SintesiGoniometria

TRIGONOMETRIA
MISURA DEGLI ANGOLI
Fino ad ora abbiamo misurato gli angoli col sistema sessagesimale (in inglese
degree). Secondo tale sistema l’angolo giro è di 360°, quello piatto è di 180°, quello
retto è di 90°. I sottomultipli del grado sono i primi e i secondi e occorrono 60
secondi per fare un primo e 60 primi per fare un grado.
Questo sistema è poco coerente con il sistema decimale e richiede calcoli più o meno
complessi per compiere operazioni matematiche.
Per questo motivo gli anglosassoni usano il sistema centesimale (in inglese grad). In
tale sistema l’angolo giro è di 400°, il piatto di 200° e il retto di 100°.
La grande semplificazione di tale sistema sta nel fatto che il primo sottomultiplo del
grado è il decimo di grado, il secondo è il centesimo di grado, il terzo il millesimo di
grado e così via.
Per questo motivo in tale sistema si applicano le comuni operazioni dell’aritmetica
decimale.
In matematica e soprattutto in fisica e in informatica il sistema più usato è quello
“radiante” che fa corrispondere all’angolo giro 2, al piatto , al retto /2. Possiamo
sintetizzare quanto detto nella seguente tabella:
ANGOLO
GRADI
GRADI
SESSAGESIMALI CENTESIMALI
RADIANTI
GIRO
360°
400°
2
PIATTO
180°
200°

RETTO
90°
100°
/2
Vediamo ora come è possibile passare dalla misurazione degli angoli in gradi
sessagesimali alla misurazione in radianti. Per fare ciò ricorriamo ad una
proporzione. Si voglia, ad esempio, trasformare in radianti l’angolo di 30°. Se
chiamiamo x la misura in radianti dell’angolo di 30°, possiamo affermare che 180°
corrisponde a  come 30° corrisponde a x.
In notazione matematica questa affermazione diviene:
180°:=30°:x,
da cui ricaviamo che :
x = 30 = .
180 6
Riportiamo nella seguente tabella gli angoli più importanti:
GRADI
SESSAGESIMALI
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
180°
270°
360°
RADIANTI
0
/12
/6
/4
/3
5/12
/2

3/2
2
L’utilità del sistema radiante si sostanzia nella corrispondenza diretta esistente tra
angoli espressi in radianti al centro di una circonferenza ed archi corrispondenti sulla
circonferenza stessa.
Si consideri una circonferenza di raggio r:
Il perimetro della circonferenza è pari a P=2r.
In sostanza, per calcolare il perimetro della circonferenza abbiamo moltiplicato
l’angolo giro 2 per il raggio r.
Si noti che la circonferenza può essere considerata l’arco corrispondente all’angolo
2.
Usiamo questa proprietà per calcolare la misura di qualsiasi arco.
Ad esempio si voglia calcolare la misura dell’arco AB di una circonferenza di raggio
r corrispondente ad un angolo al centro di 30°.
Poiché l’angolo di 30° corrisponde a /6 radianti, l’arco AB si ottiene moltiplicando
l’angolo espresso in radianti e il raggio:
AB =/6 *r.
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
Consideriamo un sistema di assi cartesiani e una circonferenza con il centro
coincidente con l’origine degli assi e il raggio unitario (r =1). Tale circonferenza
viene detta circonferenza goniometrica (fig.1).
Sulla circonferenza goniometrica consideriamo un punto P, tale che il raggio OP
formi con l’asse delle x l’angolo orientato  ( è positivo se forma una rotazione
antioraria rispetto a x).
FIG.1
Il punto P ha coordinate: P(OH; PH)
Si definisce seno dell’angolo  l’ordinata del punto P:
sen =PH.
Si definisce coseno dell’angolo  l’ascissa del punto P:
cos =OH
Prolunghiamo il raggio OP e chiamiamo P2 l’intersezione di tale prolungamento con
la retta tangente alla circonferenza del punto P1 di incontro tra la circonferenza e
l’asse delle x (fig.2)
Si definisce tangente dell’angolo  l’ordinata del punto P2:
P2P1=tan 
P2P1=tg 
FIG.2
Consideriamo ora la tangente alla circonferenza goniometrica portata per il punto A 1
di intersezione tra la circonferenza e l’asse delle ordinate. Indichiamo inoltre con A 2
l’intersezione tra tale tangente e il prolungamento del raggio OP (FIG.3).
FIG.3
Si definisce cotangente dell’angolo  l’ascissa del punto A2:
A1A2=cotan
A1A2=cotg
VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE SENO
FIG.5
Nel primo quadrante il seno dell’angolo è sempre positivo, coincidente con l’ordinata
PH del punto P. In particolare quando  è zero, è zero anche PH, quindi nullo risulta
essere il seno di zero.
All’aumentare dell’angolo  aumenta anche PH e quindi il seno dell’angolo. Al
limite del primo quadrante  diviene /2, PH coincide con il raggio, il seno di /2 è
quindi uno, poiché il raggio è pari ad uno.
Sintetizzando possiamo affermare che nel primo quadrante l’angolo va da zero a /2,
il seno dell’angolo è positivo e cresce dal valore zero (sen 0 = 0) al valore 1 (sen /2
=1 ).
Nel secondo quadrante l’angolo passa dal valore /2 a . Il seno è anche in esso
positivo, in quanto le ordinate PH sono positive. In particolare a /2 il seno vale 1,
coincidendo PH con il raggio unitario. Aumentando l’angolo  da /2 a  l’ordinata
PH diminuisce, per cui diminuisce anche il seno dell’angolo. Alla fine del secondo
quadrante l’angolo diviene , PH si annulla e diviene 0 anche il seno di .
In sintesi nel secondo quadrante il seno è positivo e decresce, passando dal valore 1
(sen /2 = 1) al valore 0 (sen  = 0).
Nel terzo quadrante l’angolo passa da  a 3/2, il seno è negativo, in quanto
l’ordinata PH è negativa. In particolare a  PH è nulla, il seno è nullo. Man mano che
cresce l’angolo il segmento PH aumenta, ma, poiché l’ordinata è negativa, il seno
decresce. A 3/2 (limite del quadrante) PH diviene -1.
In sintesi nel terzo quadrante il seno è negativo e decresce passando da 0 (sen  = 0) a
-1 (sen 3/2 = -1).
Nel quarto quadrante il seno è negativo, in quanto PH è negativo. Il seno cresce
perché PH passa dal valore -1 a 3/2 al valore 0 a 2.
Sintetizzando in esso il seno è negativo e passa dal valore -1 (sen 3/2=-1) al valore 0
(sen 2=0).
Sen 

I QUADRANTE
Da 0 a 1
0  /2
II QUADRANTE
Da 1 a 0
/2  
III QUADRANTE
Da 0 a -1
  3/2
IV QUADRANTE
Da -1 a 0
3/2  2
Rappresentiamo ora la funzione seno in un diagramma (la sinusoide FIG.6), che
presenta sull’asse delle ascisse gli angoli, su quello delle ordinate i seni degli angoli.
Come abbiamo visto in precedenza, il seno assume valore minimo -1 e massimo 1
(varia tra -1 e 1), per cui possiamo disegnare sul diagramma una fascia tra -1 e 1 oltre
la quale non può esistere la funzione seno.
FIG.6
In sequenza le coordinate dei punti O,A,B,C,D, sono
O(0;sen0)(0;0)
A(/2;sen)(/2;1)
B(;sen)(;0)
C(3/2;sen3/2)(3/2;-1)
D(2;sen2)(2;0)
Unendo con una curva appropriata i punti indicati in figura si ottiene la “sinusoide”.
In realtà essa va continuata nella stessa maniera ad intervalli di 2 (si dice che la
funzione seno è di periodo 2), infatti ogni 2 in seno presenta gli stessi risultati.
Due angoli sono congruenti quando si differenziano dalla quantità di 2 o multipla di
2. Ad esempio /2 e 5/2 (/2+2) sono congruenti perché si differenziano di 2 ed
hanno lo stesso valore del seno.
VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE COSENO
FIG.7
Sappiamo che il coseno di un angolo è l’ascissa di un punto P che si trova sulla
circonferenza goniometrica (nel caso in figura il segmento OH).
Nel primo quadrante il segmento OH è positivo, in particolare quando  è 0, OH
coincide con il raggio unitario e il coseno è 1 (cos0=1).
Man mano che cresce , diminuisce il segmento OH e quindi il coseno di . Quando
è /2, OH diviene 0, nullo risulta quindi essere il coseno di /2 (cos/2=0).
In sintesi il coseno del primo quadrante è positivo e decrescente, passando dal valore
1 a 0, al valore 0 a /2.
Nel secondo quadrante il segmento OH diviene negativo, per cui il coseno è negativo
e passa dal valore 0 per  pari a /2 (cos/2=0) al valore -1 per = (cos=-1).
Il coseno quindi decresce passando da 0 a -1.
Sintetizzando il coseno del secondo quadrante è negativo e decrescente passando dal
valore 0 a /2 al valore -1 a .
Nel terzo quadrante il coseno è negativo, crescente dal valore -1 per = al valore 0
per =3/2.
Nel quarto quadrante il segmento OH torna ad essere positivo, per cui positivo è il
coseno. Esso inoltre è crescente, poiché passa dal valore 0 per =3/2 (cos3/2=0) al
valore 1 per =2 (cos2=1).
Sintetizzando nel quarto quadrante il coseno è positivo e crescente passando dal
valore 0 a 3/2 al valore 1 a 2.
La seguente tabella contiene tutto ciò che abbiamo detto:
I QUADRANTE
II QUADRANTE
III QUADRANTE
IV QUADRANTE

0  /2
/2  
  3/2
3/2  2
cos
Da 1 a 0
Da 0 a -1
Da -1 a 0
Da 0 a 1
Rappresentiamo ora funzione coseno in un diagramma (cosinusoide), che presenta
sull’asse delle ascisse gli angoli e su quello delle ordinate il coseno degli angoli.
Come per la funzione seno anche il coseno varia tra -1 e 1 (-1 valore minimo, 1
valore massimo) per cui anche in questo caso tracciamo una fascia tra -1 ed 1 oltre la
quale il coseno non può esistere.
FIG.8
In sequenza le coordinate dei punti A,B,C,D,E sono:
A(0;cos0)(0;1)
B(/2;cos/2)(/2;0)
C(;cos)(;-1)
D(3/2;cos3/2)(3/2;0)
E(2;cos2)(2;1)
Unendo con una curva appropriata I punti individuati in figura si ottiene la
“cosinusoide”.
Anche la cosinusoide come la sinusoide va continuata identica a se stessa ad intervalli
di 2. Per questo motivo possiamo affermare che anche il coseno ha periodo 2,
presentando ogni 2 gli stessi valori.
È interessante confrontare la sinusoide con la cosinusoide.
Come si può osservare le due curve sono identiche e sfasate di /2.
VARIABILITA’ DELLA FUNZIONE TANGENTE
Come si può osservare nella figura 9 A nel primo quadrante la tangente dell’angolo è
positiva. In particolare quando  è nullo il segmento PH, che rappresenta la tangente
diviene 0 (P coincidente con H). Man mano che  cresce (3>2>1> 
P3H>P2H>P1H>PH) cresce la tangente.
Man mano che  si avvicina a /2 la tangente tende a diventare grandissima. Quando
 diviene 90° il punto P tende all’infinito, in quanto il segmento OP tende a diventare
parallelo alla tangente.
Possiamo dire che a /2 la tangente dell’angolo è più infinito (+).
In sintesi possiamo dire che nel primo quadrante la tangente è positiva, crescente dal
valore 0 (tan0=0) a + (tan/2=+).
FIG. 9 A
FIG. 9 B
Per comprendere meglio la variabilità della funzione tangente nel secondo quadrante
partiamo da  e torniamo a ritroso verso /2 (figura 9 B) . A  il punto coincide con
H, quindi la tangente è nulla. Man mano che l’angolo decresce, passando da  ad 1 ,
la tangente in valore assoluto cresce (P1H>PH), ma in realtà decresce poiché è
negativa.
Man mano che si avvicina l’angolo a /2 (da sinistra) l’ordinata del punto P
corrispondente sulla tangente diventa un numero negativo sempre più grande. In
particolare la tangente a /2 è meno infinito (-), in quanto il segmento OP tende a
diventare parallelo alla tangente.
Sintetizzando nel secondo quadrante la tangente è crescente, negativa e passa dal
valore - (tan/2=-) al valore 0 (tan=0).
FIG. 10 A
FIG. 10 B
Come si può osservare dalla figura 10 A l’angolo  del terzo quadrante ha la stessa
tangente PH dell’angolo del primo quadrante. In particolare possiamo scrivere che
=+
tan= tan(+)= tan.
Per questo motivo da  a 3/2 si ripropongono gli stessi valori della tangente
riscontrati da 0 a /2.
In sintesi, quindi, possiamo dire che nel terzo quadrante la tangente è positiva e
crescente e passa dal valore 0 (tan=0) a + (tan3/2=+).
Osservando la figura 10 B , possiamo dedurre che la tangente dell’angolo  del
quarto quadrante (segmento PH) coincide con la tangente dell’angolo  del secondo
quadrante.
Infatti è: =+
tan= tan(+)= tan.
Nel quarto quadrante, quindi si propongono gli stessi valori del secondo quadrante,
per cui, sintetizzando, possiamo affermare che in esso la tangente cresce ed è
negativa e passa dal valore - (tan3/2=-) al valore 0 (tan2=0).
FIG. 11
Riportiamo i valori 0 della tangente a 0,  e 2 e i valori + e - a /2 e 3/2
(FIG.11). Si ottiene la tangendoide. Come si può osservare due rami che hanno gli
stessi valori distano di , per cui possiamo affermare che la funzione tangente ha
periodo . Per completare la tangendoide si prosegue il grafico in modo identico ogni
.
IDENTITA’ FONDAMENTALI DELLA TRIGONOMETRIA
Consideriamo la circonferenza goniometrica e un punto P su di essa. Vista la figura,
possiamo scrivere:
1) PO = 1 ; PH = sen ; OH = cos
Il triangolo PHO è rettangolo e OH e PH sono
i cateti, PO è l’ipotenusa. Applicando il
teorema di Pitagora si ottiene:
2) PH2 +OH2 =OP2.
Sostituendo la 1) nella 2), si ottiene:
2
2
sen
α

cos
α

1
che viene detta prima identità fondamentale
della trigonometria.
Si consideri la circonferenza goniometrica e un angolo  al centro. Osservando la
figura possiamo scrivere che:
1) PH=sen ; OH=cos ; QK=tan ; OK=1
I triangoli PHO e QKO sono simili, perchè
sono entrambi rettangoli ed hanno l’angolo 
in comune. Per questo motivo possiamo
scrivere la seguente proporzione:
2) QK : PH = OK : OH
(QK sta a PH perché entrambi opposti
all’angolo ; OK sta a OH perché entrambi
adiacenti all’angolo ).
Sostituendo la 1) nella 2) si ottiene:
tan : sen = 1 : cos
applicando la proprietà fondamentale delle
proporzioni si ottiene:
tan cos = sen,
da cui, infine, si ricava:
sen
α
tan
α
cos
α
che è la seconda identità fondamentale della
trigonometria.
VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI
PARTICOLARI
ANGOLO DI 30° (/6)
FIG.18
Si consideri il punto P1 simmetrico di P rispetto all’asse delle x (FIF.18) , che quindi
forma tramite il raggio OP1 un angolo di 30° nel quarto quadrante. È evidente che il
triangolo OPP1 è equilatero. L’altezza OH è, quindi, anche bisettrice e mediana, per
cui divide il segmento PP1 in due parti uguali: PH=HP1.
PP1, essendo il triangolo POP1 equilatero, è uguale al raggio unitario OP:
PP1=OP=1,
per cui si avrà:
PH=HP1=1/2PP1=1/2.
Poiché PH è il seno di /6, si avrà:
π 1
sen
6 2
Per calcolare il coseno OH possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo
OHP.
133
2
2
OH

OP

PH

1


442
π 3
cos
6 2
Il coseno di /6 era calcolabile con le formule di trasformazione del capitolo
precedente:


13
2
cos

1

sen

1


6
6
42
Per calcolare la tangente di /6 si usa la seconda identità fondamentale della
trigonometria:

sen
6
tan 

6
cos
6

da cui facilmente ricaviamo:
1
2121 3
tan
6
3 23
2
3 3
π 3
tan
6 3
La cotangente è l’inverso della tangente per cui si ha:
1

cotg

6
tan
6
13
33
cotg
3
6 3 3 3
3
π
cotg
3
6
ANGOLO DI 60° (/3)
FIG.19
Si consideri la circonferenza goniometrica e l’angolo di 60°(/3) nel primo
quadrante. Il raggio corrispondente all’angolo di 60° individua sulla circonferenza il
punto P. È evidente (FIG.19) che il triangolo PHO è retto e risulta essere:
PH=sen/6
OH=cos/6
È altrettanto evidente che l’angolo OPH è di 30°.
Consideriamo l’angolo di 30° nel primo quadrante come nella figura.
Per quest’angolo si ha:
P1H1=sen/3
OH1=cos/3
Consideriamo il triangolo rettangolo OP1H1, è evidente che l’angolo OP1H1 è di 60°.
Consideriamo ora i due triangoli OPH e OP1H1. Essi sono congruenti, in quanto
hanno uguali angoli e ipotenusa, corrispondente al raggio della circonferenza
goniometrica, uguale a 1.
Per questo motivo possiamo scrivere che:
PH=OH1
OH=P1H1
Sostituendo al posto dei segmenti le funzioni goniometriche che essi rappresentano,
si ha che:
sen/3=cos/6
cos/3=sen/6
Come si può osservare il seno di 60° è uguale al coseno di 30°, il coseno di 60° è
uguale al seno di 30°, per cui possiamo scrivere:
π 1
π 3 cos
sen
3 2
3 2
Essendo invertiti seno e coseno tra 60° e 30° si invertono anche tangente e
cotangente, ottenendo:
π
π 3
tan 3 cotg

3
3 3
ANGOLO DI 45°(/4)
FIG. 20
Consideriamo l’angolo di 45°(/4) nel primo quadrante (FIG.20) . Osservando la
figura possiamo rilevare che il triangolo rettangolo PHO è anche isoscele, per cui si
ha:
1)
PH=OH
sen/4=cos/4
Applicando il teorema di Pitagora a tale triangolo, si ottiene:
OH2+PH2=1,
che, per la 1), diviene:
2PH2=1
da cui si ricava:
PH2=1/2
PH

1 2

2 2
Poiché PH è il seno di /4 che, nel caso dell’angolo di 45°, è pari al coseno, possiamo
infine scrivere:
π π2
sen

cos

4
42
Essendo tg/4 e cotg/4 rispettivamente pari a sen/4 e cos/4, ed essendo
cos/4 sen/4
sen/4=cos/4, è evidente che risulta essere:
π
π
tan

cotg

1
4
4
ANGOLI ASSOCIATI
ANGOLI LA CUI SOMMA E’ 90° (angoli complementari)
FIG. 21 a
FIG. 21 b
Consideriamo due angoli la cui somma è 90° (angoli complementari). In particolare
se  è un angolo (vedi fig. 21 a), l’altro è pari a 90°- (vedi fig. 21 b). L’angolo
KOP1 di fig. 21 b è quindi pari ad . Consideriamo i due triangoli POH (fig. 21 a) e
P1OK (fig. 21 b). Essi sono congruenti , in quanto hanno un angolo retto, l’angolo 
uguale e l’ipotenusa uguale a 1. Possiamo scrivere quindi:
1) PH=P1K ; 2) OH=OK.
Il segmento PH è pari a sen, mentre per il segmento P1K, si può scrivere:
P1K=OH1=cos(90°-).
La 1) diviene quindi :
sen
α

cos(90


α)
Osservando la numero 2) si ha che: OH=cos
OK=P1H1=sen(90°-),
per cui essa diviene:
cos
α

sen(90


α)
Per la tangente e la cotangente si ha rispettivamente :

 


sen
cos(
90



)
cos
sen
(
90


)
tan

 
cot
g 
;
cos
sen
(
90



)
sen
cos(
90


)e quindi :
tan
α

cotg(90


α)
cotg
α

tg(90


α)
ANGOLI LA CUI SOMMA E’ 180° (angoli supplementari)
FIG. 23 a
FIG. 23 b
Il triangolo PHO di fig. 23 e il triangolo P1H1O di fig. 23 b sono congruenti , in
quanto sono entrambi rettangoli, hanno l’angolo  uguale e l’ipotenusa pari a 1.
Possiamo quindi scrivere:
1) PH=P1H1 ; 2) OH=OH1
Poiché PH è uguale a sen e P1H1 è uguale a sen(180°-), la 1) diviene:
sen α  sen(180  α)
Poiché OH è uguale a cos e OH1 è uguale cos(180°-), la 2) diviene:
cos α  cos(180  α)
Il segno meno è dovuto al fatto il coseno nel secondo quadrante è negativo, mentre
nel primo è positivo.
Per il calcolo della tangente e della cotangente eseguiamo i seguenti passaggi :
tan  
sen
sen(180   )
cos   cos(180   )
; cot g 
e quindi :


cos   cos(180   )
sen
sen(180   )
tan α  tg(180   α)
cotg α  cotg(180   α)
ANGOLI LA CUI DIFFERENZA è 180°
FIG. 24 a
FIG. 24 b
Il triangolo OHP di fig. 24 a e il triangolo P1H1O di fig. 24 b sono congruenti , in
quanto sono entrambi retti, hanno l’angolo  uguale, hanno l’ipotenusa pari a 1. Si
può quindi scrivere:
1) PH=P1H1 ; 2) OH=OH1,
e poiché è:
PH=sen
P1H1=sen(180°+)
OH=cos
OH1=cos(180°+)
la 1) e la 2) diventano rispettivamente:
sen α  sen(180  α)
cos α  cos(180  α)
Il segno meno al secondo membro delle due espressioni è dovuto al fatto che nel
terzo quadrante sia seno che coseno sono negativi.
Per il calcolo della tangente e della cotangente si procede come segue:
tan  
sen  sen(180   )
cos   cos(180   )
; cot g 
e quindi :


cos   cos(180   )
sen  sen(180   )
tan α  tg(180   α)
cotg α  cotg(180   α)
ANGOLI LA CUI SOMMA E’ 360° (angoli esplementari)
FIG. 27 a
FIG. 27 b
I triangoli POH (FIG. 27 a) e P1OH1 (FIG. 27 b) sono congruenti, in quanto rettangoli
e avendo inoltre l’angolo  uguale e l’ipotenusa uguale a 1. Possiamo quindi scrivere:
1) PH=P1H1 ; 2) OH=OH1
Si ha quindi:
sen α  sen(360  α)
cos α  cos(360  α)
Il segno meno nella prima espressione è dovuto al fatto che il seno nel quarto
quadrante è negativo.
Per la tangente e la cotangente si ha:
tan  
sen  sen(360   )
cos 
cos(360   )
; cot g 
e quindi :


cos 
cos(360   )
sen  sen(270   )
tan α  tg(360   α)
cotg α  cotg(360   α)
Poiché l’angolo 360°- è anche esprimibile come -, possiamo scrivere:
sen α  sen(α)
cos α  cos(α)
tan α  tg( α)
cotg α  cotg( α)
TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
FIG. 28
Consideriamo un triangolo rettangolo con a e b cateti e c ipotenusa (FIG. 28) . Dal
vertice che forma l’angolo  O, tracciamo la circonferenza di raggio unitario
(circonferenza goniometrica), che individua sull’ipotenusa il punto P. Proiettiamo il
punto P sul cateto ottenendo il punto H. È evidente che risulta essere:
PH=sen,
OH=cos.
Consideriamo i triangoli rettangoli KTO e PHO. Essi sono simili in quanto entrambi
rettangoli e aventi l’angolo  in comune.
Possiamo quindi scrivere le seguenti proporzioni:
PH : a = OP : c,
da cui si ottiene:
a = PH c / OP.
Poiché OP=1, si ha
a = PH c,
1)
a = c sen.
PRIMO TEOREMA: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto.
Consideriamo l’altra similitudine:
OH : b = OP : c,
Da cui si ottiene:
2)
b = c cos
SECONDO TEOREMA: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale
all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente.
Dalla 1) e la 2) ricaviamo c:
c = a/sen
c = b/cos.
Essendo uguali i primi membri possiamo eguagliare i secondi, ottenendo:
3) a/sen= b/cos.
4)
Dalla 3) possiamo ricavare sia a che b ottenendo:
4) a = b sen/cos
5) b = a cos/sen.
Poiché sen/cos=tg e cos/sen=cotg, la 4) e la 5) diventano:
a = b tg
b = a cotg
TERZO TEOREMA: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro cateto
per la tangente dell’angolo opposto.
QUARTO TEOREMA: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro
cateto per la cotangente dell’angolo adiacente.
TEOREMA DELL’AREA
FIG. 29
Consideriamo un triangolo qualsiasi ABC e calcoliamo l’area nel modo consueto:
A=CB x AH / 2. L’altezza AH è calcolabile applicando i teoremi sui triangoli
rettangoli al triangolo rettangolo BHA. In particolare AH, cateto del triangolo BHA, è
pari ad AB, ipotenusa del triangolo BHA, per il seno dell’angolo opposto :
AH=ABsen. Sostituendo quest’ultimo valore di AH nell’espressione dell’area, si
ottiene infine:
1
AREA  CB ABsenβ 
2
L’area di un triangolo è quindi calcolabile effettuandoli semiprodotto di due lati
per il seno dell’angolo che essi formano.
TEOREMA DEI SENI
Consideriamo il triangolo precedente ABC e l’altezza AH relativa alla base CB.
Ricaviamo l’altezza come cateto appartenente ai due triangoli rettangoli BHA e
AHC:
AH = AB sen AH =AC sen .
Di queste due ultime espressioni, essendo uguali i primi membri, eguagliamo i
secondi:
AB sen =AC sen ,
da cui si ricava facilmente l’eguaglianza: 1) AB/sen= AC/sen.
Se considerassimo l’altezza relativa alla base AB, nello stesso modo si ricava
l’eguaglianza:
2) CB/sen= AC/sen
unificando la 1) e la 2), si ottiene:
AC
AB
CB


sen sen sen
È questo il teorema dei seni:
in un triangolo qualsiasi è costante il rapporto tra ogni lato ed il seno dell’angolo
opposto.
TEOREMA DELLE PROIEZIONI
FIG. 30
FIG. 31
Consideriamo il triangolo ABC come in figura 30 e tracciamo l’altezza AH relativa
alla base CB.
È evidente che la base CB è la somma tra la proiezione CH del lato AC su CB e della
proiezione HB del lato AB su CB:
1) CB = CH + HB.
Consideriamo ora il triangolo rettangolo AHC. Il cateto CH è pari a :
2) CH = AC cos.
Consideriamo ora il triangolo rettangolo AHB, il cateto HB risulterà essere pari a:
3) HB = AB cos.
Sostituendo la 2) e la 3) nella 1), si ottiene:
CB = AC cos+ AB cos
Quest’ultima formula costituisce l’espressione matematica del teorema delle
proiezioni, che così si enuncia:
In un triangolo qualsiasi un lato è uguale alla somma dei prodotti di ogni altro lato
per il coseno che ogni altro lato forma con se stesso (con il lato da calcolare).
Per completezza bisogna dimostrare il teorema anche nel caso che un angolo
adiacente al lato scelto sia ottuso (FIG. 31)
Il lato AB in questo caso è :
4) CB = HB - HC.
Consideriamo il triangolo rettangolo AHC e calcoliamo il cateto HC nella seguente
maniera:
5) HB = AB cos.
In relazione, invece, al triangolo rettangolo CHA il cateto HC si ricava nella seguente
maniera:
6) H A= CA cos(180°-) = -CAcos.
Sostituendo la 5) e la 6) nella 4), si ottiene:
CB = AB cos+ CA cos
che è identica all’espressione matematica calcolata nella prima dimostrazione.
TEOREMA DI CARNOT (O DEL COSENO)
FIG. 32
FIG. 33
Consideriamo un triangolo ABC come in figura 32 e tracciamo l’altezza CH relativa
alla base AB. Scriviamo il teorema di Pitagora relativamente al triangolo rettangolo
CHB:
1) CB2 = CH2 + HB2
Consideriamo il triangolo rettangolo CHA, ricaviamo il cateto CH:
2) CH = AC sen.
Il segmento HB è ricavabile nella seguente maniera:
3) HB = AB - AH.
Considerando sempre il triangolo rettangolo CHA, il cateto AH è pari a :
4) AH = AC cos.
Sostituendo la 4) nella 3) si ottiene:
5) HB = AB –AC cos.
Sostituiamo ora la 2) e la 5) nella 1) e otteniamo:
CB2 = AC2 sen2+ (AB - ACcos)2,
CB2 =AC2 sen2+ AB2 – 2 AB AC cos+ AC2 cos2.
Mettendo in evidenza AC2, si ottiene:
CB2=AC2 (sen2+ cos2) + AB2 – 2 AB Acc os.
Il termine tra parentesi è pari a 1 per cui si ha infine:
CB2 = AC2 + AB2 – 2 AB AC cos
È questo il teorema di Carnot che così recita:
In un triangolo qualsiasi il quadrato di uno dei lati è pari alla somma dei quadrati
degli altri due meno il doppio prodotto tra gli altri due lati per il coseno dell’angolo
che essi formano.
Anche in questo caso è necessario dimostrare il teorema quando l’angolo  adiacente
al lato AB è ottuso.
In relazione al triangolo rettangolo CHB, il teorema di Pitagora ci dice:
6) CB2 = CH2 + HB2.
CH è ricavabile, considerando il triangolo rettangolo CHA, come:
7) CH = AC sen(180°-) = AC sen.
HB è pari alla somma dei segmenti HA e AB:
8) HB = HA + AB.
Considerando di nuovo il triangolo rettangolo CHA si ha:
9) HA=ACcos(180°-)=-ACcos,
che sostituita nella 8) dà:
10) HB=-ACcos+AB.
Sostituendo la 7) e la 10) nella 6), si ottiene:
CB2=AC2sen2+(AB-ACcos)2,
CB2=AC2sen2+AB2-2ABACcos+AC2cos2,
CB2=AC2(sen2+cos2)+AB2-2ABACcos.
CB2 = AC2 + AB2 – 2 AB AC cos
che equivale alla dimostrazione prima effettuata.
TEOREMA DELLA CORDA
FIG. 34
Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r e una corda della
circonferenza non coincidente con il diametro. Siano i punti A e B gli estremi della
corda. Dal punto B tracciamo il diametro BC. Il triangolo ABC è retto in A, per cui la
corda AB, che è anche uno dei cateti del triangolo rettangolo, è calcolabile nella
seguente maniera: AB = 2r sen, ove 2r è la misura del diametro BC.
Poiché ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco è uguale (angolo
BCA=BC1A), possiamo affermare che:
in una circonferenza la misura di una corda è pari alla misura del diametro che
moltiplica il seno di uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza che insiste
sull’arco sotteso alla corda.
Questo teorema vale anche quando il punto sulla circonferenza è scelto sull’arco AB
opposto all’arco scelto originariamente (angolo AC2B). Infatti in questo caso si ha:
AB=2rsen(180°-)=2rsen.
Tratto dal sito:
www.ettorevotta.it/TRIGONOMETRIA.doc