Il metodo delle coordinate.
La geometria analitica e le sue origini.
Fino al 500 l’aritmetica e l’algebra da un lato e la geometria dall’altro, erano state considerate rami
praticamente distinti della matematica, appartenenti cioè a due mondi nettamente separati tra di loro. Del
primo facevano parte i numeri, le espressioni letterali, le equazioni e i sistemi; del secondo invece i punti, le
rette, i segmenti e in generale le figure geometriche piane o solide. Anche gli studiosi risentivano di questa
partizione, essendo rispettivamente denominati “algebristi” e “geometri”.
In realtà, sin dai tempi più antichi, vi erano stati tentativi, anche se sporadici e non sistematici, di correlare
la scienza dei numeri a quella degli enti geometrici. In proposito, vale la pena ricordare i notevolissimi studi
di Apollonio intorno alle proprietà delle coniche, più avanti nei secoli, i contributi di Oresme e Vietè.
Apollonio di Perga
Oresme
Vietè
Ma il metodo sistematico per integrare fra di loro i due grandi rami della matematica, l’algebra e la
geometria, fu inventato soltanto nel 600, per opera di due grandissimi pensatori francesi: Descartes, più
conosciuto con il nome latinizzato di Cartesio e Fermat.
Cartesio
Fermat
Occorre specificare che essi, vissuti praticamente nello stesso periodo ( la prima metà del 600), gettarono le
idee base della geometria analitica, indipendentemente l’uno dall’altro.
La scoperta di questa nuova teoria rappresentò una svolta veramente radicale nello studio della geometria,
mettendo tutti i potenti ed efficaci strumenti aritmetici e algebrici a disposizione e sostegno della ricerca in
campo geometrico.
Il metodo sintetico. Sino a quel momento, un problema geometrico era stato risolto esclusivamente con il
cosiddetto metodo sintetico, secondo il quale si impiegano soltanto gli strumenti tipici della geometria
tradizionale: la riga e il compasso e il procedimento deduttivo puro, svolto sulle figure esaminate e senza
nulla attingere al di fuori della geometria stessa. Questo metodo, tramandato dagli antichi geometri greci
non si avvale di un procedimento unitario di indagine. Per risolvere un dato problema geometrico con il
metodi sintetico è necessaria una specifica intuizione, un colpo di genio diverso da problema a problema,
abilità che solo pochissimi riescono a mettere a segno con una certa sistematicità. Ma vi è di più: mentre i
problemi geometrici non venivano mai risolti per via algebrica, i problemi algebrici invece erano
comunemente risolti per via geometrica, con il metodo sintetico appunto.
Ad esempio, si vuole trovare, con il metodo sintetico, la misura del lato x di un quadrato di area assegnata,
per fissare le idee, uguale a 3cm2.
A tal fine si imposta l’equazione risolvente x2=3, non si estrae semplicemente la radice quadrata di 3, come
si fa ai giorni nostri, in quanto la soluzione x cercata deve essere costruita geometricamente con riga e
compasso, ossia deve essere espressa mediante un ben determinato segmento. Solo a tale condizione si
può dire che tale segmento esiste.
Allo scopo si costruisce il triangolo rettangolo ABP, in modo che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa siano
lunghe
=1cm e
P
A
B
H
1cm
3cm
Tracciata l’altezza HP relativa all’ipotenusa, è semplice convincersi che tale segmento rappresenta proprio
la soluzione cercata.
Infatti, in base al II teorema di Euclide, si verifica facilmente che
soddisfa l’equazione data:
Ma ora, dopo questa esemplificazione sulla risoluzione dei problemi con il metodo geometrico antico,
parliamo di Cartesio e della sua opera.
Cartesio e il metodo di unificazione. Come molti altri filosofi e pensatori del suo tempo egli era alla ricerca
di un metodo generale di unificazione del pensiero scientifico che consentisse di indagare più
profondamente le diverse discipline, facilitando in tal modo le scoperte. In particolare rivolgeva le sue
ricerche al campo della matematica, ritenuta la regina delle scienze come mezzo più razionale ed efficace di
indagine e comprensione delle leggi dell’universo.
Animato da questa intenzione, Cartesio scopriva così il metodo di unificazione dell’algebra e della
geometria e lo esponeva nel suo famosissimo saggio Géométrie, pubblicato nel 1637. Tale metodo sarà poi
sviluppato dai suoi successori e prenderà il nome di Geometria analitica.
Risoluzione di un problema geometrico con il metodo analitico. Volendo risolvere un determinato
problema geometrico con il metodo analitico, si devono attuare le tre seguenti fasi di svolgimento:
1) Si traduce il problema geometrico in problema algebrico, associando a ogni ente della geometria il
corrispondente ente dell’algebra:
Punto
numero o coppia ordinata (x,y) di numeri
Retta
equazione di primo grado y=mx+q
Parabola
equazione di secondo grado y=ax2+bx+c
Circonferenza
equazione di secondo grado x2+y2+ax+by+c=0
Iperbole equilatera
equazione di secondo grado
Intersezione di curve
sistema delle loro equazioni
2)Si risolve il problema algebrico, determinando le sue soluzioni
3)Si interpretano, infine, da un punto di vista geometrico le soluzioni algebriche trovate.
Sistemi di coordinate, ascisse sulla retta.
Fin dal secolo XVII il concetto di continuo numerico ha costituito la base della matematica.
L’introduzione del continuo permette di associare ad ogni segmento un bel determinato numero reale
come sua lunghezza.
E’ noto che i punti di una retta possono essere ordinati secondo due versi, detti versi di percorrenza,
uno opposto all’altro.
Una retta si dice orientata quando su di essa è fissato un verso di percorrenza che viene indicato con
una freccia.
verso positivo
-2
-∞
-1
o
1
2
+∞
Def. Chiamiamo segmento orientato
l’insieme costituito da A da B e dai punti ordinati nel verso
da A a B.
I segmenti
si dicono opposti e differiscono per il verso.
A
è negativo.
B
C
Riferimento cartesiano ortogonale.
Prendiamo due rette orientate e tra loro perpendicolari. La prima retta orientata orizzontale la chiamiamo
asse delle x o delle ascisse; la seconda retta orientata la prendiamo verticale e la chiamiamo asse delle y o
delle ordinate. Scegliamo quindi una unità di misura su entrambi gli assi.
Se l’unità di misura è la stessa su entrambi gli assi si parlerà di sistema monometrico, se invece l’unità di
misura è diversa su i due assi parleremo di sistema dimetrico.
Ciascun punto del piano può, in questo modo essere individuato da una coppia di numeri una x e una y che
si chiameranno coordinate del punto. Scriveremo P(x,y).
Per esempio il punto A(1,3) e il punto B(-4,-3) saranno così rappresentati.
I due assi individuano quattro porzioni di piano chiamate quadranti. Il primo quadrante è quello che
contiene i punti con ascissa e ordinata entrambe positive; gli altri quadranti seguono con movimento
antiorario.
I punti dell’asse x hanno ordinata nulla, i punti dell’asse y hanno ascissa nulla. L’origine ha
coordinate (0,0)
y
Punti con ascissa nulla
0
X
Punto di coordinate (0,0)
Punti con ordinata nulla
Esercizi:
1)Individua nel piano i punti aventi le seguenti coordinate: P(3,5) P(-1,4) P(1,-3) P(-2,-5)
,π)
2) Individua in quali quadranti si trovano i seguenti punti P(-3,1) P(-1,-4) P(1,2) P(5,-2)
Lunghezza e punto medio di un segmento.
Ci proponiamo di calcolare la distanza tra due punti del piano. Distinguiamo tre casi
1)
I due punti hanno la stessa
ascissa
X1
2
X2
7
Supponiamo che x1=2 e x2=7 Per misurare la distanza fra i due punti basta osservare che essi sono
separati da cinque unità di misura. Quindi in generale la formula per calcolare la distanza fra due punti sarà
Ove il valore assoluto sta ad indicare che le distanze devono essere necessariamente positive.
1) I due punti hanno la stessa ordinata. In modo analogo al precedente la distanza sarà uguale alla
differenza delle ordinate
Y2
y1
2) I due punti occupano una qualsiasi posizione nel piano.
Per calcolare la distanza fra i punti A e B consideriamo il triangolo ABH, rettangolo in H.
Applichiamo quindi a detto triangolo il teorema di Pitagora:
Osserviamo che
e
da cui
sostituendo dunque nella (1) otteniamo:
Esercizi:
1)
Calcola la distanza fra le seguenti coppie di punti A(2,5) B(2,10).
Osservo che i due punti individuano un segmento parallelo all’asse y quindi
2)
Calcola la distanza fra i punti A(-5,2) B(7,2). Osservo che i due punti individuano un segmento
parallelo all’asse delle x quindi
3)
la
Calcola la distanza fra il punto A(-2,-1) e B (5,-4) Il segmento è obliquo pertanto per calcolare
distanza
fra
essi
userò
la
formula
4)
Calcola la distanza fra il punto A(-1,2) e O(0,0).
Generalizzando se uno dei due punti è l’origine la formula della distanza diventa
5)
Calcola la distanza fra il punto A(3,1) B(3,5). Pur individuando i due punti un segmento
parallelo all’asse y è comunque applicabile la formula della distanza che diviene
.
Punto medio di un segmento.
Vogliamo calcolare le coordinate del punto medio del segmento individuato dai punti
,
e
Tracciamo le parallele all’asse delle y passanti per i punti A,M,B. Queste rette risultano tagliate dalle
trasversali che sono l’asse x e la retta passante per A e B. per il teorema di Talete i segmenti AM e A’M’
sono in proporzione così come MB e M’B’ pertanto essendo M punto medio di AB e quindi AM=MB ne
consegue che A’M’=M’B’ →
→
→
→
Analogamente si dimostra che
In definitiva le coordinate del punto medio sono la semisomma delle ascisse e delle ordinate.
Segmenti che sono in una data proporzione.
Siano dati i punti
fra AP e AB sia K.
vogliamo trovare le coordinate del punto P in modo che il rapporto
B
P
A
XA
XP
XB
→
→
e
Problema.
Su di un’asta di legno lunga 12m vengono individuati due punti. Il punto A che dista un metro dall’inizio
dell’asta e il punto B che si trova a 3m. Bisogna individuare un punto ove inserire un cardine in modo tale
che
Il cardine deve essere sistemato a 4m dall’inizio dell’asta.
Baricentro di un triangolo
Il baricentro di un triangolo ABC si calcola con la seguente formula:
Problema(richiede conoscenze trasversali)
Un architetto deve progettare una lampada a forma di triangolo rettangolo in vetro di murano. Per
sostenere la struttura in quale punto dovrà essere applicata l’asta? Conosciamo la misura di
.
C
B
A
Problema.
Carla Paola e Gaia devono incontrarsi. Carla passerà a prendere Gaia che abita sulla stessa strada a 300m di
distanza. Insieme raggiungeranno Paola che abita a nord di casa di Gaia a 750m. Descrivi la situazione
graficamente e calcola il percorso compiuto da Carla. Qual è il percorso più breve da casa di Gaia a quella
di Paola?Quanta strada farebbe Gaia se dovesse passare a prendere prima Paola e poi Carla
La Retta.
Dei ragazzi per dipingere delle tele hanno bisogno di tre barattoli di pittura per dipingere un solo
quadratino della tela. Quindi il numero di barattoli per dipingere un quadro con più quadratini sarà
proporzionale secondo il numero tre. Per esprimere tale dipendenza matematicamente indicando con y il
numero di barattoli e con x il numero di quadratini potremo scrivere y=3x.
Se poi aggiungiamo che per ogni quadrato, a prescindere dalla grandezza ci vogliono due barattoli di pittura
dorata per la cornice scriveremo y=3x+2.
La relazione che lega le dimensioni del quadro ai barattoli di pittura si chiama dipendenza lineare e
graficando tale relazione otterremo una retta.
Una retta è quindi sempre rappresentata da una equazione di primo grado della forma ax+by+c=0.
Tale espressione prenderà il nome di equazione della retta in forma implicita. Implicita perché non è chiaro
il rapporto esistente fra le due variabili x e y.
Per rendere chiaro questo rapporto isoliamo la variabile y.
Poniamo
l’equazione diventa
Tale espressione è l’equazione della retta in forma esplicita in quanto si è resa evidente la relazione
esistente fra le due variabili. X si chiama variabile indipendente e y sarà la variabile dipendente dai valori
che assume la x.
Per esempio y=3x+2 se x=1 sostituisco nell’equazione della retta: y=3*1+2; y=3+2; y=5
Se x=2 implica che y=8 cioè il valore di y dipende da x.
Analizziamo ora il caso in cui nell’equazione della retta mancano alcuni termini.
1) Y=mx+q q=0 quindi y=mx
Per capire l’andamento della retta attribuiamo ad m un valore numerico casuale per esempio m=2
la retta quindi ha equazione y=2x. Costruiamo una tabella ove attribuiamo valori alla x per trovare i
corrispondenti della y
x
y
0
0
1
2
Rappresentiamo queste coppie di punti sul piano cartesiano e unendoli otteniamo il grafico della
nostra retta.
Osserviamo che la retta passa per l’origine degli assi. Proviamo ora a cambiare il valore di m per
esempio m=3 la retta quindi ha equazione y=3x
x
y
0
0
2
6
Unendo questi punti sul piano cartesiano otterremo il seguente grafico.
Ci accorgiamo che cambia l’inclinazione della retta sull’asse delle x. Possiamo quindi attribuire ad m un
preciso significato geometrico cioè m rappresenta la pendenza della retta; m si chiama coefficiente
angolare.
Se m sarà negativa la retta sarà inclinata nel III e IV quadrante.
m=-3
Consideriamo la retta di equazione y=3x+2 e tre punti appartenenti ad essa A(1,5) B(2,8) C(3,11).
Calcoliamo il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse
Facciamo lo stesso per gli altri punti
Osserviamo che in ambedue i casi il rapporto è uguale a tre cioè al coefficiente angolare. Possiamo
concludere che
Se volessimo rappresentare graficamente un moto rettilineo uniforme la cui legge oraria è s=vt potremmo
rappresentare sull’asse delle x il tempo e sull’asse delle y lo spazio otterremo il grafico del moto. La velocità
rappresenta la pendenza della retta. Maggiore sarà la velocità più alta sarà la retta.
2) Y=mx+q m=o quindi y=q
Questa equazione indica che la y assume sempre lo stesso valore pari a q. Quindi il grafico sarà
quello di una retta parallela all’asse delle x.
Per esempio per q=2 l’equazione diventa y=2
In particolare y=0 rappresenta l’equazione dell’asse x
3) Y=mx+q y=0 quindi mx+q=0 ;
e posto
risulta x=k
Analogamente al caso precedente l’equazione di tale retta è parallela all’asse y. In particolare x=0
rappresenta l’equazione dell’asse delle y.
4) Y=mx+q
Attribuiamo ad m e q dei valori casuali y=3x+2
x
y
1
5
2
8
Vediamo che la retta non passa più per l’origine degli assi, ma intercetta l’asse delle y nel punto di ordinata
due. Per questo motivo q assume un preciso significato geometrico, cioè rappresenta il punto in cui la retta
taglia l’asse delle y e si chiamerà intercetta all’origine o quota.
Bisettrici: La bisettrice del I e III quadrante gode della proprietà che tutti i suoi punti devono
essere equidistanti dall’asse x e dall’asse y. Pertanto la sua equazione sarà y=x
Mentre la bisettrice del II e IV quadrante avrà equazione Y=-X perché le ordinate sono uguali alle ascisse,
ma di segno opposto
Appartenenza di un punto ad una retta. Un punto appartiene ad una retta se e solo se le sue
coordinate soddisfano (cioè rendono vera) l’equazione della retta.
Data la retta di equazione y=3x+2 verificare se i punti di coordinate A(2, 3) e B(1,5) appartengono alla retta.
Per verificare l’appartenenza del punto A sostituiamo al posto di y il valore 3 e al posto di x il valore 2
quindi risulta
3=3*3+2;
3=9+2 ;
3=11. Questa uguaglianza non è vera quindi il punto non vi appartiene.
Per verificare l’appartenenza del punto B(1,5) Sostituiamo le sue coordinate quindi risulta
5=3*1+2 ;
5=3+2 ;
5=5 che è una uguaglianza vera quindi il punto vi appartiene.
Fascio di rette passanti per un punto.(Fascio proprio) Data l’equazione generica di una retta y=mx+q
(1) se un punto vi deve appartenere le sue coordinate devono soddisfare l’equazione quindi
Questa è l’equazione del fascio di rette passanti per un punto.
Fascio improprio. Un fascio di rette si dice improprio se è formato da tutte le rette fra loro parallele.
Retta passante per due punti. Se i due punti hanno coordinate rispettivamente
,
e
Scriviamo il fascio di rette passanti per A
) (2) scriviamo ora il fascio di rette passanti
per B:
. Mettiamo a sistema le due equazioni:
Sottraendo membro a membro otteniamo
Ricavando m
Sostituendo nella (2) otteniamo
che in maniera equivalente può essere scritta
Questa formula consente di calcolare l’equazione di una retta passante per due punti.
Formula per calcolare la distanza fra un punto di coordinate
e la retta di equazione ax+by+c=0
Esempio: Calcolare la distanza del punto P(2,3) e la retta di equazione 4x+3y-5=0
Laboratorio di informatica.
Vogliamo costruire un programma con il foglio elettronico Excel che ci consenta di visualizzare le posizioni
di una retta facendo variare, attraverso una barra a scorrimento, il valore del coefficiente angolare e
dell’intercetta.
La
Retta
X
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y
2,3
1,8
1,3
0,8
0,3
-0,2
-0,7
-1,2
-1,7
-2,2
-2,7
-3,2
-3,7
-4,2
-4,7
-5,2
-5,7
-6,2
-6,7
-7,2
-7,7
m
q
-0,5
-2,7
Per poter realizzare tale lavoro nelle colonna A mettiamo i valori di x mentre nella colonna B inseriamo
l’equazione della retta
A
B
=f5*a5+f6
X
Y
-10
-2,9
-9
-3,4
-8
-3,9
-7
-4,4
E
F
-6
-4,9
-5
-5,4
-4
-5,9
m
-0,5
-3
-6,4
q
-7,9
-2
-6,9
-1
-7,4
0
-7,9
1
-8,4
2
-8,9
95
73
Per creare le barre a scorrimento apriamo la barra degli strumenti e scegliamo la banda a scorrimento
trascinandola sul foglio. Mettiamoci in modalità progettazione e clicchiamo ora con il tasto destro del
mouse scegliendo proprietà. Apparirà una schermata in cui dobbiamo andare a modificare il valore min a
cui attribuiamo il valore 0 e il valore massimo a cui attribuiamo il valore 200. Inoltre creiamo il
collegamento inserendo nella casella linkcell la casella che va implementata cioè J6. Usciamo ora dalla
modalità progettazione e facciamo scorrere la barra di scorrimento. Potremo in questo modo vedere come
varia la posizione della retta al variare dei valori m e q.
Esercizi:
su una strada rettilinea si trovano due case A e B, che distano tra loro 10 km. Alice parte da B in motorino e
si muove con velocità costante di 30km/h verso destra. Mezz’ora dopo, Clara esce dalla casa A i automobile
e si muove nella stessa direzione di Alice alla velocità costante di 80 km/h. dove si incontrano Alice e Clara?
Dopo quanto tempo?
Condizione di parallelismo e perpendicolarità. Abbiamo già sottolineato il significato geometrico del
coefficiente angolare che rappresenta la pendenza della retta. Tenuto conto di ciò osserviamo che affinché
due rette siano parallele devono essere inclinate allo stesso modo cioè devono avere lo stesso coefficiente
angolare.
m=m’
si
Si dimostra che affinché due rette siano perpendicolari i loro coefficienti angolari devono essere l’uno
l’antireciproco dell’altro. In questo modo la retta di equazione y=3x+2 sarà perpendicolare alla retta di
equazione
Matematica per il cittadino.
Discesa pericolosa.
Il valore indicato dal segnale stradale indica la misura della pendenza della carreggiata rispetto ad un piano
orizzontale. Tale pendenza è calcolato come rapporto percentuale tra il dislivello e l’avanzamento
orizzontale corrispondente. In questo caso il 18% indica che la strada si abbassa di 18 metri mentre si
avanza orizzontalmente di 100m.
18 m
100 m
Dal punto di vista geometrico la pendenza è il rapporto tra i cateti del triangolo rettangolo che ha come
ipotenusa la strada.
Si può interpretare la discesa di una carreggiata dal punto di vista della geometria analitica facendo
coincidere il pino orizzontale con l’asse delle x e quindi la pendenza può essere rappresentata
dall’equazione di una retta.
La pendenza della retta è il coefficiente angolare e trattandosi di una discesa lo consideriamo negativo,
quindi
Viceversa se si fosse trattato di una salita l’equazione della retta sarebbe stata
. Dal punto di
vista pratico gli uffici competenti effettuano le misurazioni del dislivello (cateto verticale) con un altimetro.
La misura dell’avanzamento (cateto orizzontale) è compiuta indirettamente su cara topografica.
Quesito. Una salita del 100% rappresenta una parete verticale?
La torre di Pisa. E’ possibile compiere una misura approssimata dell’inclinazione della torre di Pisa sapendo
che la sua settima cornice sporge di circa 3,8m rispetto alla prima e che il dislivello di tali cornici, misurato
con un altimetro è di 41,5 m.
La pendenza rispetto al piano orizzontale quindi è
Questo valore non è molto significativo. Nel caso di una torre è preferibile calcolare la pendenza rispetto
alla verticale
La corsa.
Durante un allenamento di atletica, Gianna corre per 4 minuti esatti partendo da ferma; il suo
allenatore annota i seguenti dati.
1° minuto: aumento uniforme della velocità fino a4 m/s; distanza percorsa 120m
2° minuto: velocità costante
3° minuto: diminuzione uniforme della velocità fino a 3 m/s; distanza percorsa nel minuto:
210m
4° minuto: aumento uniforme della velocità fino a 8m/s; distanza percorsa nel minuto:
330m.
1. Quale distanza totale ha percorso Gianna?
2. Qual è stata la velocità media di Gianna durante la corsa?
3. Costruisci il grafico velocità tempo
4. Utilizzando il grafico disegnato valuta per quanto tempo la velocità di Gianna è stata
superiore a 3,5 m/s. Esprimi tale risultato in percentuale rispetto al tempo totale della
corsa con una approssimazione alla prima cifra decimale.
5. In un’altra prova Gianna, partendo da ferma, aumenta in modo uniforme la sua velocità e
arriva a 6 m/s in quattro minuti. Carmen parte un minuto dopo e raggiunge la velocità di
7 m/s in 3 minuti. Rappresenta nel grafico la velocità delle due ragazze e stabilisci, in modo
approssimativo, dopo quanto tempo dalla sua partenza la velocità di Gianna viene superata da
quella di Carmen.
