CALCOLO DI LIMITI (I parte)

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CALCOLO DI LIMITI (I parte)
Limiti di funzioni continue
Data una funzione definita in un dominio A e un punto
se e solo se :
interno ad A, si dice che
è continua in
Quindi, per calcolare il limite di una funzione continua, occorre calcolare il valore della funzione
nel punto cioè sostituire il valore nella funzione.
Esempio
Esercizio 1
Calcola i seguenti limiti di funzioni continue:
3x  2
2x
(a) lim
(b) lim 2
x 1 x  3
x 0 x  1
x
arcsen e x
(d) lim
(e) lim
x0
x  3 arctgx
 
log 2 x  1
x 1 log  x  3
2
(c)
lim
(f)
lim sen 2 x  cos 2 x
x 0


Limiti di funzioni non continue (limiti immediati)
Si tratta di limiti di funzione che nel punto c hanno un punto di discontinuità. Per calcolarli occorre
fare riferimento all’andamento del grafico della funzione. (nel file “grafici di funzioni elementari”,
tutti i grafici utili al calcolo di questi limiti)
Esempio
Tenendo conto che il grafico della funzione logaritmo è:
Otteniamo
Attenzione – Le parentesi quadre stanno ad indicare che l’espressione interna non ha significato
dal punto di vista matematico (la funzione logaritmo non è definita nello 0), ma è utile come aiuto
nel calcolo.
Esercizio 2
Calcola i seguenti limiti immediati di funzioni non continue nel punto c:
1
x 1
arccos x
(a) lim cos x
(b) lim
(c) lim 2 x 1
x 0
x
ln x
x 1
2
(d)
(g)
x
x  arctgx
lim  ln cos x 
lim
x

(e)
ex
x   x  3
(h)
lim e
lim
2
sen
x 
1
x
(f)
(i)
x
lim
x 1
2
x
ln x

1

lim arctg ln 3 x
x 

Forma indeterminata
Un limite che, dopo una prima “sostituzione”, si presenta nella forma
, non può essere risolto
immediatamente, ma richiede una procedura particolare.
La procedura consiste nel raccogliere a fattore comune la potenza maggiore della
numeratore, sia al denominatore.
sia al
Esempio
Se la funzione è algebrica:
Si individua la potenza maggiore della x che in questo caso è
e si raccoglie sia al numeratore sia al denominatore
Si semplifica
E si calcola nuovamente il limite tenendo conto che se
infinito,
tende a zero, come pure
,
tende ad
, ecc
se la funzione non è algebrica:
Si individua la potenza maggiore che in questo caso è
raccoglie
sia al numeratore sia al denominatore
Si semplifica
e si calcola nuovamente il limite tenendo conto che se il
denominatore tende ad , la frazione tende a 0
e si
Esercizio 3
Calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma
(a)
lim
3x  2
x  x  3
(b)
(d)
lim
1 x2
x  1  x 2
(e)
x2  2
lim
x   x  2
22x  1
lim x
x  2  1
(c)
2x 3  2x  1
lim
x  x 4  2 x 2  3
Forme indeterminate (algebriche)
Anche i limiti che, dopo una prima “sostituzione”, si presentano nella forma , non possono essere
risolti immediatamente, ma richiedono una procedura particolare.
La procedura consiste nello scomporre in fattori irriducibili sia al numeratore, sia al denominatore e
semplificare il fattore comune che necessariamente deve comparire. Nel caso di funzioni irrazionali
potrebbe essere utile la razionalizzazione del numeratore o del denominatore per mettere in
evidenza il fattore da semplificare.
Esempio
Si scompone il numeratore e il denoominatore
Si semplifica il fattore comune
e si calcola nuovamente il limite, sostituendo
alla
Esercizio 4
Calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma
(a)
lim
x 2  3x  2
x 1
(b)
lim
(d)
lim
3x  3
3
x  2x 2  x
(e)
x 3  3x  2
lim 4
x 1 x  3 x 2  2
x 1
x 1
x2
x2  4
x3  8
(c)
x2  x  2
x  1 x 3  x 2  3 x  3
(f)
x 3  6 x 2  11x  6
lim
x 3
x 3  27
lim
Forme indeterminate
Si tratta normalmente di limiti di funzioni irrazionali che si presentano nella forma:
Se il grado di e il grado di sono diversi è possibile risolvere immediatamente il limite, tenendo
conto che l’andamento della funzione sarà stabilito dalla funzione di grado maggiore. Se invece le
due funzioni hanno lo stesso grado si procede ad una razionalizzazione e si calcola di nuovo il
limite.
Esempio1
È una forma indeterminata
. Si nota che la seconda
funzione ha grado maggiore della prima, quindi la seconda
funzione determinerà il valore del limite
Esempio2
È una forma indeterminata
. Questa volta le
due funzioni sotto radice sono dello stesso grado,
quindi si procede ad una razionalizzazione,
moltiplicando numeratore e denominatore per
Si calcola il prodotto al numeratore:
e si ricalcola il limite:
Esercizio 5
Calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma
(a)
(d)
lim

lim
x
x 
x 
x 1  x
2

 x  x2  x
(b)

(e)
lim
x
2
x 
lim
x
2
x
1  x

xx

:
(c)
lim
x
x
2
1  1 x

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