Autore: Enrico Manfucci - 02/06/2017
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I LIMITI DI FUNZIONI - CALCOLO
Dopo aver studiato la teoria dei limiti, dobbiamo adesso vedere come si calcolano.
Storicamente il calcolo dei limiti viene “semplificato” da un processo che prende il nome di
aritmetizzazione dell’analisi, di cui Dedekind, Weierstress e Kronecker negli anni ’70 del
XIX secolo, sono i principali autori. Detto impropriamente, l’aritmetizzazione dell’analisi è
la creazione di un’aritmetica anche per gli oggetti .
Di seguito forniremo una tabella che descrive questa aritmetica.
Indichiamo con a un qualsiasi numero reale e con 0 e 0 due numeri “molto piccoli”,
rispettivamente più grande e più piccolo di 0 (esempio: 0 0,001 e 0 0,001); si ha
che:
a
a
a
a
a
0
a
0
per
le
proprietà
esposte
sotto,
basta
ricordarsi
la
regola
dei
segni
della
moltiplicazione/divisione
a se a 0
a
se a 0
0
a se a 0
a
se a 0
0
a se a 0
a
se a 0
0
a se a 0
a
se a 0
0
Osservazione: scriviamo a e non a perché non sono numeri e
quindi non posso stabilire con essi la relazione di uguaglianza; si utilizza dunque il simbolo
che significa “tende a”.
Oltre alle proprietà esposte sopra, ce ne sono altre legate agli esponenziali e ai logaritmi,
ma è sufficiente avere in mente i grafici di queste funzioni (riportati più avanti), per trovarle
da soli. Esempio: log( ) se 0 a 1
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Forme indeterminate.
Oltre alle relazioni viste nella tabella, ci sono operazioni di cui non sappiamo “a priori” il
risultato. Facciamo un esempio. Prendiamo una frazione
a
. Sappiamo che se il
b
numeratore cresce, la frazione complessivamente diventa grande, ma se il denominatore
cresce la frazione complessivamente diventa piccola, vicina allo 0. Quindi, ad una prima
analisi, non si sa se “predomina” il numeratore o il denominatore. In questo caso si parla di
forma indeterminata. Di seguito una lista delle forme indeterminate (quando davanti a
non c’è il segno significa che la scrittura è valida per tutti e due i segni):
, 0 ,
0
, , 1 , 0 0 , 0 , log 0 , log 0 0 , log1 1
0
Sarà oggetto dello studio del calcolo dei limiti, risolvere le forme indeterminate.
Il calcolo del limite senza forme indeterminate.
Per calcolare i limiti è necessario sapere tutta una serie di teoremi che vedremo solamente
come applicati ad esempi.
Partiamo da una premessa importante: per calcolare il limite di una funzione polinomiale
(funzione algebrica razionale intera) in un punto reale x 0 è sufficiente sostituire tale valore
nella funzione.
Esempio: lim(3x 2 x 4) lim(3 22 2 4) 14
x 2
x 2
Vediamo adesso alcuni esempi risolti di calcolo di limiti nei quali non scaturiscono forme
indeterminate.
Esempi:
1
1
1
lim
x 0 x 2
x 0 0 2
2
1. lim
2.
lim
1
1
lim
0
x x 2
x 2
poiché 2 si ha che
1
0
3.
1
1
lim
0
x x 2
x 2
poiché 2 si ha che
1
0
4.
5.
6.
lim
lim x 3 lim ()3
x
x
lim x 3 lim ()3
x
x
lim 3 x lim 3 ( )
x
x
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7.
lim 3 x lim 3 ( )
x
x
x2 3
12 3
2
8. lim
lim
x 1 x 2
x 1 1 2
3
9.
lim log2 x lim log2
x
x
poiché 2 e log( )
10. lim log 0,5 2 x lim log 0,5 2
poiché 2 e log 0,5 ( )
11. lim 21x lim 21( ) lim 21 0
poiché 1 e 2 0
x
x
x
x
x
12. lim
1
1
lim
x 3 x 3 3 3
poiché 3 3 0
13. lim
1
1
lim
x
3
x3
3 3
poiché 3 3 0
14. lim
3
3
lim
x 3 x 3 3 3
poiché 3 3 0 e il Numeratore è negativo
15. lim
1
1
lim
x
0
x
0
16. lim
1
1
lim
x x 0 0
x 3
x 3
x 3
x 0
x 0
17. lim logx 2 lim log 2 2
x 2
x 2
poiché 2 2 0
18. lim log0,3 x 2 lim log0,3 2 2
x 2
x 2
x
1
0
10
0
19. lim lim
x
x
x
Osservazioni:
In alcuni esempi visti sopra abbiamo usato impropriamente il simbolo di e
all’interno del limite. In realtà la convenzione grafica dice di segnare la parte che tende
a con una freccia che richiama il simbolo di “tende a”. Questo perché, come
abbiamo scritto sopra, dire: lim
x
1
1
lim
equivale a dire x e questo
x
x2
2
non è corretto, mentre è corretto dire x .
Di seguito riportiamo i grafici delle funzioni algebriche razionali intere, esponenziali e
logaritmiche, perché ci aiuteranno a calcolare i rispettivi limiti:
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FUNZIONI ALGEBRICHE
lim x n (con n pari)
lim x n (con n pari)
x
x
y x4
y x6
y x2
lim x n (con n dispari)
x
y x7
y x5
y x3
lim x n (con n dispari)
x
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FUNZIONI LOGARITMICHE
lim log a x
x 0
lim log a x
x
y log a x con a 1
y log a x con 0 a 1
lim log a x
x
lim log a x
x 0
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FUNZIONI ESPONENZIALI
lim a x
lim a x
x
x
y a x con 0 a 1
y a x con a 1
lim a x 0
lim a x 0
x
x
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Il calcolo del limite con forme indeterminate.
Vediamo adesso come si risolvono i limiti nei quali compaiono le forme indeterminate.
La forma indeterminata
1.
lim x 2 x lim ()2
x
x
Forma indeterminata del tipo
Dobbiamo allora usare gli strumenti algebrici per “risolvere” la forma indeterminata:
lim x 2 x lim x x 1 lim 1
x
x
x
In questo caso abbiamo usato un metodo di fattorizzazione dei polinomi, il raccoglimento
totale.
2.
lim x 2 x 2 lim ()2 2
x
x
Forma indeterminata del tipo
In questo caso mettiamo in evidenza il termine di grado massimo, x 2 :
1 2
lim x 2 x 2 lim x 2 1 2
x
x x
x
La forma indeterminata
3.
poiché
1
2
0 e 2 0 per x
x
x
x 2 3x 1
( )2 3 1
Forma indeterminata del tipo
lim
lim
x
2x 5 x 2 5
si mette in evidenza il termine di grado massimo sia al numeratore che al denominatore:
2 3 1
x 1 x 2
x 3 x 1
x
lim
xlim
x
5
2x 5
x 2 x
2
Poiché:
3
1
5
x2
0, 2 0 ,
0 . Inoltre
x . Dopo queste osservazioni il limite si
x
x
x
x
x
riduce a: lim e dunque si spiega il risultato.
x 2
4.
5x 3 3x
lim 3
x 7 x 4 x 2 2
Forma indeterminata del tipo
si mette in evidenza il termine di grado massimo sia al numeratore che al denominatore:
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3
x3 5 2
5x 3x
x
lim
xlim
x 7 x 3 4 x 2 2
4 2
3
x 7 x x3
3
5
7
3
4
2
x3
Poiché: 2 0 , 0 , 3 0 . Inoltre 3 1.
x
x
x
x
5.
3x 1
lim 3
2
2x 5 x 2
x
Forma indeterminata del tipo
si mette in evidenza il termine di grado massimo sia al numeratore che al denominatore:
1
x 3 x
lim
x
5 2
3
x 2 x x3
Poiché:
0
1
5
2
x
1
0 , 0 , 3 0 . Inoltre 3 2 0 .
x
x
x
x
x
La forma indeterminata
0
0
x 2 3x
32 3 3
0
6. lim
lim
Forma indeterminata del tipo 0
x 3
x
3
x 3
33
si fattorizza il numeratore e il denominatore (in questo esempio basta il numeratore):
x( x 3)
lim
limx 3
x 3
x 3 x 3
x 2 3x 10
7. lim
2
x 5
x 25
Forma indeterminata del tipo
0
0
x 2 3x 10
x 5 x 2
7
x 2 5 2 7
lim
lim
xlim
2
x 5
5
x
5
x 5 5 5 10 10
x 5 x 5
x 25
x
1
Il limite notevole lim 1 e
x
x
Quando abbiamo trattato gli esponenziali e i logaritmi, abbiamo visto un numero
particolare chiamato e (Numero di Nepero), ed avevamo detto che è un numero irrazionale
trascendente, dello stesso tipo di . Adesso, dopo aver introdotto il concetto di limite, ne
x
1
possiamo dare una definizione rigorosa, ovvero e lim 1 (il limite vale per )
x
x
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Creando una tabella nella quale facciamo crescere la x e calcoliamo i corrispondenti e,
otteniamo (a destra la funzione):
x
1
2
5
10
100
1000
1000000
1000000000
e
2
2,25
2,48832
2,59374246
2,704813829
2,716923932
2,718280469
2,718282031
dove si vede che i valori di e si stabilizzano intorno ad un valore: 2,71828.....
Osserviamo che il limite in esame darebbe luogo alla forma indeterminata 1 .
Sulla base di questo limite è possibile calcolarne altri. Vediamo alcuni esempi:
8. lim1 x x
1
se poniamo t
x 0
lim1 x
x 0
1
x
1
1
si ha che t poiché x 0 , e x , per cui:
x
t
t
1
lim1 il quale, a parte il nome della variabile, è esattamente il limite
t
t
notevole, quindi: lim1 x x e
1
x 0
x
9.
2
2
lim 1 lim 1
x
x
x
x
x
x
2
2
1
1
10. lim 1
lim 1
x
x
3x
3x
2
x
2
2
lim 1 e 2
x
x
2
3 x
1
3
1
lim 1
3 x
3 x
x
3x
1
3
1
e3 3 e
x
x 1
x 1
1
11. lim x ln
lim ln
lim ln1 lne 1
x
x
x x x
x
Ovviamente è possibile trovare limiti in cui è necessario utilizzare più tecniche viste sopra.
-8-
