COPERTINA
Titolo: Problemi di minimo nel piano
Tematica affrontata: Simmetrie nel piano, Geometria
Ordine di scuola: secondo ciclo - I biennio
Obiettivi dell'attività:
Analizzare e risolvere problemi del piano e dello spazio utilizzando le proprietà
delle figure geometriche oppure le proprietà di opportune isometrie.
Realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando strumenti diversi (riga e
compasso, software di geometria, …).
Utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per rappresentare formalmente
gli oggetti della geometria elementare.
Tempo medio per svolgere l'attività in classe: 5 ore
INTRODUZIONE
L’attività può essere svolta nel primo biennio alla fine del primo anno oppure agli inizi
del secondo e richiede che gli studenti conoscano le simmetrie assiali e le proprietà di
un triangolo, in particolare la disuguaglianza triangolare. Rappresenta un esempio di
come possono essere utilizzate le conoscenze di geometria per rispondere a richieste
che nascono in un contesto reale. Prevede che gli studenti si avvalgano non solo di
alcuni dei consueti strumenti per disegnare quali la carta e la riga, ma anche di un
software di geometria dinamica per esplorare le figure in modo da individuarne
proprietà utili a dare una risposta alle problematiche poste. Nella fase conclusiva di
questa attività gli studenti sono invitati e guidati alla dimostrazione delle congetture
che loro stessi hanno individuato.
DESCRIZIONE DELL’ATTIVITA’
1a fase
L’insegnante distribuisce due fogli: sul primo sono disegnati una retta e due punti A e
B, situati nello stesso semipiano rispetto alla retta data, come mostrato nella Figura 1,
B
A
Figura 1
sul secondo è scritto ciò che devono fare:
Disegnare sulla retta alcuni punti D, E, F, G, misurare con un righello la lunghezza
delle spezzate ADB, AEB, AFB e AGB, ordinare le misure ottenute in modo crescente.
Gli studenti disegnano quanto richiesto ed eseguono le misure con il righello. Dopo
aver raccolto e ordinato i dati ottenuti, osservano che la lunghezza delle spezzate
dipende dalla posizione del punto sulla retta e che possono scegliere tra i punti
disegnati quello che rende minima la lunghezza della spezzata.
B
A
E
D
F
G
Figura 2
L’insegnante chiede a ognuno di comunicare il valore più piccolo trovato, che viene
scritto insieme agli altri sulla lavagna. In tal modo può quindi essere individuato il
minimo tra tutti quelli comunicati.
2ª fase
Si propone agli studenti, divisi in gruppi, uno stesso disegno, analogo a quello della
Figura 1 con un punto Q sulla retta, fatto con un software di geometria dinamica, ad
esempio Cabri Géomètre, e si assegna loro il seguente compito:
Rappresentare i percorsi da A a B che toccano la retta nel punto Q e tabulare i valori
trovati in funzione della posizione del punto Q sulla retta. Descrivere quello che si
osserva.
Per svolgere tale compito viene utilizzato lo strumento “Tabella” del software. Gli
studenti, quindi, osservano come varia la somma delle lunghezze dei segmenti AQ e
QB e si rendono conto che tale somma sembra avere un minimo. Cercano poi di
individuare la posizione di Q, sulla retta r, in corrispondenza della quale si ha il valore
minimo.
AQ + QB =
6.59
7.13
7.61
8.74
9.32
8.39
7.30
6.67
6.40
6.28
6.34
6.43
6.59
6.80
7.09
7.38
7.72
8.13
B
A
Q
Figura 3 (Figura da sostituire con l’applet del file allegato applet_figura3)
A questo punto l’insegnante chiede agli studenti di rappresentare graficamente
l’andamento della lunghezza dei percorsi invitandoli a:
Costruire, con l’ausilio dello strumento “Traccia” e poi “Luogo” del software di
geometria CABRI, il grafico della variazione della lunghezza dei percorsi AQB in
funzione della posizione del punto Q sulla retta. Descrivere quello che si osserva.
Gli studenti costruiscono il luogo di punti, imparano ad interpretare le informazioni
date dal grafico, congetturano che esiste sulla retta almeno un punto Q
corrispondente al percorso di minima lunghezza.
Figura 4 (Figura da sostituire con l’applet del file allegato applet_figura4)
3ª fase
Si realizza un’esperienza concreta con gli specchi per osservare la riflessione delle
immagini sugli specchi piani e intuire la caratterizzazione geometrica del percorso di
lunghezza minima.
E’ posto su un tavolo uno specchio piano mediante un supporto che lo tiene in una
posizione perpendicolare al piano del tavolo e viene consegnato agli studenti un foglio
di carta sul quale sono disegnati due punti.
Si assegna agli studenti il seguente compito:
Analizzare l’immagine che riproduce la riflessione del foglio di carta con i due punti
quando è posto sul tavolo in corrispondenza dello specchio e quindi
perpendicolarmente ad esso. Tracciare e misurare i segmenti che uniscono i punti.
Descrivere quello che si osserva.
Gli studenti, come si può vedere nella figura 4a, osservano sulla riproduzione della
foto quattro punti, i due disegnati sul foglio e quelli ottenuti come loro immagini nella
riflessione.
Tracciano i segmenti che uniscono rispettivamente il punto A con il punto A’
(immagine del punto A), e con il punto B’ (immagine del punto B), e i segmenti che
uniscono rispettivamente il punto B con il punto B’, e con il punto A’ (Figura 4b).
La discussione che ne segue porta gli studenti ad osservare che:
- i segmenti AB’ e A’B si intersecano in un punto P;
-
i segmenti AA’ e BB’ sembrano essere perpendicolari al bordo del foglio appoggiato
allo specchio;
- il punto P sembra appartenere all’asse di riflessione.
Inoltre, dopo aver misurato i segmenti, il punto P sembra essere equidistante da A e
dalla sua immagine e così anche da B e dalla sua immagine.
Figura 5a
Figura 5b
Si termina con la formulazione della congettura che segue:
l’immagine ottenuta con lo specchio si può costruire mediante la simmetria assiale che
ha per asse la retta che passa per P ed è perpendicolare ai segmenti AA’ e BB’.
4ª fase
Si invitano gli studenti a rappresentare con il software di geometria la configurazione
dei punti A e B e dei loro punti riflessi A’ e B’ ed a verificare quanto osservato nella
fase precedente medianti gli strumenti del software.
5ª fase
Gli studenti riconoscono che APB è uno dei possibili percorsi che collega il punto A con
il punto B. Individuano, con l’aiuto dell’insegnante, le proprietà che caratterizzano il
punto della retta che rende minimo il percorso che collega il punto A al punto B
(passando per un punto della retta).
B
A'
A
B'
P
P
B
Q
A'
A
B'
Figura 6a
Figura 6b (Figura da sostituire con
l’applet del file allegato applet_figura6b)
Si forniscono ora le seguenti indicazioni:
Prendere sull’asse di riflessione un punto Q diverso dal punto P e collegarlo con il
punto A, con il punto B e con il punto B’ (Figura 6b). Misurare i percorsi APB, AQB,
AQB’. Descrivere quello che si osserva.
Questa fase di esplorazione e scoperta permette agli studenti, servendosi della
possibilità offerta dal software, di modificare la configurazione trascinando il punto Q.
In questo modo individuano la proprietà che caratterizza la posizione del punto che
rende minimo il percorso.
Congettura:
Il punto di minimo percorso corrisponde al punto P intersezione del segmento AB’ con
l’asse di riflessione.
Si invitano quindi gli studenti a Dimostrare o confutare la congettura precedente.
Per le proprietà della simmetria assiale la lunghezza del percorso AQB’ è uguale alla
lunghezza del percorso AQB e quella di APB’ è uguale a quella di APB. Osservando il
triangolo AB’Q si deduce che, per la proprietà triangolare, il percorso APB’ ovvero APB,
confrontato con ogni altro percorso passante per un qualunque punto Q della retta e
diverso da P, è quello di lunghezza minima.
6ª fase
A questo punto l’insegnante chiede agli studenti di confrontare le ampiezze degli
angoli che l’asse di riflessione forma rispettivamente con il segmento AQ e con il
segmento BQ. Gli studenti devono dunque misurare, con l’aiuto del software di
geometria, l’angolo AQX e l’angolo BQY e descrivere quello che osservano allorquando
trascinano il punto Q sull’asse di riflessione. (Figura 7).
Figura 7
Gli studenti osservano che se Q coincide con P gli angoli sono uguali e formulano la
seguente congettura:
Gli angoli APX e BPY hanno la stessa ampiezza.
Sono chiamati a dimostrare che APX e BPY sono angoli uguali.
Gli studenti osservano nuovamente la costruzione fatta in precedenza: l’ampiezza
dell’angolo APX è uguale all’ampiezza dell’angolo XPA’, in quanto corrispondenti nella
simmetria assiale. L’ampiezza dell’angolo XPA’ è uguale all’ampiezza dell’angolo BPY
perché angoli opposti al vertice. Ne segue che l’ampiezza dell’angolo APX è uguale
all’ampiezza dell’angolo BPY.
7ª fase
Si chiede agli studenti di descrivere il fenomeno della riflessione in termini matematici.
INDICAZIONI METODOLOGICHE
Vengono proposte agli studenti attività di rappresentazione e di esplorazione di
situazioni geometriche, conducendo progressivamente lo studente dall’intuizione e
dalla scoperta di proprietà geometriche alla loro descrizione razionale, partendo da
situazioni significative collegate alla realtà e procedendo allo sviluppo di limitate
catene di deduzioni.
L’attività nella prima fase precedente permette agli studenti di riflettere sul significato
di valore minimo, sulla possibilità di individuarlo tra gli elementi di un insieme finito e
comprendere che il valore determinato può non essere quello cercato, poiché i casi
analizzati non esauriscono tutti quelli possibili.
Il percorso parte dalle osservazioni di un fenomeno fisico quale la formazione delle
immagini in uno specchio piano, prosegue verso una modellizzazione geometrica
rispetto alla quale vengono formulate congetture e si arriva a produrre argomentazioni
che le dimostrano.
Nella fase di esplorazione sono usati non solo strumenti classici come la riga e il
goniometro ma anche un software di geometria che risulta indispensabile per poter
studiare dinamicamente le figure che interpretano la situazione reale.
Altro importante aspetto metodologico è l’atteggiamento tenuto dal docente sia nelle
fasi di osservazione e di ricerca sia nel momento delle discussioni finalizzate al
confronto delle riflessioni dei singoli o dei gruppi e a far emergere la risposta alle
problematiche poste. In tali occasioni il docente interviene per facilitare il compito
degli studenti ma anche per guidare l’azione verso una sistematizzazione di quanto via
via emerge dalle riflessioni degli studenti.
APPROFONDIMENTO DISCIPLINARE (PER IL DOCENTE)
L’attività offre al docente l’opportunità di ampliare le competenze riguardo alle
simmetrie e alle isometrie in generale. La composizione di simmetrie, per esempio,
potrebbe essere applicata per spiegare il comportamento di un raggio di luce sottile
rispetto a due specchi posti a contatto ad angolo retto (il raggio di luce inverte il suo
percorso e torna indietro lungo la stessa direzione).
Il docente può dunque condurre lo studente a scoprire come le rotazioni e le
traslazioni possono essere generate dalla composizione di due simmetrie assiali e poi
proseguire fino a mostrare, utilizzando opportunamente triangoli di cartoncino bristol
e il software di geometria dinamica CABRI, come una qualunque isometria del piano
può essere ottenuta dalla composizione di tre simmetrie assiali.
Un esempio di attività relativa alla composizione di simmetrie assiali può essere quella
presentata in Matematica 2003 con il titolo *Il biliardo*
(http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2003/ottava/7_PROBLE.PDF). In essa si
chiede di determinare la direzione di lancio di una biglia in modo che dopo aver
battuto successivamente contro le quattro sponde consecutive di un biliardo ripassi
per il punto di partenza.
Si vedano anche i problemi proposti nell’articolo scritto da A. Morelli (1999) nel testo
*Geometria e multimedialità*(http://www.liceo-vallisneri.lu.it/testi.htm) citato nella
Bibliografia.
Un altro possibile sviluppo che il docente può decidere di seguire è quello di
rispondere alle problematiche poste in questa attività riferendo il piano ad un
opportuno sistema di assi cartesiani ribadendo anche qui l’importante ruolo esercitato
dalla simmetria assiale rispetto, per esempio, all’asse x nella strategia risolutiva.
A questo punto si presenta l’occasione per introdurre le equazioni delle più semplici
simmetrie assiali (rispetto agli assi cartesiani o a rette ad essi paralleli o alle bisettrici
dei quadranti).
Anche in questo caso per la fase di esplorazione e di scoperta delle proprietà è
indispensabile l’uso di un software di geometria dinamica, come ad esempio Cabri,
quale CABRI sfruttando l’ambiente di geometria analitica.
In seguito si possono anche scoprire le conseguenze sulle pendenze e sull’intercetta
delle rette dell’applicazione della simmetria rispetto all’asse x o rispetto all’asse y.
ELEMENTI PER PROVE DI VERIFICA
1. Date due località A e B da parti opposte rispetto alla riva di un fiume
dall’andamento rettilineo, individuare dove collocare un ponte sul fiume in modo da
rendere minima la lunghezza del percorso che collega la località A alla località B (Si
suppone che le sponde siano parallele e che il ponte sia costruito
perpendicolarmente alle sponde).
2. Date due rette l, m e due punti P e S situati come nella Figura 8, determinare il
percorso di minima lunghezza che va da P a S toccando prima la retta l e poi la
retta m.
l
Q
O
P
S
R
m
Figura 8
3. Determinare, fra tutti i triangoli PQR aventi l’area assegnata e un lato assegnato c
= PQ, quello per cui è minima la somma degli altri lati a = PR e b = RQ.
4. Dati il triangolo acutangolo ABC, determinare i tre punti R, S e T, appartenenti
ordinatamente ai suoi tre lati, in modo che il perimetro del triangolo RST sia
minimo.
SPUNTI PER ALTRE ATTIVITÀ CON GLI STUDENTI
Strettamente collegata a questa attività sulla simmetria assiale è possibile anche
proporre un’attività riguardante *Il Biliardo*
(http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2003/ottava/7_PROBLE.PDF) in
Matematica 2003.
DOCUMENTAZIONE E MATERIALI
(Filmati, file specifici per l'attività prodotti con software vari, immagini, materiale di
lavoro autonomo per gli studenti)
*Michele Emmer* (http://www.mat.uniroma1.it/people/emmer/) ha realizzato alcuni
film che hanno per oggetto le simmetrie e il loro riconoscimento in vari ambiti o la loro
costruzione:
M. Escher: simmetria e spazio (1982)
Simmetria e tassellazione
(1979)
BIBLIOGRAFIA
AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola primaria e scuola secondaria di I
grado): http://www.liceo-vallisneri.lu.it/D_Load/mat2001.zip
AAVV, Matematica 2003. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola secondaria di secondo grado):
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
AA.VV. (2004), PISA 2003 - Valutazione dei quindicenni (a cura dell’OCSE), Roma,
Armando.
Bellingeri P., Dedò M., Di Sieno S., Turrini C, a cura di (2001), Il ritmo delle forme.
Itinerario matematico (e non) nel mondo della simmetria, Mimesis, Milano.
Courant R., Robbins H. (2002), Che cos’è la matematica?, Bollati Boringhieri, Torino.
Foà D. (2004), Alcune applicazioni del problema di Erone, in Archimede, n.3, 2004.
Kazarinoff N. (1983), Disuguaglianze geometriche, Zanichelli, Bologna.
MPI-UMI (1999), Geometria e multimedialità, Seminario di formazione per docenti
Quaderno n. 35, Liceo Scientifico Vallisneri, Lucca.
Nuzzi F. (1998), Problemi di massimo e di minimo. Metodi della geometria tra passato
e presente, in L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 21B,
N.4, 1998.
Palladino D. (1998), Massimi e minimi per via elementare, in Nuova Secondaria, n.5,
1998.
Piochi B. (1997), Metodi elementari per la soluzione di problemi di minimo, in Analisi
matematica, Seminario di formazione per docenti, Quaderno n. 24 MPI-UMI, Liceo
Scientifico Vallisneri, Lucca* (http://www.liceo-vallisneri.lu.it/D_Load/24analis.pdf).
SITOGRAFIA
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Didattica/didattica.html
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
http://www.invalsi.it/ric-int/Pisa2006/sito/
http://www.liceo-vallisneri.lu.it/testi.htm
PROPOSTA DI ATTIVITÀ PER IL CORSISTA
(da condividere e discutere in rete)
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento;
esporli sinteticamente per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e
conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:
fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
esplicitare gli adattamenti necessari;
formulare il progetto didattico relativo;
preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative
alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e
INVALSI).
Scrivere un diario di bordo, ovvero narrare e documentare il processo di
sperimentazione vissuta in classe: l’insegnante dovrà elaborare un diario con
l’esposizione dell’esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla
proposta didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di
costruzione di significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate
le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono
stati responsabilizzati all'apprendimento.
