COMPITO DI MATEMATICA

Classe V A
Anno scolastico 2013/2014
14 ottobre 2013
San Callisto I papa
COMPITO DI MATEMATICA
I del I quadrimestre
Calcola i seguenti limiti:
1  x sin 3x  cos x
1) lim
x 0
x ln( 1  2 x)
 1  2x 
2) xlim


  2  2 x


2 x2
3… o(x)… lim
x 0
sin x  ln( 1  x)
1  cos x
Correzione esercizio 1: dividere numeratore e denominatore per x2; si riconoscono tre
limiti noti.
 1  2x 
Correzione esercizio 2: xlim


  2  2 x


2 x2
 1  2x  1  1 
 lim 

x  
 2  2x 
2 x2
1 

 lim 1 

x  
 2x  2 
2 x2
e
x2
 o( x 3 ))
sin x  ln( 1  x)
2
Correzione esercizio 3: lim
 lim
1
x 0
x 0
1  cos x
x2
3
1  (1 
 o( x ))
2
ex 1
4) Quante, e di che specie, sono le discontinuità della funzione f ( x)  2
?
x x
x  o( x 2 )  ( x 
Correzione esercizio 4: sono 2, in 0 e in 1.
In x=0 si ha una discontinuità di III specie, in x=1 si ha una discontinuità di II specie.
(Lo si verifica ovviamente calcolando i rispettivi limiti)
5) Per quali valori di a e b risulta continua la seguente funzione su tutto R?
 ae 2 x  a
 1 se x  0

x


 
f ( x)  a  sin  x 
se 0  x  2
2 

x2

b
se x  2
 ln( x  1)
Correzione esercizio 5:
È certamente continua in R  0;2 perché lo sono le funzioni definite nei tre intervalli.
lim f ( x)  2a  1
lim f ( x)  f (0)  a Ne segue che è continua in 0 se 2a 1  a
x 0 
x 0 
lim f ( x)  f (2)  a


y
lim f ( x)  lim f ( y  2)  lim 
 b  1  b
x 2
y 0
y 0 ln( 1  y )


… ed è continua in 2 se
a  1 b
x 2
Banale il sistema.
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14 ottobre 2013
San Callisto I papa
6) TORCIA OLIMPICA
6a) Quanti sono gli zeri reali del polinomio x 3  6 x  2 ? Giustifica la risposta e
determina per ciascuno di essi un intervallo unitario che li contiene.
6b) Abbozza il grafico probabile della seguente funzione: h( x) 
x 4  x 3  6x 2  4x  2
( x  1)( x  2)
cercando tutti i suoi asintoti.
6c) Quindi determina gli angoli che tali asintoti formano intersecandosi tra loro.
Correzione esercizio 6:
6a) Non riuscendo a trovare gli zeri del polinomio “con Ruffini”, li determiniamo con il
metodo grafico e li approssimiamo col teorema dello zero (cosa suggerita anche dal
prosieguo del quesito):
x 3  6 x  2  0 equivale a x 3  6 x  2 Confronteremo dunque tra loro le curve
y  x 3  y  6x  2
Un grafico minimamente preciso delle due curve ci dice che i tre zeri si trovano
rispettivamente nei seguenti tre intervalli unitari:
 3    2
6b)
h( x) 
1    0
2 3
x 4  x 3  6 x 2  4 x  2 ( x  1)( x 3  6 x  2)
6

 x2  4 
( x  1)( x  2)
( x  1)( x  2)
( x  1)( x  2)
D  R   1;2
Nel dominio h(x) è ovunque continua.
La curva-grafico della funzione taglia l’asse delle y in – 1; taglia l’asse delle x in 0 e negli
α, β, γ trovati al quesito precedente.
Banale il grafico di segno. + 0 – nE + 0 – 0 + nE – 0 +
Presenta due discontinuità di II specie in – 1 e in 2 (due asintoti verticali), mentre una
banale considerazione sui gradi ci dice che c’è una parabola asintotica;
la divisione tra N(x) e D(x) porge come quoziente x 2  4 ; la parabola asintotica ha
pertanto equazione y  x 2  4
Il grafico di h(x) è… una bella torcia olimpica.
6c) I punti di intersezione tra gli asintoti verticali e l’asintoto parabolico sono,
rispettivamente, ( – 1 ; – 3) e ( 2 ; 0 )
Ricordiamo che l’angolo retta-curva è l’angolo retta-tangenteallacurva;
nel primo punto l’m della tangente è – 2, nel secondo è 4 [ ricordiamo che è y '  2 x ];
nel primo caso l’angolo acuto tra i due asintoti è il complementare dell’arctg(2);
nel secondo caso l’angolo acuto tra i due asintoti è il complementare dell’arctg(4);
7) Applicando la definizione di derivata calcola la derivata della funzione
f ( x)  lg( 2 x  1)  x 3 nel punto di ascissa x0  2