Sistemi lineari esercizi

19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
1. CHE COSA SONO I SISTEMI LINEARI
Risolvi i seguenti sistemi lineari, stabilendo se sono determinati, indeterminati o impossibili.
1A
2 x  y  l  0

2 x  3 y  5  0
[(2; 3)]
1B
2 x  y  5  0

2 x  2 y  4  0
[(3; 1)]
2A
x  2 y  3

2 x  4 y  1
[impossibile]
2B
2 x  y  3

6 x  3 y  9
[indeterminato]
3A
x  2 y  2z  2

 2 x  3 y  z  3
3 x  2 y  3 z  0

[(4; –3; –2)]
3B
2 x  2 y  2 z  4

2 x  3 y  3z  l
3x  7 y  4 z  0

[(5; –1; –2)]
2. IL METODO DELLA MATRICE INVERSA
Riscrivi in forma matriciale i seguenti sistemi.
4A
 x  2 y  z  3
x  y  z  2

, 2 x  3 y  z  1 .

4 x  y  z  3 3x  3 y  3z  0

19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
4B
ESERCIZI
4 x  y  z  3
x  2 y  z  0

, x  y  z  2
.

6 x  y  z  2
4 x  2 y  2 z  l0

Risolvi i seguenti sistemi con il metodo della matrice inversa.
5A
2 x  z  5

 x  y  3z  6
2 y  2 z  l0

[( 1;2;3)]
5B
 x  3 y  z  2

 y  z  2
 2 x  y  3 z  2

[( 2;1;1)]
6A
 x cos   ysen  z cos   2cos  sen2

 xsen  y cos   zsen  2sen sen2 ,
 xsen2  y  zsen2  2sen2

6B
 xsen  y cos   zsen  2sen

 xsen2  y  zsen2  4cos  sen2 ,
 xsen2  y  zsen2  4cos  sen2


  k , k  Z.
2
 k

2
, k  Z.
sen2  1;0; sen2  1
1  2 cos ;0;1  2 cos 
3. LA REGOLA DI CRAMER
Risolvi i seguenti sistemi lineari con la regola di Cramer.
7A
5 x  y  z  1

3x  2 y  z  l
6 x  2 y  z   l

[(0; 2; 3)]
7B
 x  5 y  2 z  1

2 x  7 y  2 z  2
3x  4 y  3z  3

[(3; 0; 2)]
8A
 x1  x2  x3  1

3x1  x2  x3  2
4 x  8 x  3x  1
2
3
 1
Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi
CORSO BLU 2.0 © Zanichelli 2011
 1 3 
 4 ; 4 ;2 


2
19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
8B
 x1  x2  x3  1

3x1  x2  x3  2
4 x  3x  8 x  1
2
3
 1
9A
 x1  x2  x3  x4  0
 x  2 x  3x  x  0
 1
2
3
4

3
x

4
x

3
x

8
2
3
 1
 x1  x2  x3  x4  4
[(–1; 2; –1; 0)]
9B
 x1  x2  x3  x4  0
 x  2 x  3x  x  0
 1
2
3
4

3 x1  4 x3  3 x4  5
 x1  x2  x3  x4  2
[(–1; 0; 1; 2)]
 1
3 
 4 ;2; 4 


4. IL METODO DI RIDUZIONE
Risolvi i seguenti sistemi lineari di n equazioni in n incognite con il metodo di riduzione.
10 A
2 x  5 y  2 z  6

2 x  3 y  z  0
3x  4 y  3z  3

10 B
2 x  5 y  2 z  2

x  3y  2z  0
3x  4 y  3z  3

11 A
 x1  2 x2  4 x3  2 x4  9
2 x  2 x  x  2
 1
2
4

3 x1  x2  2 x3  x4  2
3 x1  x2  x3  5
[(3; 3; 1; 2)]
11 B
 x1  2 x2  4 x3  x4  1
2 x  x  x  0
 1 2 4

3 x1  x2  2 x3  x4  2
3 x1  x2  5 x3  4
[(2; –3; 1; 1)]
Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Trifone, Barozzi
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[(1; 0; –2)]
[(2; 0; 1)]
3
19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
12 A
 x1  x2  2 x3  x4  0
 x  x  x  x  3
 1 2 3 4

  x1  2 x2  2 x3  3 x4  2
 2 x1  2 x2  7 x3  6 x4  1
[impossibile]
12 B
2 x1  x2  3 x3  2 x4  0
 x  x  x  x  4
 1 2 3 4

 x1  x2  x3  x4  2
6 x1  x2  6 x3  6 x4  1
[impossibile]
Risolvi i seguenti sistemi lineari con il metodo di riduzione.
13 A
x  y  z  3

2 x  3 y  z  8
13 B
x  y  z  1

2 x  y  4 z  4
[1 soluzioni: (k  1; 2k  2; k )]
14A
x  2 y  z  5
2 x  3 y  3 z  8


4 x  7 y  5 z  18
3 x  5 y  4 z  13
[1 soluzioni: (3k  1; k  2; k )]
14 B
x  2 y  4z  5
2 x  y  z  4


4 x  5 y  7 z  14
 x  y  z  3
[1 soluzioni: (2k  1; 3k  2; k )]
[1 soluzioni: (2k  1; k  2; k )]
5. IL TEOREMA DI ROUCHÉ–CAPELLI
Dopo aver applicato il teorema di Rouché–Capelli, risolvi i seguenti sistemi lineari.
15 A
2 x  3 y  1

5 x  2 y  2
9 x  4 y  2

[impossibile]
15 B
2 x  3 y  1

5 x  4 y  3
 x  2 y  2

[impossibile]
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19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
16 A
2 x  y  z  0
3 x  2 y  2 z  1


x  y  5
4 x  4 y  3 z  6
[(1; 4; –2)]
16 B
x  y  z  0
4 x  y  2 z  6


x  z  2
4 x  2 y  4 z  8
[(–1; 4; 3)]
17 A
 x1  x2  2 x3  3x4  4

 x1  x2  x3  4 x4  2
 x  3x  2 x  x  8
2
3
4
 1
[1 soluzioni: (3k  1; 2k  1; k  2; k )]
17 B
 x1  x 2  x3  2 x 4  1

 x1  2 x 2  x3  x 4  2
 x  3x  x  2 x  7
2
3
4
 1
[1 soluzioni: (3k  2; k  1; 2k  2; k )]
Discuti al variare del parametro reale k il seguente sistema lineare.
18 A
 x  (k  1) y  kz  0

kx  2 y  kz  0
 y  2z  k


se k  4  k  1, sistema determinato:

 k2
k 2 k 2  2k 

;

;

;
k 4 k 4 
 k 4
se k  1, sistema determinato: 1 soluzioni: (3h  2;1  2h; h); se k  4, sistema impossibile 
18 B
(k  1) x  y  kz  0

x  2z  k
2 x  ky  kz  0


se k  4  k  1, sistema determinato:

 k2
k 2 k 2  2k 

;

;

;
k 4 k 4 
 k 4
se k  1, sistema determinato: 1 soluzioni: (1  2h;3h  2; h); se k  4, sistema impossibile 
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19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
19A
(k  1) x  y  kz  0

 y  kz  1
x  2 y  z  k


1
se k  1  k  , sistema determinato:
2

ESERCIZI

1
k 3  k 2 1
k 2  k 1 
;
;
 
 ;
 k  1  k  1 2k  1  k  11  2k  
se k 
19 B
1

 k  1, sistema impossibile 
2

kx  y  (k  1) z  1

 y  (k  1) z  0
x  2 y  z  k  3


3
se k  0  k  , sistema determinato:
2

 1 (k  1)(k 2  3k  1) k 2  3k  1 
;
 ; 
;
k  2k  3 
k  3  2k  
k
se k 
3

 k  0, sistema impossibile 
2

6. I SISTEMI LINEARI OMOGENEI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE
Risolvi i seguenti sistemi lineari omogenei.
20 A
x  4 y  z  0

5 x  2 y  3 z  0
4 x  6 y  z  0

[(0; 0; 0)]
20 B
4 x  y  z  0

2 x  5 y  3z  0
6 x  4 y  z  0

[(0; 0; 0)]
21 A
x  2 y  7z  0

x  y  z  0
3x  y  11z  0

1 soluzioni: (3k ; 2k ; k ) 
21 B
x  y  z  0

3 x  5 y  4 z  0
x  3y  2z  0

1 soluzioni: (k ; k ; 2k ) 
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6
19 I SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
ESERCIZI
22 A
 x1  x2  5 x3  3 x4  0
x  x  7x  x  0
 1 2
3
4

2 x1  x2  x4  0
4 xl  x2  2 x3  3 x4  0
1 soluzioni: (9k ;10k ; k ;8k ) 
22 B
 x1  x2  5 x3  3 x4  0
x  x  7x  x  0
 1 2
3
4

2 x1  x2  3 x4  0
4 xl  x2  2 x3  7 x4  0
1 soluzioni: (2k ; k ;0; k ) 
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