UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA
SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE
ALL’INSEGNAMENTO SECONDARIO
CORSO DI LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Prof. CARLO DAPUETO – Prof.ssa GIOVANNA PESCE
DALLE DISTRIBUZIONI DI FRQUENZA ALLE LEGGI DI
DISTRIBUZIONE
di
Paolo BERGAMINO – Rosangela CHIAVAZZA – Davide COSTA – Laura
DEAMBROGIO – Luca GOGGI
Anno Accademico 2008/2009
Si intende collocare il presente progetto didattico in un istituto tecnico
commerciale indirizzo “Mercurio” con riferimento alla classe IV (per
quanto concerne il discreto) e alla classe V (per quanto concerne il
continuo).
Parimenti, il suddetto progetto è collocabile nel triennio di un istituto
tecnico ITIS oppure nel triennio di un liceo scientifico.
Sebbene siamo consapevoli che le tematiche attinenti alla statistica ed
alla probabilità tradizionalmente vengano tralasciate o trattate solo
marginalmente e superficialmente, riteniamo che trattasi di argomenti
particolarmente importanti per lo sviluppo della capacità critica dei
discenti, anche alla luce della considerazione che l’insegnamento della
matematica debba contribuire alla formazione di un cittadino conscio
(matematica per il cittadino), in grado di saper interpretare e analizzare
la realtà che lo circonda in modo consapevole. Inoltre, si ritiene
importante sviluppare i suddetti concetti anche alla luce del fatto che i
recenti temi dei test di ammissione alle facoltà scientifiche, nonché i test
PISA, dedichino particolare importanza alla statistica e alla probabilità.
La statistica è, inoltre, un fondamentale strumento per superare alcuni
limiti relativi a ciò che un alunno pensa di sé rispetto ai suoi compagni
relativamente a determinati caratteri personali, quali l’altezza o il peso.
In tutti i tipi di indirizzo, si reputa utile ed opportuno introdurre il
concetto di distribuzione di frequenza partendo da esempi concreti,
anche al fine di stimolare maggiormente l’interesse e il coinvolgimento
degli studenti, considerando anche che trattasi di tematiche che
presentano numerosi risvolti pratici e immediatamente percepibili.
Inoltre,
i
suddetti
concetti
presentano
un
elevato
grado
di
interdisciplinarietà, ad esempio con l’economia aziendale, l’economia
politica, scienza delle finanze, fisica, biologia, ma anche con materie più
umanistiche, in quanto dalla semplice lettura di un quotidiano si evince
2
l’importanza di saper analizzare, comprendere ed interpretare dati e
grafici riferiti ai più svariati contesti.
L’approccio didattico previsto non consiste nel seguire pedissequamente
un libro di testo ma di predisporre delle schede ad hoc, anche con
esercizi motivanti gli interessi degli allievi.
Pur partendo sempre da casi concreti, il livello di approfondimento e di
formalizzazione sarà maggiore con riguardo al liceo scientifico rispetto
all’approccio seguito negli istituti tecnici.
La trattazione che si intende seguire prevede dapprima lo sviluppo della
statistica descrittiva, nel discreto e nel continuo, per poi passare alla
trattazione degli eventi aleatori, e quindi della probabilità, sempre con
riferimento prima al discreto e poi al continuo.
Statistica.
Per meglio esemplificare il concetto di distribuzione di frequenza, si
ritiene interessante far considerare agli studenti un certo insieme di
oggetti, possibilmente a loro vicino e noto, ad esempio:
-
l’altezza degli alunni della classe
-
i tempi di percorrenza da casa a scuola
-
la scelta dei mezzi di trasferimento casa-scuola
-
i voti dell’ultimo compito in classe
-
i cd che un negozio di musica ha venduto nelle due settimane
successive al festival di Sanremo
Per quanto riguarda specificatamente gli studenti di un istituto tecnico
commerciale potrebbe essere interessante
proporre anche esempi
attinenti all’economia, quali il PIL dei diversi Paesi dell’Unione Europea.
A partire da tali rilevazioni si invitano gli studenti ad analizzare il tipo di
carattere considerato (qualitativo o quantitativo). Quindi si può passare
3
ad una discussione critica per stimolare i discenti, accertandosi che
abbiano una prima idea dei fenomeni osservati. Si invitano, poi, ad
esaminare come si distribuiscono queste informazioni, facendo ad
esempio osservare quali siano le altezze più frequenti, i cantanti che
vendono maggiormente, i Paesi che presentano i livelli di PIL più
elevati….
È questo un modo per introdurre empiricamente i concetti di modalità, di
popolazione, di frequenza assoluta e relativa (percentuale) nonché di
distribuzione. Si intende in seguito far sviluppare agli studenti esercizi
relativi proprio alla costruzione di tabelle (o distribuzioni di frequenza), il
che consente loro di familiarizzare con la manipolazione di dati grezzi.
Si conducono così gli studenti alla comprensione e all’opportunità del
raggruppamento di dati in classi separate, esponendo agli allievi come
raggruppare opportunamente i dati in classi.
Parallelamente, si propongono le medesime attività anche in laboratorio
informatico mediante l’ausilio di Excel, di XLSTAT e di STAT, scaricabile
dal sito di MACOSA.
Si sottolinea a questo riguardo che la rappresentazione dei dati con carta
e matita risulta spesso più difficile per gli studenti, infatti devono
prestare attenzione ad errori di calcolo che potrebbero portare a
rappresentazioni totalmente errate, distogliendoli così dalla finalità
principale del lavoro.
In particolare, l’uso di Excel facilita proprio la parte grafica e di calcolo,
con lo studente che è comunque sempre coinvolto nel processo di
apprendimento. XLStat, invece, pur essendo uno strumento più potente,
presenta un costo sicuramente più elevato e, inoltre, da un punto di vista
didattico si ritiene che debba essere utilizzato solo a posteriori dopo
l’apprendimento dei concetti, come verifica del lavoro svolto dagli alunni,
in quanto esso calcola automaticamente i vari indici statistici.
4
Agendo in tal modo, si utilizza una metodologia didattica di tipo
percettivo-motorio, molto più efficace rispetto ad una metodologia di tipo
simbolico-ricostruttivo in quanto consente di semplificare il processo di
apprendimento dei discenti, risultando in tal modo meno faticoso e più
incentivante.
Una volta acquisita dimestichezza con il trattamento di dati grezzi,
potrebbe essere particolarmente interessante far svolgere agli studenti,
in maniera diretta, indagini su fenomeni specifici.
A questo proposito, si potrebbe proporre agli studenti un’indagine sul
numero di alunni stranieri iscritti nella scuola negli ultimi anni, oppure
un’indagine sul costo di un determinato bene nel tempo. Qualora trattasi
di un liceo scientifico, si potrebbe far rilevare la temperatura nei vari
giorni dell’anno.
A questo punto si può agevolmente introdurre il concetto di istogramma
come
strumento
per
raffigurare
la
distribuzione
di
frequenze,
evidenziando le differenze di rappresentazione a seconda che le modalità
siano di tipo numerico o non numerico.
Si ritiene particolarmente importante, soprattutto con riferimento agli
studenti di istituti tecnici commerciali, far svolgere molti esercizi di
lettura,
interpretazione,
comprensione
e
confronto
di
grafici
con
riferimento a fenomeni reali presi anche dai quotidiani, in quanto
tipicamente
tali
studenti
hanno
nel
proprio
curriculum
meno
dimestichezza con le rappresentazioni grafiche, le quali, tuttavia,
rivestono molta importanza per i collegamenti con le materie economiche
di indirizzo.
Si intende quindi procedere con l’introduzione degli indici di posizione
(moda, mediana, media aritmetica) e dei principali indici di dispersione
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(varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione), con lo
scopo di ottenere misure di sintesi e di confronto tra variabili statistiche.
È importante, a nostro avviso, che tali esempi siano sempre collegati con
casi reali vicini agli studenti, per un maggior coinvolgimento e per un più
elevato grado di motivazione degli stessi (ad esempio la media dei voti,
l’altezza media, modale e mediana, la variabilità delle altezze tra maschi
e femmine, il reddito medio degli italiani, con riferimento alle varie
regioni, la velocità media di un percorso per gli studenti dei licei
scientifici…).
Si
riportano
alcuni
esempi
di
esercizi
iniziali
per
introdurre
le
rappresentazioni grafiche delle distribuzioni e i concetti di media, moda e
mediana.
ESERCIZIO 1
La tabella seguente riporta la distribuzione dei voti conseguiti in matematica da 26
studenti di una classe.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
7
4
8
9
8
7
7
6
5
4
4
3
7
6
8
Q
R
S
T
U
W
X
Y
Z
5
7
6
7
8
8
9
6
4
P
5
Si individui la tipologia di carattere osservata, si raggruppino i dati in un’opportuna
tabella e si proceda quindi al calcolo degli opportuni indici di posizione.
6
ESERCZIO 2
Nella tabella seguente si riporta la distribuzione dei redditi reali conseguiti da un
commerciante in 12 mesi. Dopo aver opportunamente rappresentato la distribuzione,
si proceda al calcolo del reddito medio mensile conseguito in tale arco temporale dal
soggetto.
MESE
REDDITO
Gennaio
2100
Febbraio
2150
Marzo
2120
Aprile
2210
Maggio
2250
Giugno
2310
Luglio
1800
Agosto
670
Settembre
2600
Ottobre
2700
Novembre
3100
Dicembre
3850
ESERCIZIO 3
Le azioni FIAT, in 5 sedute successive della Borsa di Milano, hanno avuto le seguenti
quotazioni (in euro):
2,98; 2,97; 2,98; 2,99; 2,98
Se una persona ha acquistato, a ogni seduta, 100 azioni, qual è stato il costo medio
per azione? E se ne ha acquistate 200 ad ogni seduta?
ESERCIZIO 4
Se mescolo 0.40 litri di succo di arancia e 0.10 litri di liquore a 40 gradi (40% di
alcol), qual è la gradazione alcolica del cocktail ottenuto?
(A) 4%
(B) 8%
(C) 12.5%
(D) 10%
(E) 25%
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A questo punto, attraverso opportuni esempi, si vogliono portare gli
studenti al passaggio dal discreto al continuo, mostrando proprio come
molti fenomeni reali possono assumere un qualsiasi valore in un certo
intervallo (ad esempio la velocità di un’auto, l’altezza di una persona, il
peso di un oggetto…).
Sviluppiamo più dettagliatamente tale modulo didattico.
Inizialmente si può far rilevare agli studenti le loro altezze. In questo
caso si ha a che fare con un “piccolo” campione, e con riferimento ad
esso si possono calcolare la media e la varianza, nonché tracciare
l’istogramma sperimentale.
Successivamente si ipotizza di ampliare la dimensione del campione,
considerando la distribuzione di una variabile continua, come ad esempio
l’altezza non degli studenti dell’aula, ma degli italiani o, comunque, di
una popolazione ampia. Se si misura un grande numero di individui, ad
esempio 100.000, si ottengono 100.000 valori compresi tra un minimo
ed un massimo. Si possono rappresentare graficamente tutti i suddetti
valori raggruppandoli in classi e costruendo un istogramma, in cui sulle
ascisse sono riportati i valori delle altezze e sull’ordinata la densità di
frequenza (che si intende proprio introdurre in questa sede, come
rapporto tra la frequenza relativa e l’ampiezza della classe).
L’istogramma sarà costituito da tanti rettangoli quante sono le classi in
cui sono stati suddivisi i valori. Aumentando il numero di classi
diminuisce la loro ampiezza e, quindi, la base dei singoli rettangoli, ma
l’area totale dell’istogramma rimane sempre costante, pari ad uno.
Si evidenzia che maggiore è la numerosità del campione tanto è
maggiore la precisione nella determinazione della media e della varianza.
È inoltre importante sottolineare che con l’aumentare della numerosità
del campione aumenta anche il grado di precisione dei valori rilevati (ad
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esempio si può ottenere una misura dell’altezza media in mm invece che
in cm).
Peraltro, con riferimento agli studenti di un istituto tecnico commerciale,
tale approccio può rappresentare un rimando alla geometria, che
tendenzialmente
in
tali
istituti
viene
spesso
trattata
solo
superficialmente.
L’area dell’istogramma è determinabile come somma delle aree di tutti i
rettangoli e l’area di ogni rettangolo risulta:
Area rettangolo = base * altezza = (ampiezza classe * densità di
frequenza) = frequenza relativa
In questo modo si portano gli studenti alla comprensione di un concetto
di
per
sé
complesso
passo
passo,
partendo
proprio
dalla
rappresentazione grafica. Diventa così possibile ovviare ad un nodo
concettuale problematico, in quanto non sarebbe altrimenti così evidente
ed immediato comprendere che l’area di ogni rettangolo risulta pari alla
frequenza relativa della manifestazione del carattere.
Al crescere del numero dei rettangoli, l’istogramma tende ad una
funzione continua, la cui area vale ancora uno, detta funzione di densità.
Si intende evidenziare che, poiché innumerevoli fenomeni statistici
tendono ad avere distribuzioni di forma simile, sono state studiate
distribuzioni teoriche che riproducono andamenti tipici delle distribuzioni
di frequenza (è il caso, ad esempio, della distribuzione normale o
gaussiana).
È opportuno procedere poi al confronto fra l’istogramma sperimentale
ottenuto in precedenza con la distribuzione gaussiana teorica. Agendo in
tal modo si potrà osservare che la gaussiana costituisce una buona
approssimazione del fenomeno considerato.
9
Si può far notare come diventi così possibile, note la media e la varianza
del campione, calcolare in modo preciso la percentuale di popolazione
avente, ad esempio, l’altezza compresa in un certo intervallo senza
dover procedere in modo più complesso e lungo, sommando le aree dei
singoli rettangoli dell’istogramma.
Si evidenzia in questo un proficuo collegamento con l’analisi, con
riferimento al concetto di integrale. Per gli studenti di un liceo scientifico,
in analisi si approfondirà poi dettagliatamente il concetto di integrale
indefinito e definito, mentre per gli studenti di un istituto tecnico
commerciale tale concetto sarà sviluppato solo a livello intuitivo, senza
eccessivi formalismi. Ad ogni modo, con siffatto approccio verrà ben
interiorizzato il significato stesso di integrale come area sottesa ad una
curva.
La percentuale di soggetti che hanno carattere (ad es. l’altezza)
compreso all’interno di un determinato intervallo è calcolabile come area
(e,
quindi,
come
integrale)
sottesa
alla
curva
di
densità
in
quell’intervallo.
Probabilità.
Con la statistica si analizzano dati certi, osservati ex post, mentre con la
probabilità si introduce il concetto di evento aleatorio inteso come
accadimento il cui esito sia incerto.
A tal fine si possono illustrare una serie di esempi (il numero di
automobili che transitano su un’autostrada in un dato giorno, l’uscita di
un determinato numero al gioco del lotto, il valore che può assumere un
titolo azionario, la temperatura registrata in una giornata…). Si va così a
definire il concetto di probabilità: si tratta di un nodo concettuale che
presenta numerose problematiche definitorie e didattiche.
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Proprio per far rendere conto ai discenti di tali problematiche, si intende
partire con una serie di esempi basati sempre su casi pratici e vicini agli
interessi degli studenti.
Infatti, spesso le inferenze si basano proprio su credenze stereotipate. In
particolare si intende interessante proporre ad esempio il seguente
esercizio:
Luisa, che sa della fine della mia storia con Mario, ed ama gli indovinelli, mi dice:
«Sai, viene a trovarmi per qualche giorno Sergio, un mio lontano cugino, dall'Emilia.
Potremmo andare a cena assieme, e poi, chissà, potrebbe nascere qualcosa! Sergio
non è molto alto, ma ha un bell'aspetto, anche se porta gli occhiali. Gli piace leggere.
È un po' taciturno, ma quando parla sa essere piacevole. Non ti dico altro. Prova a
indovinare che mestiere fa: (A) il magistrato, (B) il bibliotecario, (C) l'agricoltore, (D)
l'attore o (E) il dentista?»
In assenza di altre informazioni su Sergio e, in generale,
sui parenti di Luisa, ipotizzando che Luisa sappia che io non ho particolari preferenze
per un mestiere o l'altro, … come dovrei rispondere per individuare il mestiere più
probabile?
In effetti, si può osservare proprio come fra i mestieri indicati, in Emilia,
e in tutte le regioni italiane, il più frequente è di gran lunga sicuramente
l'agricoltore. E ai nostri giorni anche gli agricoltori portano gli occhiali, e
leggono.
statistiche,
Solo
qualche
potrebbe
stereotipo,
indurre
a
e
l'assenza
pensare
che
la
di
considerazioni
risposta
OK
sia
"bibliotecario". Diversa, ovviamente, sarebbe la situazione se Luisa
avesse 5 cugini che fanno i mestieri indicati.
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Altri esempi opportuni potrebbero essere i seguenti:
Un dado da gioco viene costruito con del cartoncino secondo il modello
raffigurato a lato. Quale delle seguenti potrebbe essere la distribuzione
delle uscite?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1: 9%,
1: 30%,
1: 10%,
1: 1/6,
1: 5%,
2: 20%,
2: 12%,
2: 15%,
2: 1/6,
2: 15%,
3: 12%,
3: 17%,
3: 30%,
3: 1/6,
3: 30%,
4: 12%,
4: 20%,
4: 20%,
4: 1/6,
4: 20%,
5: 17%,
5: 12%,
5: 15%,
5: 1/6,
5: 15%,
6: 30%
6: 9%
6: 10%
6: 1/6
6: 5%
(E) è da escludere in quanto la somma delle probabilità farebbe 90%,
che differisce da 100% più di quanto potrebbe accadere a causa delle
approssimazioni.
(D) è da escludere in quanto il baricentro del dado non è equidistante
dalle
facce
a
causa
della
presenza
delle
linguette.
La faccia più pesante è "6" in quanto ad essa si incollano 3 linguette,
mentre la sua opposta, "1", senza linguette, è la più leggera. Queste due
facce sono quindi, rispettivamente, quella che esce, ossia appare rivolta
verso l'alto, con probabilità massima e quella che esce con probabilità
minima: la risposta OK è (B).
Lancio ripetutamente un dado (non truccato). Quale tra i seguenti fatti è più
probabile?
(A) Ottenere di fila 5,2,1,4,3,6
(B) Ottenere di fila 5 volte 6
(C) Ottenere di fila 1,2,3,4,5,6
(D) Ottenere di fila 6 volte 1
(E) Ottenere di fila 1,1,2,2,3,3
Se lancio un fissato numero di volte un dado non truccato, tutte le
sequenze di uscite hanno la stessa probabilità: non c'è motivo per cui,
facendo
3
lanci,
666
sia
meno
probabile
di,
ad
es.,
524.
Nel nostro caso il fatto più probabile è (b) in quanto si tratta di una
sequenza tra tutte le possibili (e tra loro equiprobabili) sequenze di 5
uscite; tutte gli altri fatti sono meno probabili: si tratta di una sequenza
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tra tutte le possibili sequenze di 6 uscite, che sono molte di più (sono 6
volte la quantità delle sequenze di 5 uscite: la probabilità di B è 6 volte
la probabilità di ciascuno degli altri eventi).
Si ritiene che gli studenti avranno molte difficoltà con la risoluzione di tali
esercizi.
Si
riscontra
infatti
una
difficoltà
tipica
del
pensiero
probabilistico, ovvero l'idea che una successione "regolare" di uscite sia
più improbabile di una uscita meno regolare. Esercizi di questo genere
sono assai utili per mettere in luce le misconcezioni e aprire con gli
alunni momenti di discussione su di esse.
Si mostreranno quindi le differenti definizioni di probabilità (classica e
frequentista), mostrandone altresì i limiti.
Si è ora in grado di introdurre il concetto di variabile aleatoria, che è
proprio una grandezza che può assumere valori differenti in modo
imprevedibile.
Si forniscono quindi alcuni esempi di variabili aleatorie (ad esempio il
numero di teste che si presentano lanciando n monete, la velocità di
un’auto in un determinato istante, il numero dei centri di un bersaglio nel
tiro al piattello su n colpi, il numero di carte di cuori estraibili da un
mazzo di 40 (con o senza reinserimento…), la statura di una persona…
Alcune delle precedenti variabili possono assumere solo determinati
valori (il numero di teste, il numero dei centri del bersaglio, il numero di
carte…) mentre altre possono assumere qualsiasi valore entro un certo
intervallo (velocità, statura…).
Nel primo caso si parla di variabili aleatorie discrete, nel secondo caso di
variabili aleatorie continue.
Per definire in modo esauriente una variabile aleatoria è necessario
definire sia i valori che la grandezza può assumere sia con quale
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probabilità può assumere tali valori, ovvero si deve definire la sua
distribuzione di probabilità (funzione di probabilità).
Si forniscono quindi esempi di variabili aleatorie discrete, procedendo
altresì ad una loro rappresentazione grafica mediante istogrammi. Tipica
distribuzione di probabilità discreta è la binomiale, che calcola la
probabilità di ottenere x successi in n prove indipendenti tra loro.
Quindi,
analogamente
e
specularmente
a
quanto
osservato
con
riferimento alle distribuzioni di frequenza di fenomeni statistici, si
procede al passaggio al continuo anche per le variabili aleatorie.
In particolare si fa notare attraverso esempi opportuni con l’ausilio di
software (ad esempio Stat o Excel) come, aumentando il numero delle
prove
effettuate,
l’istogramma
distribuzione teorica continua,
sperimentale
converga
come ad esempio
la
verso
una
gaussiana
o
l’uniforme. Si vuole anche evidenziare come esistano fenomeni che
presentano andamento continuo irregolare (ad esempio, il peso degli
individui), non rappresentabili
mediante distribuzione gaussiana o
uniforme.
Senza procedere ad una dimostrazione rigorosa, si vuole evidenziare
come con l’aumentare del numero delle prove, la binomiale tenda alla
gaussiana.
Si intende riprendere l’esempio delle altezze, proposto con riferimento
alla statistica, per far notare come l’istogramma sperimentale sia ben
approssimabile dalla distribuzione gaussiana teorica, avente media e
varianza della popolazione in esame.
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Pertanto, note media e varianza, è possibile calcolare la probabilità che
l’altezza degli individui sia compresa in un certo intervallo.
Mentre con riferimento ai fenomeni statistici l’area sottesa alla curva in
un certo intervallo rappresenta la percentuale - ovvero la frequenza
relativa - di soggetti aventi carattere con valori in tale intervallo, per
quanto concerne gli eventi aleatori, l’area sottesa rappresenta la
probabilità che l’evento assuma valori in tale intervallo.
Tale area, ovvero la probabilità, potrà essere calcolata tramite calcolo
integrale oppure, qualora trattasi di particolari distribuzioni, quale la
gaussiana, mediante l’ausilio di tavole o, più opportunamente, tramite
calcolatrici o software. Qualora trattasi invece di distribuzione uniforme,
si può ricorrere alla geometria (area di un rettangolo).
Il passo conclusivo può essere quello di affrontare il concetto di
inferenza, mostrando come, nota la distribuzione del campione, sia
15
possibile passare alla distribuzione della popolazione con un certo livello
di confidenza (stima).
A conclusione del presente lavoro si ritiene utile descrivere le principali
tipologia di difficoltà incontrabili dai discenti.
-
difficoltà a distinguere il concetto di carattere da quello di
frequenza;
-
difficoltà a raggruppare opportunamente i dati in classi;
-
difficoltà riscontrabili nel passaggio dal discreto al continuo relative
alla non consapevolezza dell’importanza della numerosità del
campione, in quanto solo con popolazioni ampie vale la legge dei
grandi numeri e la convergenza della distribuzione discreta verso
quella continua;
-
difficoltà tipica del pensiero probabilistico, ovvero l'idea che una
successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita
meno regolare;
-
difficoltà legate all’atteggiamento di pensiero che potrebbero
condizionare in futuro la vita sociale molto di più rispetto ai
tradizionali concetti matematici;
-
difficoltà di comprensione della differenza tra fenomeno statistico
ed evento aleatorio.
16
