0/1) ogni elemento di Q ha l’inverso e quindi r : s, con s 0, è il prodotto di r per
l’inverso di s; in Q0 l’insieme dei razionali privato dello zero) la divisione è sempre possibile. Il
quoziente r : s è quel numero razionale q tale che q·s = r.
r/s è anche chiamato rapporto fra r e s.
Rappresentazione dei numeri Razionali
Sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero razionale 0, e un punto A, che
segue O nel verso positivo fissato, a cui associamo 1. Come trovare il punto B di r da associare al
numero razionale assoluto m/n? Si tratta di dividere la lunghezza di |OA| in n parti uguali per poi
costruire il multiplo secondo m di una di queste parti. r si dice l’ascissa di B.
Come nel caso dei naturali e degli interi i numeri razionali non “esauriscono” tutti i punti della retta:
questo però è un po’ più difficile da vedere che non nel caso di N e Z.
6
Nome dell'operazione che
Insieme in
Condizione per
alla coppia ordinata (a, b) fa
cui si opera
effettuare l'operazione
corrispondere c
N
Z
Q
Proprietà fondamentali
nessuna
commutativa, associativa, dotata
dell'elemento neutro
Moltiplicazione
nessuna
commutativa, associativa, dotata
dell'elemento neutro, distributiva
rispetto all'addizione, legge di
annullamento del prodotto
Sottrazione
ab
invariantiva
Divisione
b0; a multiplo di b
invariantiva, distributiva rispetto
all'addizione
Addizione
nessuna
come in Q
Moltiplicazione
nessuna
come in N
Sottrazione
nessuna
come in Q
Divisione
b0; a multiplo di b
come in N
Addizione
nessuna
come in N; inoltre tutti gli
elementi ammettono l'opposto
Moltiplicazione
nessuna
come in N; inoltre tutti gli
elementi diversi da zero
ammettono l'inverso
Sottrazione
nessuna
come in N
Divisione
b0
come in N
Addizione
7
Esercizi
1. Scrivere in ordine crescente i seguenti numeri:
+1/3, -5/4, 1.2, 1.33333…. , 0, -2/15.
2. Calcolare il valore di ab + ac + bc con:
a = -3, b = -1, c = -4
a = -1/3, b = +2 c = -4/3
[19]
[-26/9]
3.
Scrivere tre numeri razionali negativi maggiori di –4 e tre razionali positivi minori di |-5|.
4.
Completare con i segni: <, =, >
+3/2 …. +2
|-7| …. 1.3
|-5| …. 5
0
…. |-5|
1.3 …. 1.33
-3/4 …. –4/3
5.
Provate che se a>b e c<0, allora ac < bc.
6.
Si può affermare che a > -2 se a > -1?
7.
Calcolare:
2
1 1 3 1 2 1 2
:
2 2 2 2
3
3
4 3
3
3 4
2
0
2
4
6
2
1
1 1
2
2 2
4
:
:
2
2
:
3
:
2
3 3 3
5 9
3
3
1
9
8
