Ripresa complessiva dei numeri e dell`aritmetica della Scuola Primaria

CORSO ABILITANTE SPECIALE CLASSE 59 A
Incontro del 20-01-07 coordinato da Donata Toma
Dalle Indicazioni Nazionali per il biennio:
“Ripresa complessiva dei numeri e dell’aritmetica della Scuola
Primaria”
Introduzione dell’uso delle parentesi.
 Ricopia inserendo in modo opportuno le parentesi per ottenere i
rispettivi risultati:
5 + 2 · 3 – 1 = 20
5 + 2 · 3 – 1 = 10
5+2 ·3–1=9
5 + 2 · 3 – 1 = 14
 Scrivi in simboli matematici le seguenti frasi e calcola il valore
delle espressioni ottenute:
a) Calcola la somma tra il prodotto di 7 con 4 e il quoziente tra 30 e 3
b) Calcola il prodotto tra la somma di 3 con 7 e la differenza tra 20 e
17
c) Calcola la differenza tra il doppio della somma di 5 e 2 e il triplo di
4
d) Togli al doppio di 8 metà della somma tra 7 e 5; aggiungi poi il
quadruplo della differenza tra il triplo di 7 e la metà di 8
(Lo scopo di questo tipo di esercizi è far acquisire padronanza sull’uso dei
termini specifici e sull’uso delle parentesi)
 Completa utilizzando i simboli di uguale o diverso. Giustifica la
risposta facendo riferimento alle convenzioni relative all’ordine di
risoluzione delle operazioni in una espressione e alle proprietà
delle operazioni:
3+7·5 … (3+7)·5
20+6:2 … (20+6):2
(precedenza delle operazioni e uso delle parentesi)
3·5 + 7·5 … (3+7)·5
3·(5+7) … 3·5+3·7
(proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione)
12:(4+2) …12:4+12:2
20:2+6:2 … (20+6):2
(non vale la proprietà distributiva della divisione rispetto alla addizione nel
primo caso; l’uguaglianza è invece corretta nel secondo caso)
(3+2)+5 … 3+(2+5)
(8–4)–2 … 8–(4–2)
(Vale la proprietà associativa della addizione ma non della sottrazione)
(36 : 6) :3 … 36:(6:3)
(3·4)·2 … 3·(4·2)
(Vale la proprietà associativa della moltiplicazione ma non della divisione)
 Utilizzo delle lettere per esprimere le proprietà delle operazioni e
per risolvere semplici equazioni del tipo:
10 – c = 6
a+2=5
3 · b = 15
a + a = 12
a + b = 12
a:6=7
n+1=1
7·a=0
25 : n = 25
1·a=a
x·0=0
2 · a + a = 12
(nella terza, quarta e quinta uguaglianza si può far notare che a lettere uguali devono
necessariamente corrispondere numeri uguali ma a lettere diverse possono
corrispondere numeri uguali o diversi; la quinta equazione ammette un numero finito
di soluzioni in N ciascuna individuata da una coppia di numeri naturali ma infinite
soluzioni in Z; le ultime due uguaglianze richiamano l’esistenza dell’elemento neutro
della moltiplicazione e la legge di annullamento del prodotto)
o disequazioni del tipo:
- Per quali valori di a vale la seguente disuguaglianza? (a è un
numero naturale)
3 · a + 2 < 21
Rispondi dopo aver completato la tabella:
a
3·a
3·a+2
< 21
Utilizzare le lettere anche negli esercizi su precedente e successivo:
 Indica con a un numero naturale; come scrivi il suo precedente? E
il suo successivo?
 Completa:
……., a – 5 , a – 4 , ……..,……., a – 1 , a , a + 1,……..
………, 2 · n – 3 , ……., 2 · n – 1,………, ………,
2 · n + 2 , ……………
(a e n sono numeri naturali ma nelle due successioni precedenti possono
assumere qualunque valore solo se si considerano le sequenze in Z; in N lo
0 è il numero più piccolo quindi ci sono delle limitazioni sui valori che si
possono attribuire ad a e n)
 Scrittura generale di un numero pari e di un numero dispari
Numero pari 2n (con n numero naturale)
E’ consigliabile utilizzare con gli alunni la corrispondente rappresentazione grafica:
ogni quadratino rappresenta una unità, la disposizione è su due righe ciascuna con lo
stesso numero di elementi
Numero dispari 2n + 1 (con n numero naturale)
In questo caso la prima riga ha una unità in più, complessivamente sono rappresentati
un numero dispari di quadratini.
 Calcola la somma dei primi n numeri naturali (Gauss)
Disporre i numeri seguendo lo schema:
1
n
2
(n – 1)
3
(n – 2)
….
….
…. …. (n – 1)
…. ….
2
n
1
oppure con una rappresentazione grafica:
*
*
*
*
*
x
*
*
*
*
x
x
*
*
*
x
x
x
*
*
x
x
x
x
*
x
x
x
x
x
La somma di ogni colonna è (n + 1) e si hanno in tutto n colonne
quindi la somma dei primi n numeri naturali è n · (n + 1) : 2
(nella tabella è rappresentata la somma 1+2+3+4+5= 5(5+1):2=15
 Calcola la somma dei primi n numeri dispari
Analogamente per la somma dei primi n numeri dispari:
1
(2n – 1)
3
(2n – 3)
5
…. …. ….(2n – 3)
3
(2n – 1)
1
La somma di ogni colonna è 2n e si hanno in tutto n colonne
quindi la somma dei primi n numeri dispari è
(2n · n) : 2 = n2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Anche in questo caso la rappresentazione grafica può aiutare a dare concretezza alla
formula; il disegno rappresenta la somma 1+3+5+7 = 42 = 16
 Utilizzare la scrittura generale di un numero pari e di un numero
dispari e la configurazione grafica per risolvere esercizi del tipo
a) La somma di due numeri pari è un numero pari
2 · m + 2 · n = 2 · (m + n)
(proprietà distributiva)
2·m
2·n
b) La somma di due dispari è pari
(2 · m +1)+(2 · n +1) = 2 ·m+2 ·n +2 = 2 · (m + n +1)
commutativa, associativa e distributiva)
2·m
+1
2·n
+1
(proprietà
c) La somma di un pari e di un dispari è dispari
(2 · m) + (2 · n + 1) = 2 · (m + n) + 1
(proprietà distributiva)
2·m
2·n+1
d) La somma di due numeri primi entrambi maggiori di 2 è divisibile
per 2
è la somma di due numeri dispari
e) La somma di due numeri dispari consecutivi è divisibile per 4
(2 · n + 1) + (2 · n + 3) = 4 · n + 4 = 4 · (n + 1)
2·n+1
2·n+3
f) La somma di due numeri pari consecutivi non può essere divisibile
per 4
(2 · n) + (2 · n + 2) = 4 · n + 2
2·n
2·n+2
 Risolvi aiutandoti con un grafo:
- Andrea pensa un numero, lo raddoppia, al risultato ottenuto aggiunge 5,
raddoppia ancora quanto ottenuto ed infine sottrae 10. Se ottiene 16, che
numero ha pensato?
- Generalizza la situazione precedente chiamando x il numero pensato e y
il numero ottenuto. Utilizza le proprietà delle operazioni per trovare il
tipo di relazione che lega le due variabili.
- ( x · 2 + 5) · 2 – 10 = 16 ((16 + 10) : 2 – 5 ) : 2 = x
- ( x · 2 + 5) · 2 – 10 = y x · (2 · 2) + (5 · 2) – 10= y
x · 4 + 10 – 10 = y
x·4=y
Il numero ottenuto è quattro volte il numero pensato.
(Si traduce l’espressione verbale in un grafo e in una equazione con
diverse convenzioni di scrittura e si utilizzano le proprietà delle
operazioni)
Tabelle delle operazioni e tabelle del pari e dispari
L’operazione di elevamento a potenza
- Definizione e proprietà
- Proposte di esercizi:
 Rispondi:
a) Il quadrato di un numero pari è pari o dispari?
b) Il quadrato di un numero dispari è pari o dispari?
c) E il cubo di un numero pari?
d) E il cubo di un numero dispari?
e) Per quali numeri naturali non è vero che il loro cubo è maggiore del
loro quadrato? (in N per n=0 e per n=1; nell’insieme dei razionali far osservare
cosa succede per valori compresi tra 0 e 1)
 Considera le seguenti uguaglianze e indica se e in quali casi sono vere:
a5 = 1
90 = 1
(per a=1)
b0 = 1
b1 = 1
(per b=1)
1x = 1
10x = 0
(per x diverso da 0)
(mai)
(per ogni numero naturale)
18x = 18
(per b diverso da 0) (per ogni numero naturale)
0x = 0
b1 = b
010 = 0
(per x=1)
a0 = 1
70 = 0
(per a diverso da 0)
(errato)
 Confronta:
23 …… 32
42 …… 24
25 …… 52
(è semplice con questi esempi verificare che non vale la proprietà commutativa)
 Calcola:
2 elevato alla 3 elevato alla 2
Come si deve intendere questa scrittura?
2(parentesi)elevato alla 3 elevato alla 2(chiusa la parentesi) oppure
(parentesi) 2 elevato alla 3 (chiusa la parentesi) elevato alla 2?
(utilizzando le parentesi si verifica che non vale la proprietà associativa)
Non vale la proprietà associativa.
 Scrivi il numero più grande possibile con 3 cifre tutte uguali a 9.
999
999
9 · 99
9 elevato alla 9 elevato alla 9
 Calcola 220 : 4 senza utilizzare la calcolatrice
 Una ninfea raddoppia la superficie delle sue foglie ogni giorno. In 50
giorni ha coperto la superficie di mezzo lago. Quanti giorni sono
necessari per coprire tutta la superficie del lago?

Un’astronave deve raggiungere un pianeta distante 220 Km. A ¼ di
distanza perde il contatto radio. Dopo quanti Km ha perso il contatto
radio? Lo riprende a 219 Km di distanza dalla terra. Quanti Km
mancano per raggiungere la meta? Che frazione è dell’intero percorso?