Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 9.11.10
5. Il dirigente di un ufficio pubblico vuole adottare un orario flessibile per i dipendenti, in modo da
consentire a ciascuno di entrare in ufficio con qualche minuto di ritardo rispetto all’orario stabilito.
Per stimare il ritardo medio dei dipendenti deve rilevare i ritardi di un campione di essi scelti a caso.
Volendo che la stima abbia uno scarto di 2 minuti, si stabilisca la numerosità campionaria necessaria a
garantire un livello di confidenza del 95%, assumendo una deviazione standard della distribuzione dei ritardi
pari a 9 minuti.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 18.03.09
3. Una fabbrica metalmeccanica costruisce cuscinetti a sfera. Dalla produzione sono rilevati due campioni
casuali indipendenti di numerosità n1=12 e n2= 18, con medie e varianze campionarie dei diametri,
rispettivamente, (in unità convenzionali), x1 8.75, s12 0.29 , e x2 8.63, s 22 0.34. Assumendo
12 22 , si costruisca l’intervallo di confidenza per la differenza delle medie dei due diametri.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 29.04.2004
3 Un programma televisivo è stato seguito dal 23% di un campione di 300 telespettatori selezionati a caso.
Fornire una stima intervallare al livello del 98% per la proporzione di telespettatori in quella fascia oraria.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 29.05.2008
5. Una azienda comunale di trasporti ha monitorato il tempo di percorrenza di una certa linea urbana,
rilevando lo scostamento del tempo registrato in 12 corse, rispetto al tempo prestabilito.
In base agli scostamenti riportati in tabella (in minuti), si costruisca l’intervallo di confidenza, al livello del
95%, per lo scostamento medio. (Si assuma la normalità dei tempi).
scostamenti in min.
-2
+4
0
+8
+6
-4
-7
+5
+9
-6
-3
+2
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 29.05.2007
5. Un negozio d’abbigliamento vende due marche di jeans: Cowboy (C) e Lupetto (L). Allo scopo di
analizzare le preferenze dei clienti, sono state registrate casualmente 125 richieste, da cui si è rilevato che
soltanto 30 hanno preferito la marca L.
Sulla base della rilevazione
a. si costruisca l’intervallo di confidenza al livello del 95% per la proporzione p dei clienti che
preferiscono la marca L;
b. si valuti a quale livello di confidenza corrisponde l'intervallo (0.20,0.28) per p.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 22.07.2008
2. Una fabbrica produce un certo articolo garantendo che la percentuale di difettosi nella produzione è
dell’1%. Dovendo confezionare scatole da n articoli ciascuna, si chiede di determinare n in modo che sia
inferiore del 95% la probabilità di trovare uno o più articoli difettosi in ciascuna scatola.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 15.11.2007
1. Un sondaggio sulla popolarità di un conduttore televisivo ha rilevato che il 51% delle persone intervistate
ha espresso il proprio gradimento.
Si costruisca l’intervallo di confidenza al livello del 95% per la proporzione della popolazione di utenti
favorevoli al conduttore, nel caso che siano state intervistate 100 persone e nel caso che gli intervistati siano
stati 1000.
Si stabilisca inoltre quale dovrebbe essere l’ampiezza del campione per ottenere un intervallo di confidenza,
sempre al livello del 95%, di lunghezza inferiore al 4%.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 14.12.2007
4. Nel controllo della produzione aziendale di una nota marca di orologi, al fine di determinane la precisione,
è stato sottoposto a verifica un campione di 8 orologi. Dopo 48 ore esatte è stato rilevato il tempo in secondi
di ritardo o anticipo rispetto a un orologio di riferimento. I risultati sono stati i seguenti:
+6 -4
-7 +5 +9 -6
-3 +2
Assumendo che il tempo registrato sia distribuito con legge normale
a. si determini l’intervallo di confidenza al livello del 95% del tempo medio registrato per questo tipo
di orologi dopo le 48 ore;
b. supponendo che la varianza campionaria sia quella della popolazione (quella “vera”), si calcoli di
quanto l’ampiezza dell’intervallo di modifichi percentualmente (sempre al livello del 95%).
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 26.07.2007
3. Per controllare il peso di una fornitura di ortaggi sono state pesate 10 cassette piene scelte a caso,
ottenendo i seguenti valori (espressi in kg):
4.8 4.8 4.5 5.2 5.0 5.6 5.3 4.7 5.0 5.3
Sapendo che peso medio delle 10 cassette vuote è risultato pari xc 0.18 kg con deviazione standard
corretta pari a 0.212 kg, si costruisca l’intervallo di confidenza del peso medio degli ortaggi contenuti in una
cassetta, al livello di confidenza del 95%.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 17.09.2008
1. In base al seguente campione estratto da una popolazione Normale
xi
0.25
1.14
0.97
0.12
2.00
0.89
1.02
0.94
0.75
1.77
0.95
a. si costruisca l’intervallo di confidenza per la media al livello del 90%;
b. assumendo la varianza campionaria come varianza dell’intera popolazione, si costruisca il nuovo
intervallo di confidenza e si valuti la variazione percentuale dell’ampiezza del nuovo intervallo
rispetto a quello determinato al punto a.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 23.04.2008
2-3. In un trattamento dei rifiuti in una certa azienda agricola, la quantità di componente solida diminuisce
all’aumentare dei flussi d’acqua che vengono irrorati. Da un esperimento effettuato apositamente sono stati
rilevati i dati riportati nella seguente tabella, dove i flussi d’acqua X e la quantità di rifiuti solidi Y sono
espressi in unità convenzionali:
xi
2
4
6
8
10
12
14
yi
24.3
19.7
17.8
14.0
12.3
7.2
5.5
a) Si costruisca la retta di regressione e si calcoli la varianza spiegata dal modello.
b) Si costruisca l’intervallo di confidenza (al livello del 90%) della media della variabile Y,
assumendone la normalità, e si dica quale percentuale dei valori ŷi stimati dalla retta di regressione
cadono in tale intervallo.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 12.03.2008
1. In vista delle prossime elezioni vengono intervistati 10000 elettori e si chiede ad essi se daranno un voto
favorevole o contrario al partito Alfa. Indicando con
1 voto favorevole
Xi
0 voto contrario
si determini la probabilità che la proporzione di voti favorevoli in tutta la popolazione dei votanti si discosti
dalla stima campionaria meno dell’1%.
3. Sia data una variabile aleatoria X distribuita con legge normale N ( , 2 ) . Si considerano due campioni
casuali distinti e indipendenti tra loro entrambi di numerosità n. Si determini il valore di n tale che la
probabilità che le due medie campionarie X 1 e X 2 differiscano tra loro più di 2σ sia pari al 5%.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 23.06.2005
3. Si vuole costruire l’intervallo di confidenza della differenza tra le medie di due popolazioni normali X e Y
con varianze uguali ma non note. A questo scopo, da ciascuna popolazione e’ stato estratto un campione di
numerosita’ 10: le medie campionarie dei due campioni hanno fornito, rispettivamente, i valori x 0.18 e
y 1.01 , mentre le due varianze campionarie sono risultate approssimativamente uguali e pari a 0.025. Con
tali informazioni si costruisca l’intervallo di confidenza al livello 1-a=99%.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 26.07.2005
5. Sono state rilevate le seguenti misure di una grandezza aleatoria X, distribuita normalmente:
2216
2225
2237
2301
2249
2281
2204
2263
2318
2250
2255
2238
2275
2300
2295
2217
a. Si costruisca l’intervallo di confidenza della media di X, al livello di confidenza del 95%;
Si costruisca il medesimo intervallo, assumendo che sia nota X 36 , e lo si confronti con il precedente.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 29.11.2005
5. Per evitare le conseguenze economiche che deriverebbero da disdette di ordini di ditte acquirenti, una
fabbrica di bottiglie di vetro controlla su campioni da 25 bottiglie ciascuno lo spessore del vetro. Uno di tali
campioni ha fornito uno spessore medio di 4.02 mm e una deviazione standard corretta pari a 0.09 mm.
Assumendo che gli spessori abbiano distribuzione normale, si verifichi se l’intervallo di confidenza della
media al livello del 90% rientra nei limiti prefissati di 4.00 e 4.10 mm.
Facoltà di Economia - Esame di Statistica – 6.02.2006
5. In un’indagine sulla soddisfazione dei clienti, la dirigenza di un albergo ha somministrato un questionario
che contiene, tra le altre, la domanda di controllo “Pensa di ritornare in questo hotel? sì no”. Estraendo un
campione casuale di 64 individui dalle molte centinaia di questionari raccolti, 8 contenevano una risposta
negativa. Si costruisca l’intervallo di confidenza per la proporzione di clienti scontenti, al livello di
confidenza del 99%.
*. Una moneta viene lanciata 50 volte, mostrando testa in 20 lanci e croce nei restanti 30.
Determinare l'intervallo di fiducia al livello del 99% per la probabilità di ottenere testa in un solo lancio.
**. In un problema di stima di una proporzione p si vuole determinare la numerosità campionaria necessaria
per avere un intervallo di confidenza di ampiezza almeno uguale a 0.1, con un livello di confidenza del 95%.
Da un esperimento precedente si è ricavata una stima di p pari a 0.16.
***. Un campione di ampiezza 10 estratto da una popolazione normale N(1 , 12 ) con 12 =225, ha media
x1 =107.2, mentre un altro campione, indipendente dal precedente, di ampiezza 12 da una N( 2 , 22 ) con
22 =256 ha fornito x2 =176.7.
Si costruisca l'intervallo di confidenza, al livello del 95%, per 1 2 .
