DERIVATA DI UNA FUNZIONE
11..
Definizioni e considerazioni propedeutiche
22..
Definizione di derivata di una funzione in un punto
33..
Significato geometrico della derivata
44..
Derivata destra e sinistra
55..
Osservazioni importanti, definizioni, teoremi
66..
Derivata delle funzioni elementari
77..
Teoremi sulle regole di derivazione
8. f ' ( x ) è una funzione
9.
– derivate successive
Teoremi di de l’H ÔPITAL
10. Significato fisico della derivata
11. Il Differenziale
12. Teoremi
del calcolo differenziale
2
1. DEFINIZIONI E CONSIDERAZIONI PROPEDEUTICHE.
Data la funzione f(x) definita e continua in un intervallo I Df e sia x0 un
punto interno ad I , definiamo:
F1
a) AH = x x0 = h = x
incremento della variabile indipendente fatto
rispetto ad x0 ;
b) HB = f(x) – f(x0) = f(x0+h) – f(x0) = y incremento della variabile
dip. fatto rispetto ad f(x0);
c) le scritture
f
(
x
)
f
(
x
)f
(
x
h
)
f
(
x
)
HB
y
0
0
0
AH
x
x
h
x
0
prendono il nome di RAPPORTO INCREMENTALE.
3
Osservazioni:
1. il R.I. è la tangente goniometrica dell’angolo di figura (f 1)
R.I. = tg = coeff. ang. della retta per AB;
2. al tendere di x ad x0 , tanto l’incremento della variabile indip. quanto
l’incremento della var. dip. tendono a zero, cioè
x x0 , H A, B A lungo il grafico della funzione, h 0, x 0
f(x) f(x0), f(x0+h) f(x0), y 0,
quindi il R.I. tende a diventare il coeff. ang. della retta tangente al
grafico della funzione in A(x0 ; f(x0)).
Esempio: determina il R.I. della funzione f (x) = x2 nel punto x0 = 1, per un incremento della
variabile ind. h = 1:
22 22
2
(
x
h
)
x
x
h
2
hx
x
h
(
h
2
x
)
0
0
0
0
0
0
R
.
I
.
h
2
x
0
h
h
h
per
x
1
e
h
1
si
ottiene
R.I.
1
2
3
0
La retta secante passante per A(1;1) e B(2;4) ha coeff. ang. m = 3
4
y
y 1
4
m
A B
3
x
x
1
2
A B
F2
2. DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO:
la funzione f(x) sia definita e continua in un intervallo I Df e sia x0 un
punto interno ad I, si definisce derivata della f(x) nel punto x0 il limite
finito, se esiste, del rapporto incrementale che si ottiene facendo tendere a
zero l’incremento della variabile indipendente:
f(x
h
)
f(x
)
f(x)
f(x
)
Δy
0
0
0
f
'(x
)
lim
lim
lim
0
x
x
Δx
h
h
0
x
x
x
0
0
x
x
0
0
3. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA
Da quanto detto nelle osservazioni, si deduce che la derivata di una funzione
in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della
funzione nel punto A(x0; f(x0)):
tangente in A
t: y = mx + q
con
m = f ’(x0).
Problemi notevoli
1° Problema notevole: determina l’equazione della retta tangente al grafico G della
funzione f(x) nel punto A( xA ; yA ), con AG .
5
soluzione:
Esempio:
y
y
m(x
x
)
A
A
y
y
f
'
(x
)(x
x
)
A
A
A
m
f
'
(
x
)
A
f (x) = x2 , A( 1 ;1 )
(AG)
Retta tangente in A: y – 1 = f ’(1)( x – 1 )
2
2
(1
h)
1
1
h
2h
1
h(h
2)
f
'
(1)
lim
lim
lim
lim
(h
2)
2
h
h
h
h
0
h
0
h
0
h
0
La retta tangente per A(1;1) è quindi:
y = 2x - 1 . (figura F2)
2° Problema notevole: determina l’equazione della retta tangente al grafico G della
funzione f(x) e passante per il punto A( xA ; yA ), con AG .
soluzione:
y
f(x)
y
y
m(x
x
)
f(x)
f
'
(x)(x
x
)
y
A
A
A
A (*)
m
f
'
(x)
Le soluzioni dell’equazione (*), se esistono, sono le ascisse xi degli eventuali punti di tangenza,
quindi trovo i coefficienti angolari mi = f ’(xi) e le rette tangenti ti: y - yA = mi(x-xA) .
a) Esempio:
f (x) = x2 , A( 2 ;1 )
(AG)
Ricerca delle ascisse degli eventuali punti di tangenza:
f(x) = f ’(x)( x - xA ) + yA x2 = 2x(x-2)+1 ;
x2 - 4x + 1 = 0 ; x1,22 3;
coefficienti angolari : m1,2 = 2 2 3
rette tangenti :
b) Esempio:
t1,2 : y – 1 = 2 2 3 (x - 2) .
f (x) = x2 , A( 0 ;2 )
(AG)
Ricerca delle ascisse degli eventuali punti di tangenza:
f(x) = f ’(x)( x - xA ) + yA x2 = 2x(x-0)+2 ;
x2 +2 = 0 ; l’equazione non ammette sol. reali, quindi non
ci sono tangenti.
6
Osserva che f ’(x) è la derivata fatta in un generico punto x del dominio della f(x) e vale:
2
22
22
(x
h)
x
x
h
2xh
x
h(h
2x)
f
'
(x)
lim
lim
lim
lim
(h
2x
2x
h
h
h
0
h
0h
h
0
h
0
(vedi anche in ‘ derivate delle funzioni elementari ’ , caso 6.3)
4. DERIVATA DESTRA E SINISTRA
I limiti da destra e da sinistra del R.I. in x0 possono esistere, essere finiti,
ma diversi fra loro, in tal caso la funzione è non derivabile in x0 e si
parla di derivata destra e derivata sinistra nel punto x0 . (FIG. F3)
'
'
'
'
'
f
(x
)
f
(x
)
e
f
(x
)
e
f
(x
)
f
(x
)
.
0
0
0
0
0
Precisazioni sul concetto di derivabilità in un punto.
Consideriamo la funzione definita nei seguenti insiemi (intervalli):
1. [a;b]
la f(x) è derivabile in a ( o in b) se in tale punto esiste la
derivata da destra (sinistra);
2. ]a; b]
la f(x) non può avere derivata in a, perché ivi non definita;
può avere derivata da sinistra in b.
Esempi
1.
3
f
(
x
)
x
;D
0
;
;
calcolo
la
derivata
in
x
0
f
0
3
x
x
x
0
'
f
(
0
)
lim
lim
0
x
0x
x
x
0
0
la funzione è derivabile in x0 = 0 da destra e la derivata vale 0.
7
f
(
x
)
ln
x
;
D
0
;
f
2.
la funzione non è derivabile in x0 = 0 perché in tale punto non è definita.
5. OSSERVAZIONI IMPORTANTI, DEFINIZIONI, TEOREMI
1. La continuità della f(x) in x0 è condizione necessaria per la
derivabilità.
TEOREMA : se una f(x) è definita e derivabile in x0, allora f(x) è
continua in x0.
dim:
se esiste la f ’(x0) allora esiste ed è finito il limite del
R.I. in x0 , cioè
f
(
x
)
f
(
x
)
f
'
(
x
)
lim 0
0
x
x
x
0
0 x
quindi :
f(x)
f(x
)
0
f(x)
f(x)
f(x
)
f(x
)
f(x
)
x
x
0
0
0
0
x
x
0
con
x
x
0
f(x)
f(x
)
0
lim
f(x)
lim
f(x
)
x
x
f(x
)
0
0
0
x
x
0
x
x
x
x
0
ma se
0
lim
f(x
)
f(x
)
0
significa
x
x
0
che la f(x) è continua in x0.
Quindi la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità.
2. Punti particolari dove la f(x) è continua, ma non derivabile.
8
a. Se le derivate da sinistra e da destra esistono finite, ma sono
diverse, allora il punto
P(x0; f(x0)) è detto punto
angoloso.
F3
esempio:
f (x) = x2 – 1 ;
'
'
f
(1)
2
;f
(1)
2
2
x
1
1
x
1
x
'
f
1
lim
lim
2
x
x
1
1
x
1
x
1
2
2
x
1
x
1
x
1
'
f
1
lim
lim
x
x
1
1
x
1
x
1
b. Se il limite del R.I. non esiste o è infinito, la funzione è non
derivabile in x0 , tuttavia se tale limite è infinito, esiste la retta
tangente nel punto P( x0 , f(x0) ), è verticale, di equazione x = x0
e possono verificarsi i seguenti casi a tangente verticale :
9
le rette di equazione x = a e x = b sono due tangenti verticali ;
per x = a
per x = b
f'(x
)
lim
la f(x) ammette un flesso vert. (disc.);
x
a
f'(x
)
lim
x
b
la f(x) ammette un punto angoloso
detto cuspide.
Ricordo che in un punto di flesso la concavità cambia verso !
Esempi :
1
1
3
(
x
)
x
;
f
'
(x)
;
f
'
(x)
1. f
lim
2
3
3
x
0
x
2.
1
1
f
(
x
)
x
;
f
'
(x)
sgn(x
f
'
(x)
lim
2
x
0
x
1
0
3. Se la funzione ammette derivata in ogni punto di un certo intervallo
I Df , diremo che tale funzione è derivabile su tutto l’intervallo.
Sono equivalenti le scritture:
df(x)
f
'
(
x
)
D
f
(
x
)
y
'
con x I.
dx
6. DERIVATA DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
(al posto di un particolare punto x0 prendiamo un generico x)
1.
f (x) = k
f ’(x) = 0
xR
k
k
f
'
(x)
lim
lim
0
0
h
0h h
0
la derivata di una costante è zero.
1
1
2.
f (x) = x
f ’(x) = 1
xR
(x
h)
x h
f
'
(x)
lim
lim
1
h
h
0 h h
0
3.
f (x) = x2
f ’(x) = 2x
xR
2
22
22
x
h
x
x
h
2
hx
x
h
(
h
2
x
)
f
'
(x)
lim
lim
lim
2
h
h
h
0
h
0 hh
0
1
2
y = x2
X
1
2
3
-2
-3
f'=m
2
4
6
-4
-6
f ' = 2x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
y = 2x
-4
-5
y = -4x - 4
y = 2x - 1
-6
4.
f (x) = sen x
-4
-3
-2
-1
f ’(x) = cos x
0
1
2
3
xR
4
1
3
sin(
xh)sin
x
sin
xcos
hsin
h
cos
xsin
x
f'(x)lim
lim
h
h
h
0
h
0
sin
x
(cos
h
1)sin
h
cos
x
(cos
h
1)
sin
h
lim
sin
xlim
cos
xlim
h
h
h
0
h
0
h
0 h
sin
h
0cos
xlim cos
x
h
0 h
se
xèla
misura
dell'
angolo
in
radianti,
cos
x se
xèla
misura
dell'
angolo
in
gradi.
180
2
(cos
h
1
)
(cos
h
1
)(cos
h
1
)
cos
h
1
lim
(cos
h
1
)
h
(cos
h
1
)
h
0 h
h
0 h
h
0
lim
lim
2
sin
h
sin
h
sin
h
lim
lim
0
h
(cos
h
1
)h
h
1
h
0
0
h cos
5.
f (x) = cos x
f ’(x) = sen x
xR
cos(x
h)
cos
x
cos
x
cos
h
sin
x
sin
h
cos
x
f'(x)
lim
lim
h
h
h
0
h
0
cos
h
1sin
sin
h
cosx
lim
x
lim
h
h
h
0
h
0
sin
x
se
x
èla
misura
dell'
angolo
in
radianti,
πsin
x se
x
èla
misura
dell'
angolo
in
gradi.
180
6.
f (x) = loga x
f ’(x) =
1
loga e
x
a
R
1
;
x
R
0
0
1
4
1
xh
h
logxh-log
ax lim
f'(x)
lim a
log
a
x
h
h
0
h
0
1
1
x
hh
hh
lim
log
1
lim
log
a
a
1
x
h
0
h
0
x
x
x
h
1
1
log 1
lim
a
x
h
0x
h
x
ponendo
t , se h
0allora
t
h
t 1
t 1
1
1
1
lim
log
a
alim
ae
1
log
1
log
xt
x t
x
t
t
In particolare
7.
f (x) = a x
f(x) = ln x
f ’(x) = a x loge a
f ’(x) =
1
x
a
R
1
;
x
R
0
x
h x
h
a
a
xa -1 x
f'(x)
lim
lim
a
a log
ea
h
h
h
0
h
0
inparticolar
e: f(x)
ex
f'(x)
ex
1
1
1
ponendo
ah-1 h
log
;
seh
0 t
a
t
t
1
ah-1 lim 1
lim
lim 1
log
ea
t
1
h
0 h
t
t
1
log
e
1
tlog
a
1
a
log
a
t
t
7. TEOREMI SULLE REGOLE DI DERIVAZIONE
1
5
a) Teorema: derivata della somma di due o più funzioni
Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I (Df Dg),
la derivata della somma delle funzioni è uguale alla somma delle singole
derivate:
'
'
D
f
x
g
x
f
x
g
x
f(x
h)
g(x
h)
f(x)
-g(x)
f(x)
h
D
g(x)
lim
h
0
f(x
h)
-f(x)
g(x
h)
-g(x)
f(x
h)
-f(x)
lim
lim
h
h
h
h
0
h
0
g(x
h)
-g(x)
lim
f'(x)
g'
(x)
h
h
0
Esempi:
con
x
I
2
2'
sin
'2
1
. D
x
sin
xx
x
x
cos
x
log
log
'
cos
'1log
2
. D
cos
x
x
e
sin
x
2x
2x
2
x
x
x'
x
3
. D
x
2
5
x'2
5'
1
2
ln
2
b) Teorema: derivata del prodotto di due (o più) funzioni
Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I (Df Dg),
la derivata del prodotto delle funzioni è uguale alla somma del prodotto
della derivata della prima funzione per la seconda non derivata con il
prodotto della prima funzione per la derivata della seconda:
D[ f(x) g(x) ] = f ’(x) g(x) + f(x) g’(x)
1
6
f(x
h)g(x
h)-f(x)
g(x)
hlim
Df(x)
g(x)
h
0
f(x
h)g(x
h)- f(x)
g(x)
f(x
h)g(x)
lim
h
h
0
g(x)(f(x
h)- f(x))
f(x
h)(g(x
h)g(x))
lim
h
h
0
f '(x)
g(x)
f(x)
g'(x)
con
xI
Nel caso di più funzioni la formula si generalizza facilmente; per esempio con tre funzioni si ha:
D[fgh] = f ’gh + fg’h + fgh’.
Esempi: 1) D[xln(x)] = (x)’ ln(x)+ x (lnx)’ = ln(x) +1
2) D[xsin(x)log2(x)] = (x)’ sin(x) log2(x) + x [sin(x)]’ log2(x) + x sin(x) [log2(x)]’ =
= sin(x) log2(x) + x cos(x) log2(x) + sin(x) log2e .
c) Teorema: derivata della funzione F(x) = [f(x)]n
( in particolare F(x) = xn )
Se la funzione f(x) è derivabile in un intervallo I Df , la derivata della
potenza ennesima della funzione è
D[(f (x))n] = n[f(x)]n-1f ’(x)
con nN
( in particolare D[xn] = nxn-1 )
Si dimostra come caso particolare del b), infatti:
D[f n] = D[ff … ff] = f ’[f] n-1 + … + f ’[f] n-1 = n [f] n-1f ’
Esempi: 1. D[x5] = 5x4 ;
2. D[sin3(x)] = 3sin2(x)cos(x) .
1
7
d) Teorema: derivata del quoziente
Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I (Df Dg),
con g(x) 0 x I, la derivata del quoziente delle funzioni è uguale al
rapporto fra la differenza del prodotto della derivata del numeratore per il
denominatore non derivato con il prodotto della derivata del den. per il
num. non derivato ed il quadrato del den.
f
f
(
x
)
'
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
g
'
(
x
)
D
2
g
(
x
)
g
(
x
)
f
x
h
f
x
f
x
h
g
x
f
x
g
x
h
f
x
g
x
f
(
x
)
g
g
x
h
x
g
x
h
g
x
D
lim
lim
g
(
x
)
h
h
0
h
0
h
g
f
f
f
g
x
x
h
f
x
x
x
h
g
x
'
x
g
x
f
x
g
'x
lim
2
g
x
h
g
x
h
g
x
h
g
x
h
h
0
g
x
con
x
I
Esempi:
2
2
'cosx
' cos
sinx
sinx
sinx
cosx
x
sin
x
1
2
D
1
tg
x
D
1
tg
x
2
2
2
cosx
cos
x
cos
x
cos
x
2
2
'sinx
' -sin
cosx
cosx
cos
x
sinx
x
cos
x
1
2
D
2
cotg
x
D
1
cotg
x
2
2
2
sinx
sin
x
sin
x
sin
x
3
3'
3
2
3
2
x
' 3x
2x
x
4
x
x
4
x
4
x
x
1
6
x
D
3
2
2
2
4
x
4
x
4
x
4
x
e) Teorema: derivata del reciproco di una funzione
Se la funzione f(x) è derivabile in un intervallo I Df e f(x) ≠ 0 xI,
allora
1
f'(x
)
D
f(x
)
f2
(x
)
Si dimostra come caso particolare del d).
1
8
x
1 sin
Esempio: D
cos
2
x
cos
x
f) Teorema: derivata della funzione inversa
Se la funzione f(x) è derivabile ed invertibile in un intervallo I Df , con
f ’(x) ≠ 0 x I, detta x = f -1(y) la funzione inversa, allora
1
1
D
f
(y
)
f'(x
)
Interpretazione grafica:
π
b
a
2
1
π
tg(b)
tg
a
cotg(a)
tg(a)
2
quindi
1
1
1
D
f
(y
)
tg
(b
)
0
tg
(a
) f'(x
)
0
essendo
tg
(a
)f'(x
)
0
Esempi:
1' 1 1 1 ricordando
D
1
arcsin
y
che
y
sin
x
2
2
x 1
cos
sin
x
sin
x 1
y
f(x)
sin
x
π
π
D
x
R
:
x
; C
y
R
:
1
y
1
f
f
2
2
π
π
1
f(y)
arcsin
y D
y
R
:
1
y
1
; C
x
R
:
x
1
1
ff2
2
1
9
arccos
2 D
y
arctg
3 D
y
cos
x'
1
tgx
'
arccotg
4 D
y
5 D y
1
x
2'
1
1
1
1
2
-sin
x
1cos
x
1y2
1
1
1tg x 1y2
2
ricordando
che
ytgx ...
1
1
1
2
cotg
x
1co
tg x 1y2
'
1
1
2x 2 y
ricordando
che
ycos
x ...
ricordando
che
ycotg
x ...
ricordando
cheyx2e x y
fxx2
Df xR:x0;
Cf yR: y0
f1y y
Df1 yR: y0; Cf1 xR:x0
g) Teorema: derivata della funzione composta
Se la funzione t = g(x) è derivabile in un intervallo I Dg e se la
funzione y = f(t) è derivabile in J Df g(I), allora anche la funzione
composta f[g(x)] è derivabile e risulta:
D[f(g(x))] = f ’(t)g’(x)
con t = g(x)
Esempi: 1) D[sin(x2)] = cos(x2) (x2) = 2x cos(x2)
t = x2 , D[sin(x2)] = [sint]’[x2]’ = cost(2x) = 2xcos(x2)
1 ' cos
x
D
2
ln
sin
x
sin
x
cotgx
sin
x
sin
x
cos
x
'
'1
t
sinx
,D
ln
sin
x
ln
t
sin
x
cos
x
cotgx
t
sin
x
Il teorema si estende anche al caso in cui le funzioni intermedie siano più d’una; se, ad es. è:
y = f(t); t = g(z); z = h(x), risulta y = f[g(h(x))] e si ha : D[f(g(h(x)))] = f ’(t)g’(z)h’(x)
2
0
2
2
1 2'
lnx2
Esempi
:1 D
2
2lnx ln
2 ln
x2 ' 2lnx ln
2
x
x2
ln
x2
2
2
2lnx ln
4
ln
2 2x
2
x
x
1
2
1
lnx
t '
' 2'
t
zx2,t lnz
, D
2
2
lnz
x
2
ln2
2x
z
2
1
2lnxln4
ln2
2x
x
x2
2
lnx
2
tgx15tgx 5 tgx151tgx 5 x 5
1
x 51tgx 53x
tg
2 Dln
tgx35
3
'
2 3
3
3
3
2 3
2
3
h) Derivata logaritmica – applicazione del teorema 7.g
F(x) = [f(x)]g(x)
con
D
D
x
R
:
f(x)
0
F
g
g(x)
g
x
ln(f(x)
g(x)lnf(x)
F(x)
f
x
e
e
'
f
g(x)lnf(x)
glnf
D
F
x
D
e
e
glnf
'
F
x
g'
lnf
g
f
Casi particolari:
xα, con
fx fx-1f'(x) confx0
g
RD
1
sen,con
n
N,
si
ritrova
la
derivata
7.c
, inoltre,
seα
2
'
f (x)
D fx
con
fx0
2 fx
xα xαα1xαxα1
D
x
x
D
x xlnx
1
con0x
con0,
x
α
R
'
2
1
1
in
particolar
ese
α
,si
ritrova
la
derivata
7.f.5
:
2
1 1 -1 1
2
2
x
D
x
2x
2
con
0 x
in
particolar
ese
α
n,
con
n
N,
si
ritrova
la
derivata
7.c
:
n
n
1
D
x
n x.
8. f ' ( x ) È UNA FUNZIONE – DERIVATE SUCCESSIVE
La derivata in un punto è un limite finito e, per il teorema dell’unicità del
limite, se esiste, è unica, quindi se in un intervallo ]a; b[ la f(x)
ammette derivata in ogni punto, allora esiste una corrispondenza
univoca fra l’insieme ]a; b[ (dominio) e l’insieme immagine F’
(codom.) formato dalle f ' ( x ), cioè
ad ogni elemento di ]a; b[ corrisponde uno ed un solo elemento di F’.
E’ quindi definita una funzione, detta derivata di f(x), che ha per dominio
l’insieme in cui f(x) è derivabile.
2
2
Derivate successive: la derivata della funzione derivata (prima) f ’(x), se
esiste, prende il nome di derivata seconda f ’’ (x), e così via …
Sono equivalenti le scritture:
2
d
f(x)
f
'
'
(
x
)
2
D
f
'
(
x
)
y
'
'
dx
con x ]a; b[.
Esempi:
1)
f(x) = x2;
f ’(x) = 2x; f ’’(x) = 2
2) f(x) = sen(x2) ; f ’(x) = 2xcos(x2) ; f ’’(x) = 2cos(x2) - 4x2sen(x2) ;
f ’’’(x) = - 4xsen(x2) – 8xsen(x2) - 8x3cos(x2) = - 12xsen(x2) - 8x3cos(x2) ; …
9. TEOREMI DI DE L’HÔPITAL
(si dimostrano mediante il teorema di Cauchy)
I teoremi di De L’Hôpital consentono di esprimere le seguenti regole
fx
per il calcolo di limiti di funzioni del tipo Fx gx , che presentino
le forme indeterminate 0/0 e / :
a)
x x0
a.1) Forma indeterminata 0/0 :
se le funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0 e derivabili in un suo
intorno I, escluso al più il punto x0 , con g(x0) = f(x0) = 0 e g’(x) 0
x I - x0 , e se esiste (finito o infinito) il (*)
a.2) Forma indeterminata / :
se f(x) e g(x) sono due funzioni derivabili in un intorno I di x0 ,
lim
f
x
lim
g
x
escluso al più il punto x0 , con x
e con g’(x) 0
x
x
x
0
0
x I - x0 , e se esiste (finito o infinito) il (*)
2
3
(*)
'
f
x
lim
'
x
x
0
g
x
f
x
allora
esiste
anche
il lim e
risulta
:
x
x
g
x
0
'
f
x
f
x
lim
lim
'
x
x
x
g
x
0
0
g
x x
b)
x
Forme indeterminate 0/0 e / :
se f(x) e g(x) sono due funzioni derivabili in un intervallo illimitato
0
lim
f
x
lim
g
x
e con g’(x) 0 x I , e se esiste
I, con x
x
(finito o infinito) il
'
f
x
x
g
x
lim
'
f
x
allora
esiste
anche
il lim e
risulta
:
x
g
x
'
f
x
x
g
x
0
f
x
x
g
x
0
lim
lim
'
Esempi:
sin
' lim
sin
x 0
x
1
. L
lim
applico
ilteor.
di
De
L'
H.
: lim
cos
x
1 quindi
L
1
x
0 x 0
x
0
0
' x
x
'
ln
x
ln
x
1
2
. L
lim
applico
ilteor.
di
De
L'
H.
: lim
lim
0quindi
L
0
'
x
x
x
x
x x
1
cos
x
ln
sin
x
2
sin
x
3
. L
lim
applico
De
L'
H.
: lim
lim
cos
x
1 quindi
L
1
ln
1
1
tgx
x
0
x
0
x
0
2
tgx
cos
x
2
4
Osservazioni :
a) I teoremi di De L’Hôpital sono condizioni sufficienti per l’esistenza del limite dei rapporti
di funzioni.
Esempio:
1 1
2 1
x
sin
2
x
sin
cos
0
1
x
x
xnon
lim
;il
lim
esiste
perchè
non
esiste
il
lim
cos
x 0 x
x
x
0sin
0 cos
x
0 x
21
x
sin
x
1
x
tuttavia
esiste
illim
lim
lim
x
sin
1
0
0
sinx
x
0sinx
x
0
x
0
x
b) I teoremi si possono applicare ripetutamente, nel caso che il rapporto delle derivate dia
luogo ancora ad una forma indeterminata.
Esempio:
5 4
3x
4x
x0
lim
;
applicando
successiva
mente
due
volte
il
teor.
di
De
L'
H.
:
2
x
1
x
2x
10
4 3
3 2
15x
16x
1
0
60x
48x
lim
;lim
6
2
0x
x
1 2x
1 2
c) Vi sono accorgimenti che permettono di trattare mediante i teoremi di De L’H. le altre forme
indeterminate: +-, 0, 1, 0, 00.
Esempi:
x
1
ln
x0
1 1
1
.L
lim
lim
applico
il
teor.
di
De
L'
H.
:
ln
xx
1
x
ln
x
ln
x0
x
1
x
1
1
1
1
2 1
0
1
x
x
lim
applico
il
teor.
di
De
L'
H.
:
lim
quind
L
1
11 2
2
x
1
x
1
ln
x
1
0
2
x
xx
2
5
ln
x
2
. L lim
xln
x0
lim
applico
ilteor.
diDe
L'
H.
:
x
0
x
0 1
x
1
x0 quindi
lim x lim
L0
1
x
0
x
0
x2
x
3
. L lim
xx00
xxexln
cerco
illim
ite
dell
'esponente
:
x
0
lim
xln
x0 (esempio
2)
quindi
Le01
x
0
4. L lim1xlnx 1 1xlnx elnxln1x
x0
cerco
il limitedell
'esponente
:
ln1x 0
applico
il teor.
di DeL'H.:
1
0
x0
lnx
lim lnxln1x0 lim
x0
1
ln2 x
lim 1x lim
applico
il teor.
di DeL'H.:
x0 1
x0 1 1
x
xln2 x
1
x lim 2lnx applico
il teor.
di DeL'H.:
1
x0 1
x
x2
2lnx
lim
x0
2
lim x lim2x0
x0 1
x0
x2
quindi Le0 1
10. SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA
Molte grandezze fisiche, per come sono state definite, sono funzioni
derivate di altre funzioni, come per esempio:
2
6
1. La velocità v = v(t) è la derivata della legge oraria s = s(t), infatti
s
Δs
'
t
lim
s
(t)
per def. v
(vel. media) e v
Δt è la velocità
Δt
0
t
istantanea al tempo t.
2. L’accelerazione a = a(t) è la derivata della funzione v = v(t), infatti
Δv
Δv
'
'
'
è
t
lim
v
t
s
t
per def. a Δt (acc. media) e a
Δt
Δt
0
l’acceleraz. istantanea al tempo t.
3. L’intensità della corrente elettrica i = i(t) è la derivata della funzione q =
Δq
Δq
'
t
lim
q
(t)
q(t), infatti per def. i Δt (int.di corr. media) e i
è
Δt
Δt
0
l’int.di corr. istantanea al tempo t.
4. Un campo scalare x; y;z origina un campo vettoriale ux; y;z
facendone la derivata rispetto allo spazio:
u
grad
con
grad
i
j
k
;
x
y
z
in particolare per il campo elettrico si ha:
x;
V
y;
z
indicando con V
E
grad
V
il potenziale elettrostatico;
dV
'
E
x
i
V
x
i
dx
e in una dimensione (x):
5. La forza elettromotrice è, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz,
d
Φ
'
B
f.e.m.
Φ
t
dt B indicando con B il flusso del vettore induzione magnetica
B attraverso il circuito concatenato.
Esempio:
Un corpo si muove in linea retta secondo la legge oraria : s(t) = t3 - 9t2 + 15t , con s misurato in
metri e t in secondi.
Determinare la velocità, l’accelerazione al tempo t = 6 e gli intervalli di tempo durante i quali il
corpo si sposta in avanti, e quelli durante i quali si sposta indietro.
v(t) = s’(t); v(t) = 3t2 - 18t + 15; quindi v(6) = 15 m/s ;
a(t) = v’(t) = s’’(t) ; a(t) = 6t – 18 ; quindi a(6) = 18 m/s2 ;
v(t) > 0 ; 3t2 - 18t + 15 > 0 per t < 1 t >5 il corpo avanza ;
v(t) < 0 ; per 1 < t < 5 il corpo indietreggia.
2
7
11. Il Differenziale
La funzione f(x) sia derivabile ( continua definita) in un intervallo I Df e
x0 , x0 + x siano due punti interni ad I; si definisce differenziale dfx0 della
f(x) nel punto x0 la funzione lineare dfx0 : x f ’(x0)x , che associa
all’incremento x della variabile indipendente il prodotto della derivata
della funzione nel punto x0 ( f ’(x0) ) per l’incremento stesso ( x ):
dfx0 = f ’(x0)x
Significato geometrico:
ABdfx0
f ' x0 tg
dfx0
Δx
dfx0 f ' x0 Δx
In particolare, se la funzione è f(x) = x , il differenziale in ogni punto
coincide con l’incremento della variabile indipendente:
dx = (x)’x
dx = x
pertanto il differenziale di una funzione si scrive più in generale:
df = f ’(x)dx
Da qui la scrittura vista al 5.3, detta notazione di Leibniz :
Esempi:
f' x
df
.
dx
quindi
2
8
data la funzione f(x) = x2 , il suo differenziale nel punto x0 = - 2 è: df -2 = 2(-2)dx ;
df -2 = - 4 dx
data la funzione f(x) = log10x , il suo differenziale nel punto x0 = 3 è: df 3 = (1/3) log10( e) dx .
