Corso di
LABORATORIO DI
DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Prof. C. DAPUETO- Prof.ssa G. PESCE
Dalle distribuzioni di frequenza
alle leggi di distribuzione
Specializzandi: Bergamino - Chiavazza Costa - Deambrogio - Goggi
INDICE
Introduzione
Statistica
Statistica-Esercizi
Dal discreto al continuo
Probabilità
Conclusioni
Introduzione
Collocazione progetto didattico:
1.
2.
Istituto tecnico commerciale indirizzo Mercurio
con riferimento a
classe IV (per quanto concerne il discreto)
classe V (per quanto concerne il continuo).
Triennio di un istituto tecnico ITIS oppure
triennio di un liceo scientifico
Introduzione
Motivazioni della scelta
1.
2.
3.
4.
La statistica e la probabilità sono argomenti particolarmente
importanti per lo sviluppo della capacità critica dei discenti
L’insegnamento della matematica deve contribuire alla
formazione di un cittadino conscio (matematica per il
cittadino), in grado di saper interpretare ed analizzare la realtà
che lo circonda in modo consapevole
I recenti temi dei test di ammissione alle facoltà scientifiche
nonché i test PISA dedicano particolare importanza alla
statistica e alla probabilità
La statistica inoltre e’ un fondamentale strumento per
superare alcuni limiti relativi a cio’ che un alunno pensa di se’
rispetto ai suoi compagni (es.: altezza, peso, ecc.)
Introduzione
Si introduce il concetto di distribuzione di frequenza partendo da esempi
concreti, anche basati su notizie, fatti di cronaca, dibattiti televisivi, ecc., im
modo da:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
stimolare maggiormente l’interesse e il coinvolgimento degli studenti
sottolineare i collegamenti interdisciplinari con:
economia aziendale,
economia politica,
scienza delle finanze,
fisica,
biologia,
materie più umanistiche (es. semplice lettura di un quotidiano, notizie
economiche, indagini ISTAT, ecc.)
Introduzione
1.
2.
L’approccio didattico:
Predisporre delle schede ad hoc, anche con esercizi
motivanti gli interessi degli allievi
Il livello di approfondimento e di formalizzazione sarà
maggiore con riguardo al liceo scientifico rispetto
all’approccio seguito negli istituti tecnici
Tratteremo:
Lo sviluppo della statistica descrittiva, nel discreto e nel
continuo
Gli eventi aleatori, e quindi la probabilità, sempre con
riferimento prima al discreto e poi al continuo
STATISTICA
Far considerare agli studenti un certo insieme di
oggetti, possibilmente a loro vicino e noto, ad es.:
l’altezza degli alunni della classe
i tempi di percorrenza da casa a scuola
la scelta dei mezzi di trasferimento casa-scuola
i voti dell’ultimo compito in classe
i cd che un negozio di musica ha venduto nelle due
settimane successive al festival di Sanremo
il PIL dell’Italia e degli altri Paesi europei
Statistica
Per introdurre empiricamente i concetti di
carattere
modalità
popolazione
frequenza assoluta e relativa (percentuale)
distribuzione
si considerano gli esempi visti e si invitano gli studenti ad
analizzare il tipo di carattere considerato (qualitativo o
quantitativo)
si passa quindi ad una discussione critica per stimolare i
discenti, accertandosi che abbiano una prima idea dei fenomeni
si invitano ad esaminare come si distribuiscono questi dati,
facendo ad esempio osservare quali siano le altezze più
frequenti, ecc.
Statistica
Si intende quindi :
far sviluppare agli studenti esercizi relativi proprio alla
costruzione di tabelle (o distribuzioni di frequenza), per
familiarizzarli con la manipolazione di dati grezzi
portare gli studenti alla comprensione e all’opportunità del
raggruppamento di dati in classi separate
Parallelamente si propongono le medesime attività anche in
laboratorio informatico mediante l’ausilio di Excel, di XLStat
e di STAT scaricabile dal sito di MACOSA
Statistica
NOTE
La rappresentazione dei dati con carta e matita risulta spesso più difficile per
gli studenti: infatti devono prestare attenzione ad errori di calcolo che
potrebbero portare a rappresentazioni totalmente errate, distogliendo così i
discenti dalla finalità principale del lavoro.
In particolare, l’uso di Excel facilita proprio la parte grafica e di calcolo, (lo
studente è direttamente coinvolto nel processo di apprendimento).
XLStat, invece, pur essendo uno strumento più potente, presenta un costo
sicuramente più elevato e, inoltre, da un punto di vista didattico, si ritiene
che debba essere utilizzato solo a posteriori, dopo l’apprendimento dei
concetti, come verifica del lavoro svolto dagli alunni, in quanto esso calcola
automaticamente i vari indici statistici.
Agendo in tal modo si utilizza una metodologia didattica di tipo percettivomotorio, molto più efficace rispetto ad una metodologia di tipo simbolicoricostruttivo in quanto consente di semplificare il processo di apprendimento
dei discenti, risultando in tal modo meno faticoso e più incentivante.
Statistica
Si propone quindi di far svolgere agli studenti in maniera diretta indagini
su fenomeni specifici. Esempi:
indagine sul numero di studenti stranieri iscritti nella scuola negli ultimi
anni
indagine sul costo di un determinato bene nel tempo
per un liceo scientifico, la temperatura nei vari giorni
Poi si può agevolmente introdurre il concetto di istogramma come
strumento per raffigurare la distribuzione di frequenze
Si procede con l’introduzione degli indici di posizione (moda, mediana,
media aritmetica) e dei principali indici di dispersione (varianza, scarto
quadratico medio, coefficiente di variazione), con lo scopo di ottenere
misure di sintesi e di confronto tra variabili statistiche.
(Esempi sempre collegati con casi reali vicini agli studenti)
Esercizi
ESERCIZIO 1
La tabella seguente riporta la distribuzione dei voti
conseguiti in matematica da 26 studenti di una classe.
A
B
C D
E
F
G
H
I
J
K
L
M N
O
7
4
8 9
8
7
7
6
5
4
4
3
7
8
P
Q R S
T
U
W X
Y
Z
5
5
7
8
8
6
4
7 6
9
6
Si individui la tipologia di carattere osservata, si raggruppino
i dati in un’opportuna tabella e si proceda quindi al calcolo
degli opportuni indici di posizione.
Esercizi
ESERCIZIO 2
Le azioni FIAT, in 5 sedute successive della
Borsa di Milano, hanno avuto le seguenti
quotazioni (in euro):
2,98; 2,97; 2,98; 2,99; 2,98
Se una persona ha acquistato, a ogni seduta,
100 azioni, qual è stato il costo medio per
azione? E se ne ha acquistate 200 ad ogni
seduta?
Dal discreto al continuo
Attraverso opportuni esempi (velocita’ di un’auto, altezza
di una persona...) si vogliono portare gli studenti al
passaggio dal discreto al continuo, mostrando come molti
fenomeni reali possono assumere un qualsiasi valore in
un certo intervallo.
Esempio: Rilevazione dell’altezza
Rilevazione dell’altezza degli studenti (piccolo
campione)
istogramma sperimentale
Ampliamento della dimensione del campione
distribuzione teorica continua
Dal discreto al continuo
Consideriamo un grande numero di individui, ad esempio 100.000, si
ottengono 100.000 valori di altezza, compresi tra un minimo ed un massimo.
Si evidenzia che maggiore e’ la numerosita’ del campione, maggiore e’ la
precisione nella determinazione della media e varianza (mm al posto di cm)
Si possono rappresentare graficamente tutti i suddetti valori:
raggruppandoli in classi
costruendo un istogramma (sulle ascisse sono riportati i valori delle altezze
e sull’ordinata la densità di frequenza, che si intende proprio introdurre in
questa sede, come rapporto tra la frequenza relativa e l’ampiezza della
classe)
L’istogramma sarà costituito da tanti rettangoli quante sono le classi in cui
sono stati suddivisi i valori.
Aumentando il numero di classi diminuisce la loro ampiezza e, quindi, la
base dei singoli rettangoli, ma l’area totale dell’istogramma rimane sempre
costante, pari ad uno
Dal discreto al continuo
Area dell’istogramma = somma delle aree di tutti i
rettangoli
Area rettangolo = base * altezza = (ampiezza classe
* densità di frequenza) = frequenza relativa
comprensione di un concetto di per sé
complesso passo passo, partendo proprio dalla
rappresentazione grafica
Al crescere del numero dei rettangoli l’istogramma
tende ad una funzione continua, la cui area vale
ancora uno, detta funzione di densità
Dal discreto al continuo
1.
2.
Si evidenziano:
le distribuzioni teoriche che riproducono andamenti tipici delle distribuzioni
di frequenza (esempio: distribuzione normale o gaussiana)
Il confronto fra istogramma sperimentale ottenuto prima e la distribuzione
gaussiana teorica buona approssimazione del fenomeno considerato
il collegamento con l’analisi, con riferimento al concetto di integrale (area
sottesa ad una curva)
Per gli studenti di un liceo scientifico, -> si approfondirà in analisi il
concetto di integrale indefinito e definito
per gli studenti di un istituto tecnico commerciale -> concetto sviluppato
solo a livello intuitivo, senza eccessivi formalismi
Note la media e la varianza del campione e’ possibile calcolare in modo preciso la
percentuale di popolazione avente altezza compresa in un certo intervallo,
evitando cosi’ di sommare le aree dei singoli rettangoli dell’istogramma
Probabilità
Con la statistica si analizzano dati certi, osservati ex post,
mentre con la probabilità si introduce il concetto di evento
aleatorio, inteso come accadimento il cui esito sia incerto.
A tal fine si fornisce una serie di esempi:
il numero di automobili che transitano su un’autostrada in un
dato giorno
l’uscita di un dato numero al gioco del lotto
il valore che può assumere un titolo azionario
la temperatura registrata in una giornata
l’altezza di un alunno in una classe
Si va così a definire il concetto di probabilità, nodo concettuale
problematico dal punto di vista definitorio e didattico
ESEMPIO 1
Probabilità
Luisa, che sa della fine della mia storia con Mario, ed ama gli indovinelli, mi dice: «Sai,
viene a trovarmi per qualche giorno Sergio, un mio lontano cugino, dall'Emilia. Potremmo
andare a cena assieme, e poi, chissà, potrebbe nascere qualcosa! Sergio non è molto
alto, ma ha un bell‘ aspetto, anche se porta gli occhiali. Gli piace leggere. È un po'
taciturno, ma quando parla sa essere piacevole. Non ti dico altro.
Prova a indovinare che mestiere fa: (A) il magistrato, (B) il bibliotecario, (C) l'agricoltore,
(D) l'attore o (E) il dentista?» In assenza di altre informazioni su Sergio e, in generale,
sui parenti di Luisa, ipotizzando che Luisa sappia che io non ho particolari preferenze per
un mestiere o l'altro, … come dovrei rispondere per individuare il mestiere più probabile?
In effetti, si può osservare proprio come fra i mestieri indicati, in Emilia, e
in tutte le regioni italiane, il più frequente è di gran lunga sicuramente
l'agricoltore. E ai nostri giorni anche gli agricoltori portano gli occhiali, e
leggono. Solo qualche stereotipo, e l'assenza di considerazioni
statistiche, potrebbe indurre a pensare che la risposta OK sia
"bibliotecario". Diversa, ovviamente, sarebbe la situazione se Luisa
avesse 5 cugini che fanno i mestieri indicati.
Probabilità
ESEMPIO 2
Lancio ripetutamente un dado (non truccato).Quale tra i seguenti fatti è più probabile?
(A) Ottenere di fila 5,2,1,4,3,6 (B) Ottenere di fila 5 volte 6
(C) Ottenere di fila 1,2,3,4,5,6 (D) Ottenere di fila 6 volte 1
(E) Ottenere di fila 1,1,2,2,3,3
Se lancio un fissato numero di volte un dado non truccato, tutte le sequenze
di uscite hanno la stessa probabilità: non c'è motivo per cui, facendo 3 lanci,
333 sia meno probabile di, ad es., 524.
Nel nostro caso il fatto più probabile è (b) in quanto si tratta di una sequenza
tra tutte le possibili (e tra loro equiprobabili) sequenze di 5 uscite; tutte gli
altri fatti sono meno probabili: si tratta di una sequenza tra tutte le possibili
sequenze di 6 uscite, che sono molte di più (sono 6 volte la quantità delle
sequenze di 5 uscite: la probabilità di B è 6 volte la probabilità di ciascuno
degli altri eventi).
Probabilità
Difficoltà degli studenti nella comprensione della
probabilità:
È diffusa l’idea che una successione "regolare" di uscite
sia più improbabile di una uscita meno regolare.
Esercizi di questo genere sono assai utili per mettere in
luce le misconcezioni e aprire con gli alunni momenti di
discussione su di esse.
Si mostreranno quindi le differenti “definizioni” di
probabilità (classica e frequentista), mostrandone altresì
i limiti
Probabilità
Si introduce il concetto di variabile aleatoria (grandezza che può assumere
valori differenti in modo imprevedibile).Esempi:
il numero di teste che si presentano lanciando n monete,
la velocità di un’auto in un determinato istante,
il n° dei centri di un bersaglio nel tiro al piattello su n colpi,
il n° di carte di cuori estraibili da un mazzo di 40,con o senza reinserimento
la statura di una persona
Si introducono quindi i concetti di:
variabili aleatorie discrete -possono assumere solo determinati valori
variabili aleatorie continue -assumono qualsiasi valore entro un certo intervallo
Per definire in modo esauriente una variabile aleatoria è necessario definire
sia i valori che la grandezza può assumere sia con quale probabilità può
assumere tali valori, ovvero si deve definire la sua distribuzione di
probabilità (funzione di probabilità)
Probabilità
1.
2.
3.
Si introducono esempi di variabili aleatorie discrete (evidenziando come
discreto non implichi finito)
Si procede ad una loro rappresentazione grafica (istogrammi) Esempio:
di distribuzione di probabilità discreta: binomiale (prob. di ottenere x
successi in n prove indipendenti)
Analogamente e specularmente a quanto osservato con riferimento alle
distribuzioni di frequenza di fenomeni statistici, si procede al passaggio
al continuo anche per le variabili aleatorie.
In particolare si fa notare attraverso esempi opportuni con l’ausilio di
software (ad esempio Stat o Excel) come, aumentando il numero delle
prove effettuate, l’istogramma sperimentale converga ad una
distribuzione teorica continua, come ad es. la gaussiana o uniforme
Si vuole anche evidenziare come esistano fenomeni che
presentano andamento continuo irregolare (es.: peso degli
individui), non rappresentabili mediante distribuzione
gaussiana o uniforme
Probabilità
ESEMPIO: altezza di una popolazione di individui
Si può mostrare come l’istogramma sperimentale sia ben
approssimabile dalla distribuzione gaussiana teorica, avente
media e varianza della popolazione in esame.
Note media e varianza, e’ possibile calcolare la probabilita’ che
l’altezza degli individui sia compresa in un certo intervallo
Probabilità
1.
2.
3.
L’area sottesa alla curva in un certo intervallo
In statistica : rappresenta la percentuale, ovvero la frequenza relativa,
di soggetti aventi carattere con valori in tale intervallo
In probabilità: rappresenta la probabilità che l’evento assuma valori
in tale intervallo. Tale area, ovvero la probabilità, potrà essere
calcolata tramite
calcolo integrale
qualora trattasi di particolari distribuzioni, quale la gaussiana uso
di tavole o, piu’ opportunamente, tramite calcolatrice o software
qualora trattasi di distribuzione uniforme geometria (area
rettangolo)
Il passo conclusivo può essere quello di passare al concetto di
inferenza, mostrando come, nota la distribuzione del campione, sia
possibile passare alla distribuzione della popolazione con un certo
livello di confidenza (stima)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Conclusioni
Tipologie di difficoltà incontrabili dai discenti:
difficoltà a distinguere il concetto di carattere da quello di frequenza
difficoltà a raggruppare opportunamente i dati in classi
difficoltà riscontrabili nel passaggio dal discreto al continuo relative
alla non consapevolezza dell’ importanza della numerosità del
campione, (in quanto solo con popolazioni ampie vale la legge dei
grandi numeri e la convergenza della distribuzione discreta verso
quella continua)
difficoltà tipica del pensiero probabilistico, ovvero l'idea che una
successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita
meno regolare
difficoltà di comprensione della differenza fra fenomeno statistico ed
evento aleatorio
In generale, difficoltà legate ad un atteggiamento di pensiero, che
potrebbero condizionare la vita sociale molto di piu’ rispetto ai
tradizionali concetti matematici
