Soluzioni prova del 7 dicembre 2005

Soluzioni esame del 19 dicembre 2005
Esercizio 1
Uno studente misura la densità di un liquido cinque volte e ottiene i seguenti risultati in g/cm 3:
1.8, 2.0, 2.1, 1.9, 1.8. (a) Qual è il valor medio? (b) Qual è l’incertezza sul valor medio?
Si tratta di calcolare la media:
N


i 1
i
=
N
1.8  2.0  2.1  1.9  1.8
= 1.9 g/cm3
5
L’incertezza sul valor medio è data da:
N
 
 (
i 1
i
 )2
N ( N  1)

0.12  0.12  0.2 2  0 2  0.12
 0.06 g/cm3
5*4
Quindi
  (1.9 ± 0.1) g/cm3
Esercizio 2
Due corpi di massa m1 e m2 sono collegati da una corda leggera, come indicato in figura. Il piano
inclinato e il piolo sono privi di attrito. (a) Sapendo che la massa m1 è pari a 50 kg (filaB 100 kg)
e che il piano è inclinato di 30°, si trovi la massa m2 affinché il sistema sia in equilibrio. (b) Si
trovi la tensione della corda. Se la corda viene tagliata il blocco di massa m1 inizierà a scivolare
sul piano inclinato, (c) calcolare l’accelerazione della massa m1 e (d) la velocità con cui arriva a
terra sapendo che h = 2 m. (e) Calcolare il lavoro.
Dati:
m1 = 50 kg
30°
(a) m2?
(b) T?
T
T
m2
m2g
m1
m1g
h

T = m2 g
Sostituisco nell’equazione 2)
m1g sen – m2g = 0
m1 = 100 kg
Se il sistema è in equilibrio a = 0
Considero le forze applicate a ciascuna massa:
1) m2g – T = 0
2) m1g sen – T = 0
Dall’equazione numero 1) ricavo la tensione
fila B
(a) m2 = m1 sen50 * 0.5 = 25 kg
(b) T = m2g = 25*(9.8) = 245 N
(a) fila B
(b) fila B
m2 = m1 sen100 * 0.5 = 50 kg
T = m2g = 50*(9.8) = 490 N
Quando la corda viene tagliata la massa m1 inizia a scivolare sul piano inclinato; non ho più la
tensione della corda e l’equazione del moto diventa:
m1g sen = m1a
(c) L’accelerazione della massa m1 è: a = g sen 4.9 m/s2
(d) Per calcolare la velocità con cui la massa m1 arriva al suolo uso la conservazione dell’energia:
1
m1gh = m1v2
2
v = 2 * g * h  2 * 9.8 * 2  6.26 m/s
In alternativa uso le equazioni del moto uniformemente accelerato:
1
x = a t2 + v0 t + x0
2
v = at + v0
v0 = 0; x0 = 0, devo trovare v quando la massa ha percorso la distanza L = 4 m
1 2
at
2
2) v = at
1) L =
ricavo il tempo dall’equazione 2) e sostituisco nell’equazione 1)
v
t=
a
1 v2
L=
; v  2 * a * L  2 * 4.9 * 4 = 6.26 m/s
2 a
(e) Calcolare il lavoro compiuto dalla forza di gravità:
applico la definizione di lavoro W = F ∙ L = m1g * L * cos = 50 * 9.8 * 4 * cos(60°) = 980 J
fila B
applico la definizione di lavoro W = F ∙ L = m1g * L * cos = 100 * 9.8 * 4 * cos(60°) = 1960 J
oppure ricordo che W = Ecf - Eci = 1/2m1vf2 – 0 = 0.5 * 50 * (6.26)2 = circa 980 J
oppure ricordo che per le forze conservative W = m1ghi -m1ghf = 50 * 9.8 * 2 – 0 = 980 J
Esercizio 3
Un corpo di m è sostenuto da una molla verticalmente che ha una costante elastica k pari a 1500
N/m. Se lo si tira giù allontanandolo di 2.5 cm dalla posizione di equilibrio e poi lo si lascia
andare, esso oscilla con frequenza  = 4.5 Hz. (a) Si trovi il periodo di oscillazione e (b) la massa
m. (c) Si scrivano le equazioni per lo spostamento, la velocità e l’accelerazione in funzione del
tempo t. (d) Si trovi di quanto si è allungata la molla, rispetto alla sua lunghezza naturale, quando
il corpo è in equilibrio.
Dati
k = 1500 N/m
A = 2.5 cm = 2.5E-2 m
 = 4.5 Hz
(a) Il periodo è pari all’inverso della frequenza. T =
1
= 0.22 s
4 .5
(b) calcolare m:
La massa si muove di moto armonico.
Per il moto armonico vale la seguente legge:
ma = -kx; quindi:
1) a = -(k/m) x
L’accelerazione si può esprimere anche attraverso l’equazione 2):
2) a = -2x
dove  = 2.
Eguagliando le equazioni 1) e 2) si ottiene:
2 = k/m
(b) m = k / (2)2 = 1500 / (2**4.5)2 = 1.88 kg
(c) Scriviamo le equazioni per lo spostamento che indicheremo con y dal momento che avviene
lungo la verticale:
y = A sen(t) = 2.5E-2 sen (9 t)
v = A  cos(t) = 2.5E-2 * (9 cos (9 t)
a = -A 2 sen(t) = -2.5E-2 * (9 )2 sen (9 t) = - (9 )2 y
Trovare l’allungamento in condizione di equilibrio:
mg - ky = 0
y = mg / k = (1.88 * 9.8)/1500 = 1.23E-2 m
Esercizio 4
Un pipistrello emette ultrasuoni aventi lunghezza d’onda di 3.3 mm. Qual è la frequenza
corrispondente a questa lunghezza d’onda sapendo che la velocità del suono in aria è 343 m/s?
v = 
 = v /  = 343 / 3.3E-3 = 1.04E5 Hz
Esercizio 5
Due cariche q1 = 10.0 nC e q2 = -7.0 nC sono sull’asse x rispettivamente nei punti x1 = 5 cm e x2
= - 5 cm. (a) Si trovino il modulo e la direzione orientata del campo elettrico sull’asse x nel punto
x = 2 cm. (b) Qual è la forza esercitata su una carica di prova q0 = 2 nC posta in questo punto?
q2
y
+
q1
x
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme è dato da:
q
10E - 9
90
E 1  k 21
quindi
E 1  9E9

 1E5 N/C
2
9E - 4
r
(0.05 - 0.02)
q
7E - 9
E 2  k 22
quindi
E 2  9E9
 1.3E4 N/C
r
(0.05  0.02) 2
Il modulo del campo elettrico in x = 2 è dato dalla somma dei campi elettrici E1 e E2.
Etot = 1E5 + 1.3E4 = 11.3E4 N/C
Direzione: asse x
Verso: negativo
(b) La forza agente sulla carica di prova posta in x = 2 cm è data :
F = q0 * E = 2 E-9 * 11.3 E4 = 22.6E-5
Esercizio 6
Uno specchio sferico concavo che ha il raggio di curvatura di 30 cm. Si usino la costruzione
grafica e le formule per localizzare la posizione dell’immagine di un oggetto posto a 50 cm dallo
specchio. Dire se l’immagine è dritta o capovolta, reale o virtuale e calcolare l’ingrandimento.
s = 50 cm
r = 30 cm
f = 15 cm
Asse focale
C
F
Dalla costruzione è evidente che l’immagine che si forma è CAPOVOLTA e REALE.
Calcolo la posizione dell’immagine s’:
1/s + 1/s’ = 1/f
1/s’ = 1/f – 1/s
1/s’ = 1/15 -1/50
s’ = 21.4 cm
L’ingrandimento G = - s’/s = -21.4/50 = -0.43
L’immagine è rimpicciolita.
Esercizio 7
Su una pista realizzata su un’area desertica, un’automobile raggiunge la velocità record di 855
km/h; essa è capace di rallentare con una decelerazione di 9.8 m/s2. (a) Quanto tempo impiega per
fermarsi? (b) Che distanza percorre durante la frenata?
Si tratta di un moto uniformemente decelerato.
v0 = 855 km/h = 855/3.6 = 237.5 m/s
a = 9.8
Quando si ferma ha percorso la sua velocità finale è 0.
1
1) x = - a t2 + v0 t
2
2) v = -at + v0 = 0
Ricavo il tempo dalla seconda equazione
(a) t = v0/a = 237.5 / 9.8 = 24.2 s
1
(b) Sostituisco t nella prima equazione x = - a t2 + v0 t
2
1
x =  * 9.8 * 24.2 2  237.5 * 24.2 = 2877.9 m
2