19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
1. CHE COSA SONO I SISTEMI LINEARI
Risolvi i seguenti sistemi lineari, stabilendo se sono determinati, indeterminati o impossibili.
1A
2 x y l 0
2 x 3 y 5 0
[(2; 3)]
1B
2 x y 5 0
2 x 2 y 4 0
[(3; 1)]
2A
x 2 y 3
2 x 4 y 1
[impossibile]
2B
2 x y 3
6 x 3 y 9
[indeterminato]
3A
x 2 y 2z 2
2 x 3 y z 3
3 x 2 y 3 z 0
[(4; –3; –2)]
3B
2 x 2 y 2 z 4
2 x 3 y 3z l
3x 7 y 4 z 0
[(5; –1; –2)]
2. IL METODO DELLA MATRICE INVERSA
Riscrivi in forma matriciale i seguenti sistemi.
4A
x 2 y z 3
x y z 2
, 2 x 3 y z 1 .
4 x y z 3 3x 3 y 3z 0
19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
4B
ESERCIZI
4 x y z 3
x 2 y z 0
, x y z 2
.
6 x y z 2
4 x 2 y 2 z l0
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo della matrice inversa.
5A
2 x z 5
x y 3z 6
2 y 2 z l0
[( 1;2;3)]
5B
x 3 y z 2
y z 2
2 x y 3 z 2
[( 2;1;1)]
6A
x cos ysen z cos 2cos sen2
xsen y cos zsen 2sen sen2 ,
xsen2 y zsen2 2sen2
6B
xsen y cos zsen 2sen
xsen2 y zsen2 4cos sen2 ,
xsen2 y zsen2 4cos sen2
k , k Z.
2
k
2
, k Z.
sen2 1;0; sen2 1
1 2 cos ;0;1 2 cos
3. LA REGOLA DI CRAMER
Risolvi i seguenti sistemi lineari con la regola di Cramer.
7A
5 x y z 1
3x 2 y z l
6 x 2 y z l
[(0; 2; 3)]
7B
x 5 y 2 z 1
2 x 7 y 2 z 2
3x 4 y 3z 3
[(3; 0; 2)]
8A
x1 x2 x3 1
3x1 x2 x3 2
4 x 8 x 3x 1
2
3
1
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1 3
4 ; 4 ;2
2
19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
8B
x1 x2 x3 1
3x1 x2 x3 2
4 x 3x 8 x 1
2
3
1
9A
x1 x2 x3 x4 0
x 2 x 3x x 0
1
2
3
4
3
x
4
x
3
x
8
2
3
1
x1 x2 x3 x4 4
[(–1; 2; –1; 0)]
9B
x1 x2 x3 x4 0
x 2 x 3x x 0
1
2
3
4
3 x1 4 x3 3 x4 5
x1 x2 x3 x4 2
[(–1; 0; 1; 2)]
1
3
4 ;2; 4
4. IL METODO DI RIDUZIONE
Risolvi i seguenti sistemi lineari di n equazioni in n incognite con il metodo di riduzione.
10 A
2 x 5 y 2 z 6
2 x 3 y z 0
3x 4 y 3z 3
10 B
2 x 5 y 2 z 2
x 3y 2z 0
3x 4 y 3z 3
11 A
x1 2 x2 4 x3 2 x4 9
2 x 2 x x 2
1
2
4
3 x1 x2 2 x3 x4 2
3 x1 x2 x3 5
[(3; 3; 1; 2)]
11 B
x1 2 x2 4 x3 x4 1
2 x x x 0
1 2 4
3 x1 x2 2 x3 x4 2
3 x1 x2 5 x3 4
[(2; –3; 1; 1)]
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[(1; 0; –2)]
[(2; 0; 1)]
3
19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
12 A
x1 x2 2 x3 x4 0
x x x x 3
1 2 3 4
x1 2 x2 2 x3 3 x4 2
2 x1 2 x2 7 x3 6 x4 1
[impossibile]
12 B
2 x1 x2 3 x3 2 x4 0
x x x x 4
1 2 3 4
x1 x2 x3 x4 2
6 x1 x2 6 x3 6 x4 1
[impossibile]
Risolvi i seguenti sistemi lineari con il metodo di riduzione.
13 A
x y z 3
2 x 3 y z 8
13 B
x y z 1
2 x y 4 z 4
[1 soluzioni: (k 1; 2k 2; k )]
14A
x 2 y z 5
2 x 3 y 3 z 8
4 x 7 y 5 z 18
3 x 5 y 4 z 13
[1 soluzioni: (3k 1; k 2; k )]
14 B
x 2 y 4z 5
2 x y z 4
4 x 5 y 7 z 14
x y z 3
[1 soluzioni: (2k 1; 3k 2; k )]
[1 soluzioni: (2k 1; k 2; k )]
5. IL TEOREMA DI ROUCHÉ–CAPELLI
Dopo aver applicato il teorema di Rouché–Capelli, risolvi i seguenti sistemi lineari.
15 A
2 x 3 y 1
5 x 2 y 2
9 x 4 y 2
[impossibile]
15 B
2 x 3 y 1
5 x 4 y 3
x 2 y 2
[impossibile]
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4
19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
16 A
2 x y z 0
3 x 2 y 2 z 1
x y 5
4 x 4 y 3 z 6
[(1; 4; –2)]
16 B
x y z 0
4 x y 2 z 6
x z 2
4 x 2 y 4 z 8
[(–1; 4; 3)]
17 A
x1 x2 2 x3 3x4 4
x1 x2 x3 4 x4 2
x 3x 2 x x 8
2
3
4
1
[1 soluzioni: (3k 1; 2k 1; k 2; k )]
17 B
x1 x 2 x3 2 x 4 1
x1 2 x 2 x3 x 4 2
x 3x x 2 x 7
2
3
4
1
[1 soluzioni: (3k 2; k 1; 2k 2; k )]
Discuti al variare del parametro reale k il seguente sistema lineare.
18 A
x (k 1) y kz 0
kx 2 y kz 0
y 2z k
se k 4 k 1, sistema determinato:
k2
k 2 k 2 2k
;
;
;
k 4 k 4
k 4
se k 1, sistema determinato: 1 soluzioni: (3h 2;1 2h; h); se k 4, sistema impossibile
18 B
(k 1) x y kz 0
x 2z k
2 x ky kz 0
se k 4 k 1, sistema determinato:
k2
k 2 k 2 2k
;
;
;
k 4 k 4
k 4
se k 1, sistema determinato: 1 soluzioni: (1 2h;3h 2; h); se k 4, sistema impossibile
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19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
19A
(k 1) x y kz 0
y kz 1
x 2 y z k
1
se k 1 k , sistema determinato:
2
ESERCIZI
1
k 3 k 2 1
k 2 k 1
;
;
;
k 1 k 1 2k 1 k 11 2k
se k
19 B
1
k 1, sistema impossibile
2
kx y (k 1) z 1
y (k 1) z 0
x 2 y z k 3
3
se k 0 k , sistema determinato:
2
1 (k 1)(k 2 3k 1) k 2 3k 1
;
;
;
k 2k 3
k 3 2k
k
se k
3
k 0, sistema impossibile
2
6. I SISTEMI LINEARI OMOGENEI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE
Risolvi i seguenti sistemi lineari omogenei.
20 A
x 4 y z 0
5 x 2 y 3 z 0
4 x 6 y z 0
[(0; 0; 0)]
20 B
4 x y z 0
2 x 5 y 3z 0
6 x 4 y z 0
[(0; 0; 0)]
21 A
x 2 y 7z 0
x y z 0
3x y 11z 0
1 soluzioni: (3k ; 2k ; k )
21 B
x y z 0
3 x 5 y 4 z 0
x 3y 2z 0
1 soluzioni: (k ; k ; 2k )
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6
19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
22 A
x1 x2 5 x3 3 x4 0
x x 7x x 0
1 2
3
4
2 x1 x2 x4 0
4 xl x2 2 x3 3 x4 0
1 soluzioni: (9k ;10k ; k ;8k )
22 B
x1 x2 5 x3 3 x4 0
x x 7x x 0
1 2
3
4
2 x1 x2 3 x4 0
4 xl x2 2 x3 7 x4 0
1 soluzioni: (2k ; k ;0; k )
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