- Matematica 1AT

PROBLEMI ED EQUAZIONI
Proviamo a rispondere alla semplice domanda:
qual è quel numero naturale che sommato al suo doppio ci dà 51?
Sicuramente qualcuno darà subito la risposta facendo mentalmente un semplice
calcolo. Possiamo però utilizzare il calcolo letterale e rappresentare questa domanda
con un’uguaglianza.
Se chiamiamo n il numero che vogliamo determinare, la domanda può essere così
espressa: n  2n  51 dove 2n è il doppio di n.
Ma, n  2n  3n e quindi 3n  51 e n  51: 3  17 .
L’uguaglianza n  2n  51 viene detta equazione;
il valore n = 17 è la soluzione dell’equazione;
la lettera n viene detta incognita;
se sostituiamo il numero 17 (soluzione) al posto della lettera n (incognita)
nell’equazione otteniamo: 17  2 17  51 che è un’uguaglianza vera;
se invece provassimo a sostituire n con un qualsiasi altro numero l’uguaglianza
risulterebbe falsa, ad es con n = 16 avremmo: 16  2 16  51 cioè 48  51.
Proviamo adesso a domandarci qual è quel numero a per cui a  1a  1  a 2  1 , non
siamo in grado di dare un’unica risposta perché l’uguaglianza è vera per
qualsiasi valore di a.
Se, ad esempio, poniamo a = 2 otteniamo: 2  12  1  2 2  1 cioè: 3 1  4  1 , 3  3
Oppure con a = 0 si ha: 0  10  1  0 2  1 infatti 1  1  1 e così via.
L’uguaglianza a  1a  1  a 2  1 viene detta identità;
Diamo le seguenti definizioni:
IDENTITA’ è un’uguaglianza tra due espressioni letterali che risulta vera per
qualsiasi valore attribuito alle lettere in essa contenute.
Un altro esempio di identità è: x  22  x 2  4 x  4
Chiamiamo PRIMO MEMBRO l’espressione che si trova a sinistra dell’uguale,
SECONDO MEMBRO, quella che si trova a destra.
Un’EQUAZIONE è un’uguaglianza tra due espressioni letterali per la quale ci
chiediamo se esistono valori che, sostituiti a una o più lettere, la rendono vera.
Ad esempio, se scriviamo 3a  4  10 ? , ci stiamo chiedendo se esiste e qual è quel
numero che messo al posto di a rende vera l’uguaglianza.
Chiamiamo SOLUZIONI o RADICI quei valori che, attribuiti alle lettere, rendono
uguali il primo e il secondo membro.
Risolvere un’equazione significa trovare l’insieme delle sue soluzioni.
Chiamiamo INCOGNITE le lettere per le quali cerchiamo soluzioni.
Esistono diversi tipi di equazioni:
 Intera, se le incognite non compaiono al denominatore;
 Fratta, se una o più incognite compaiono al denominatore;
 Numerica, se non contiene altre lettere oltre alle incognite;
 Letterale, se contiene altre lettere oltre alle incognite.
Ad esempio, se l’incognita è x,
3x  2 
1
è numerica e fratta
x3
x  2a 
5x  1
è letterale intera.
3
EQUAZIONI EQUIVALENTI
E PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
Ad esempio le equazioni:
3x  1  5
3 2 1  5
55
e
x4
3
2
24
3
2
ammettono entrambe la soluzione x  2
6
3
2
sono, perciò, equivalenti.
Non equivalente alle precedenti l’equazione x 2  4  0 perché ammette, oltre alla
soluzione x  2 , anche la soluzione x  2 .
Per risolvere le equazioni, le trasformiamo in equazioni equivalenti, ma più semplici.
Per fare ciò abbiamo bisogno dei PRINCIPI DI EQUIVALENZA.
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero
o una stessa espressione letterale, otteniamo un’equazione equivalente.
Nell’equazione di prima 3x  1  5
che ha per soluzione 2,
se aggiungo 1 a sinistra e a destra ottengo: 3x  1  1  5  1 cioè 3x  6
soluzione x  2 .
che ha per
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o
una stessa espressione letterale, diversi da zero, otteniamo un’equazione
equivalente.
Se moltiplico per 3 entrambi i membri dell’equazione 3x  6 ottengo x  2 che è
evidentemente equivalente alla precedente.
Dai principi di equivalenza conseguono le seguenti regole:

Regola del trasporto: data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se
trasportiamo un termine da una parte all’altra cambiandolo di segno.

Regola di cancellazione: data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se in
entrambi i membri cancelliamo termini uguali.

Regola del cambiamento di segno: data un’equazione, ne otteniamo una
equivalente se cambiamo segno a tutti i suoi termini.
Esempi di soluzioni di equazioni:
1) 5x  3  3x  7 Applicando la regola del trasporto, porto i termini che
contengono la x al 1° membro, quelli che non la contengono
( termini noti) al 2° membro.
5x  3x  7  3
Sommo tra loro i monomi simili.
2x  10
Applico il 2° principio di equivalenza: divido 1° e 2°membro per 2
(coefficiente della x).
2 x 10

ottengo x  5 che è la soluzione dell’equazione data.
2
2
2)
x2
x2
1 
Porto tutti i termini allo stesso denominatore ( il mcm tra tutti
3
2
quelli presenti nei 2 membri).
2 x  4  6 3x  6

Ora, per il 2° principio di equivalenza, posso moltiplicare 1° e 2°
6
6
membro per 6, in modo da eliminare i denominatori.
6
2 x  4  6 3x  6

 6 e ottengo 2x  2  3x  6 , ora applico la regola del trasporto
6
6
2x  3x  6  2 sommando ricavo  x  4 moltiplico 1° e 2° membro per -1: x  4
che è la soluzione.