modulo di Elettrotecnica Elettrici 2000/01 2° semestre

A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
pag. 1
Anno Accademico 2002/2003 I anno –II sem. :Corso di Laurea in Ing. Elettrica
Corso di Fondamenti di circuiti elettrici
(prof.G.Lupò)
Dettaglio degli argomenti svolti
Rinvii ai testi
Testi di riferimento:
[1] F. GASPARINI – Fondamenti di Elettrotecnica – (draft)
[2] G. LUPO'- Note integrative distribuite durante il corso
Sito di riferimento:
www.elettrotecnica.unina.it
Testi di consultazione:
[1] C.MENCUCCINI –V. SILVESTRINI – Fisica II – Elettromagnetismo – Ottica – Liguori Editore 1998
[2] L. DE MENNA - Elettrotecnica ed. Pironti, Napoli 1994 e successive
[3] I. D. MAYERGOYZ – W. LAWSON – Elementi di Teoria dei Circuiti Elettrici – UTET 2000
[4] L.O. CHUA, C. DESOER, E. KUH, Circuiti lineari e non lineari, ed. Jackson, Milano, 1991
[5] G. MIANO – Introduzione ai circuiti – Versione in rete per allievi TLC
[6] S. BOBBIO, E. GATTI, Elettromagnetismo e Ottica, ed. Boringhieri, Torino, 1991
[7] F. BAROZZI, F. GASPARINI, Fondamenti di Elettrotecnica - Elettromagnetismo, ed. UTET,
1989
[8] G.MIANO, Lezioni di Elettrotecnica,ed. CUEN 1998
Testi di esercizi:
[9] S. BOBBIO, Esercizi di Elettrotecnica, ed. CUEN, Napoli, 1995
[10] G. FABRICATORE, Esercizi di Elettrotecnica, ed. Liguori, Napoli, 1977
[11] S. BOBBIO, L. DE MENNA, G. MIANO, L. VEROLINO Esercizi di Elettrotecnica, ed. CUEN
1998
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Lezione n.1 del 10/3/03 (2h)
Introduzione al Corso, collegamenti con le altre
discipline Fenomenologia e modelli dell' elettromagnetismo.
Carica – Campo elettrico
Corrente elettrica –Intensità– Amperometro
ideale
Rappresentazione di circuiti elettrici
Definizioni fondamentali:
Corrente Elettrica : fenomeno di migrazione (deriva, drift) di cariche elettriche; tale
“moto medio” (che avviene a velocità dell’ordine di 0.1 mm/s) va nettamente distinto
dal moto di agitazione termica (con valori istantanei della velocità anche di km/s); il
detto moto medio viene indicato come corrente elettrica di conduzione (in altri casi
possono aversi correnti di convezione o come vedremo, correnti di spostamento); al
fenomeno possiamo quindi associare il campo vettoriale di velocità di migrazione v
delle particelle.
Conduttori : materiali in cui possono aver luogo significativi fenomeni di
migrazione di carica; i conduttori più diffusi sono metallici; possono tuttavia
manifestarsi rilevanti fenomeni di conduzioni in altri materiali solidi, in liquidi ed in
particolari condizioni anche nei gas.
Isolanti : materiali che non consentono significativi fenomeni di migrazione di
carica; gli isolanti possono essere solidi, liquidi e gassosi; l’isolante ideale è il vuoto
assoluto.
Lezione n.2 del 17/3/03 (2h)
Riferimenti per la valutazione dell’intensità della
corrente elettrica – Amperometro ideale
Definizioni fondamentali:
Tratto di circuito filiforme: conduttore la cui lunghezza è molto maggiore della
dimensione media trasversale; nel caso di tratto a sezione costante, si può ammettere
che il campo di velocità v sia parallelo all’asse del conduttore.
Intensità della corrente elettrica nei circuiti filiformi: si considera una sezione
retta S del conduttore filiforme, per la cui normale si fissi un orientamento arbitrario
n; si considera la carica totale q che attraversa S in un generico intervallo di tempo
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t1; il limite per t che tende a zero del rapporto q /t, se esiste2, è per definizione
la intensità I della corrente elettrica attraverso la sezione considerata secondo il
riferimento n. 3
Misura della corrente elettrica nei circuiti filiforme: l’amperometro ideale
Il calcolo di q/t può essere pensato effettuato da uno strumento ideale
(amperometro ideale) a due morsetti 1-2, inseriti idealmente nella sezione S ed
ordinati in modo che 2 segua 1 nel verso di n.
Lezione n.3 del 19/3/03 (2h)
Il Sistema internazionale di Misura
Moto stazionario di carica in migrazione in
conduttore filiforme
Effetto Joule – Potenza dissipata
Tensione elettrica, funzione potenziale
Voltmetro ideale
Bipoli – Convenzioni sui bipoli
Legge di Ohm
Definizioni fondamentali:
Moto stazionario di cariche in migrazione in conduttore filiforme: indipendenza
dell’intensità della corrente dalla sezione considerata, fissati riferimenti congruenti.
Se il caso non è stazionario, occorrerà considerare, per ogni sezione, il valore
istantaneo dell’intensità della corrente i(t)S= limt0 =q/tS. Se il caso è
stazionario, non vi è variazione media della carica in moto in ogni volume; in ogni
punto è costante la velocità v di migrazione (non considerando il moto di agitazione
termica e il moto vario nell’intervallo tra due interazioni4. Si può quindi ritenere che
sia nulla, in media, la risultante delle forze che agiscono sulla carica q in movimento,
nel nostro caso la forza qE nel senso del moto ed una “forza d’attrito equivalente” –
kv diretta in senso opposto alla prima.
Effetto Joule: l’interazione tra le cariche in moto con le altre particelle comporta
(tranne nel caso dei “superconduttori”) una cessione di energia. Il tratto di conduttore
si riscalda; la quantità di energia ceduta e trasformata in calore nell’intervallo di
tempo t dipende dalla carica trasportata e dalla natura e geometria del tratto. Se q è
la carica che ha attraversato ogni sezione S del tratto A-B il lavoro compiuto dalle
forze del campo è £=q E lAB [ = q (VA-VB) se il campo è conservativo].
ovviamente la carica q si intende “letta e pesata” secondo il riferimento n: si valutano con un
coefficiente (+1) le cariche che si muovono attraverso S nel verso di n, con un coefficiente ( –1 ) le
cariche che si muovono nel verso opposto; ogni carica ha e mantiene ovviamente un proprio segno.
2
Se il rapporto è indipendente da t la corrente elettrica viene detta stazionaria.
3
Se avessimo considerato un riferimento n’=-n avremmo ovviamente calcolato una intensità della
corrente elettrica secondo il riferimento n’, per cui l’intensità della corrente sarebbe stata I’=-I.
4
per il rame tale tempo è dell’ordine di 10-14 s
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Potenza dissipata: la potenza messa in gioco dalle forze del campo e trasformata (in
questo caso) in calore si ottiene dal rapporto tra lavoro svolto e il tempo di
osservazione :
P= £/t =q (VA-VB) /t= (VA-VB) I.
Tensione elettrica tra due punto A e B lungo una curva : è l’integrale del campo
elettrico tra A e B lungo la linea  e si indica con VAB; se tale integrale non dipende
dalla particolare curva, il campo è conservativo e quindi VAB= VAB coincide con la
differenza di potenziale (VA-VB).
Voltmetro ideale: è lo strumento che realizza il calcolo della tensione elettrica;
l’indicazione dello strumento dipende in generale dalla curva  su cui esso si
immagina “disteso”5.
bipolo : caratterizzazione del funzionamento di una regione di spazio interessata da
corrente elettrica accessibile da due punti A-B (primo e secondo morsetto o
terminale) e per cui possa essere fissato un riferimento per la valutazione
dell'intensità di corrente I [ IAB oppure IBA] e un riferimento per la tensione V [VAB
oppure VBA].
Convenzioni: per un bipolo qualsiasi A-B è possibile abbinare in quattro modi i
riferimenti I e V; definiamo convenzione dell'utilizzatore l'abbinamento VAB-IAB o
l'abbinamento VBA-IBA e convenzione del generatore l'abbinamento VAB-IBA o
l'abbinamento VBA-IAB.
Caratteristica di un bipolo: legame V=f(I) oppure I=g(V), fissati gli abbinamenti di
cui sopra. Tale legame può essere anche non analitico.
Legge di Ohm : per un tratto A-B di conduttore metallico filiforme operante a
temperatura costante si verifica sperimentalmente con buona approssimazione la
relazione VAB=R IAB con R numero positivo (al limite nullo) e costante in un ampio
intervallo di valori di IAB. Il tratto A-B viene classificato come resistore; in termini
commerciali per resistore si intende un componente per le applicazioni circuitali ed
industriali (stufe, forni, scaldabagni, ...).
Considerando sempre il parametro R0, la legge di Ohm si scrive anche nel seguenti
modi:
VAB=-R IBA
VBA=-R IAB
VBA=R IBA
5
una realizzazione di voltmetro ideale potrebbe essere ottenuta distendendo una fibra ottica tra A e B
lungo la curva assegnata: la caratteristiche di una luce polarizzata entrante in A sono modificate dalla
presenza del campo elettrico lungo il percorso; la luce uscente da B contiene quindi una informazione
correlata all’integrale del campo elettrico lungo il percorso. I voltmetri reali sono molto meno
sofisticati e realizzati su più semplici principi (legge di Ohm,..).
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Lezione n.4– 24/03/2003 (2h)
Resistore ideale
Resistenza - Resistività
Conduttanza - conducibilità
Resistività dei materiali
Classificazione dei bipoli
Esempi di bipoli ideali
Generatore ideale di tensione
Generatore ideale di corrente
Resistore ideale: Bipolo ideale A-B di caratteristica V=R I ( oppure I = G V) se
viene adottata la convenzione dell'utilizzatore o di caratteristica V= - R I (o I = -GV)
se viene adottata la convenzione del generatore sul bipolo A-B . Le costanti positive
R e G vengono chiamate resistenza e conduttanza del bipolo e si misurano in ohm
[] e siemens [S] rispettivamente.
Resistenza - Resistività (vedi nota A): nel caso di un tratto A-B di conduttore
filiforme omogeneo a sezione costante S di lunghezza lAB e a temperatura costante ed
uniforme, si valuta che la resistenza R del tratto, è proporzionale alla lunghezza lAB ed
inversamente proporzionale alla sezione S. Il coefficiente di proporzionalità
costituisce la resistività (si indica con la lettera greca -eta- oppure -rho- e si
misura in ohm per metro [m]); il suo inverso viene chiamato conducibilità (si
indica con la lettera greca -gamma- oppure -sigma- e si misura in
siemens/metro[S/m]). Occorrerà valutare opportunamente R nel caso che il
conduttore non sia omogeneo ovvero non sia a sezione costante.
Classificazione dei bipoli:
- bipoli pilotati in tensione : nella caratteristica I=g(V) ad ogni valore della tensione
corrisponde un solo valore dell'intensità di corrente;
- bipoli pilotati in corrente : nella caratteristica V=f(I) ad ogni valore dell'intensità di
corrente corrisponde un solo valore della tensione;
- bipoli pilotati in tensione ed in corrente: caratteristica invertibile.
- bipoli simmetrici: caratteristica simmetrica g(V)=-g(-V) ovvero f(I)=-f(-I);
- bipoli inerti: la caratteristica passa per l'origine: g(0)=0 ovvero f(0)=0;
- bipoli lineari : se ad esempio V'=f(I') e V"=f(I"), si ottiene V=V'+V"=f(I')+f(I");
Esempi di bipoli ideali:
- bipolo resistore ideale : caratteristica lineare, inerte, simmetrica, invertibile.
- bipolo corto-circuito ideale: per ogni valore di I, qualunque sia la convenzione
adottata, la tensione è nulla (caratteristica coincidente con l'asse delle I); tale
caratteristica lineare, inerte, simmetrica, non invertibile (bipolo pilotato in corrente);
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- bipolo aperto (o circuito aperto) ideale: per ogni valore di V, qualunque sia la
convenzione adottata, l'intensità di corrente è nulla (caratteristica coincidente con
l'asse delle V); tale caratteristica lineare, inerte, simmetrica, non invertibile (bipolo
pilotato in tensione).
Generatore ideale di tensione
E' un bipolo ideale caratterizzato da una tensione ai morsetti A-B indipendente dalla
corrente I, qualunque convenzione sia stata adottata. La caratteristica è quindi una
retta parallela all'asse delle I. Il simbolo comunemente adoperato è un pallino con un
contrassegno (*,+,1, etc.) su un morsetto ( trattasi quindi di bipolo ordinato) con
indicazione numerica E, che indica il valore della tensione valutata tra il morsetto
contrassegnato (primo morsetto) e l'altro (secondo morsetto). Il valore E può essere
positivo, negativo o nullo; al proposito si pone in evidenza che un generatore di
tensione nulla è equivalente ad un bipolo cortocicuito ( la caratteristica è la stessa).
Generatore ideale di corrente
Trattasi di bipolo fondamentale, duale del generatore di tensione ideale, con
caratteristica I=I* (costante) qualunque sia la tensione ai morsetti. Il generatore di
corrente è un bipolo normale (non lineare) e non simmetrico. Si rappresenta in genere
con un cerchietto con barra trasversa e morsetti "ordinati".
Equivalenza di bipoli
Un bipolo A-B è equivalente ad un altro bipolo A’-B’ se, fissate due convenzioni
omologhe V-I e V’-I’ (ad esempio si considerano i riferimenti VAB-IAB per il primo
bipolo e VA’B’-IA’B’ per il secondo bipolo), i due bipoli hanno caratteristiche uguali.
Lezione n.5– 31/03/2003 (2h)
Bipoli isteretici
Collegamento di bipoli - Punto di lavoro
Collegamento resistore-generatore
Collegamenti in serie e in parallelo di bipoli
Casi patologici
Generatore reale di tensione
Generatore reale di corrente
Bipoli isteretici
La caratteristica V-I di questi bipoli si presenta disegnata da una traiettoria complessa
che dipende dalla “storia” subita (ad esempio se tensione o corrente stanno crescendo
o decrescendo) e dai valori massimi assunti . Tale caratteristica è tipica dei
componenti che fanno uso di materiali ferromagnetici o ferroelettrici.
Collegamento di bipoli – Punto di lavoro
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Collegare due bipoli significa considerare una identificazione formale dei morsetti.
Ad esempio il bipolo AB potrà essere collegato al bipolo A’B’ considerando A=A’ o
A=B’ o B=A’ o B=B’ ovvero (A=A’ e B=B’) ovvero (A=B’ o B=A’). In questi ultimi
due casi si costituisce un circuito semplice. Note le convenzioni V-I, V’-I’ assunte
sui due bipoli e le relative leggi caratteristiche tensione-corrente, è possibile valutare
se esistono una o più soluzioni compatibili con il collegamento previsto.
Risoluzione grafica: si riportano “congruentemente” su uno stesso piano la
caratteristica V-I del primo bipolo e la caratteristica V’-I’ del secondo bipolo,
considerando che può essere V=V’ e I=I’.
Nel caso di collegamento generatore ideale di tensione E-resistore R si ha sempre un
solo punto di lavoro di coordinate I=E/R V=R.
Nel caso di collegamento generatore ideale di tensione E – generatore ideale di
corrente J sia ha un solo punto di lavoro V=E, I=J.
Nel caso di collegamento generatore ideale di tensione – lampada a scarica si hanno
due soluzioni se E<V*, una soluzione nel caso E=V*, nessuna soluzione per E>V*
(fig.5.1).
Nel caso di collegamento di due generatori ideali di tensione E ed E’, si avranno
infinite soluzioni (l’intensità di corrente può essere qualsiasi) se V=V’=E=E’, non si
avrà nessuna soluzione se EE’.
Nel caso di collegamento di due generatori ideali di corrente J ed J’, si avranno
infinite soluzioni (la tensione può essere qualsiasi) se I=I’=J=J’, non si avrà nessuna
soluzione se JJ’.
Poiché i casi con nessuna soluzione o con infinite soluzioni non hanno riscontro
fisico ( un sistema fisico stazionario ammette sempre una soluzione, salvo
distinguerla da altre possibili6, in base alla “storia” subita dal componente reale ed
eventuali criteri di stabilità). Tali casi si definiscono patologici. Ricordiamo al
proposito che un generatore ideale di tensione non può essere cortocircuitato,
ovverosia collegato ad un bipolo cortocircuito ideale, così come un generatore ideale
di corrente non può essere aperto, ossia collegato ad un bipolo aperto.
Principio di sostituzione
Se il punto di lavoro P della connessione tra un bipolo B1 ed un bipolo B2 è unico,
esso può essere identificato anche sostituendo ai bipoli suddetti due bipoli B1* e B2*
le cui caratteristiche comprendano il punto P e questi rappresenti ancora l’unico
punto di lavoro. Ad esempio, in una connessione generatore ideale di tensione(E)resistore ideale(R) che ha come punto di lavoro il punto P di coordinate (E, E/R), si
può sostituire al resistore un generatore di corrente ideale I*=E/R; il punto di lavoro
P* della nuova connessione ha le stesse coordinate del punto P.
Le sostituzioni sono sempre ammesse se il punto di lavoro è unico prima e dopo la
sostituzione. Attenzione quindi ai casi patologici.
Serie e parallelo di bipoli
Due (o più) bipoli si dicono in serie diretta o semplicemente in serie se è possibile
stabilire per essi riferimenti congruenti per l’intensità di corrente I e riportabili l'uno
L’insieme delle soluzioni o è finito (come nel caso delle lampade a scarica) o costituisce un insieme
numerabile (come nel caso dei bipoli isteretici).
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all'altro per continuità; in tal caso i valori dell’intensità di corrente sono uguali; se
sono riportabili per continuità riferimenti opposti, i valori sono opposti e la serie si
dirà contrapposta.
Se due o più bipoli in serie sono contigui, potrà essere valuatata la tensione V* ai
capi della serie e si potrà considerare un bipolo equivalente di caratteristica V*-I.
Due (o più) bipoli si dicono in parallelo diretto o semplicemente in parallelo se è
possibile stabilire per essi riferimenti congruenti per la tensione V; in tal caso i valori
della tensione sono uguali; se i riferimenti sono opposti, i valori della tensione sono
opposti e il parallelo si dirà contrapposto.
Se due o più bipoli in parallelo sono contigui, potrà essere valuatata l’intensità di
corrente I* ai morsetti di ingresso del parallelo e si potrà considerare un bipolo
equivalente di caratteristica V-I.*.
Generatore reale di tensione
Nel tratto generatore di un circuito semplice si hanno interazioni tra le cariche in
migrazione e le altre particelle; si avrà quindi comunque una dissipazione analoga a
quanto avviene nei resistori. Inoltre c’è un campo “impresso” (campo motore) di
natura meccanica, chimica, nucleare, … ma comunque non elettrostatica Se non c'è
migrazione ed il campo motore è diverso da zero, questo campo tiene separate le
cariche e crea quindi, all’esterno, un campo “elettrostatico”: ai morsetti del
generatore misureremo una tensione VAB = VABo (tensione a vuoto) . Se annulliamo la
tensione ai capi del tratto generatore, collegando i morsetti ad un bipolo cortocircuito ideale o considerando “fusi” i morsetti A e B, potremo misurare una corrente
I=Icc (corrente di cortocircuito).
Il generatore reale di tensione è caratterizzato dalla serie di un generatore ideale di
tensione di valore pari alla tensione a vuoto VABo, e del resistore di resistenza Rg =
VAbo/Icc (resistenza interna del generatore). In realtà tale schematizzazione ha una
validità abbastanza limitata per i componenti reali.
Il generatore reale di corrente è caratterizzato dal parallelo di un generatore ideale
di corrente di valore pari alla corrente di corto circuito Icc, e del resistore di resistenza
Rg = VAbo/Icc (resistenza interna del generatore).
E’ chiaro quindi che ogni generatore reale di tensione può essere rappresentato con
un generatore reale di corrente e viceversa. I due schemi sono equivalenti ai
morsetti A-B.
Un generatore reale di corrente può essere cortocircuitato così come un generatore
reale di corrente può essere aperto.
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Lezione n.6 (2/4/2003) 2h
Argomenti
Bipolo equivalente alla serie o al parallelo di
bipoli
Partitore di tensione
Partitore di corrente
Bipolo equivalente alla serie e parallelo di bipoli
Se consideriamo un bipolo AB ed un bipolo A’B’ connessi in serie dalla coincidenza
A’=B, assunti per i due bipoli riferimenti congruenti per l’intensità di corrente, ad
esempio tali che IAB=I=I’=IA’B’, il bipolo A-B’ equivalente alla serie AB-A’B’ (la serie
si indica anche con il simbolo ABA’B’) avrà la caratteristica
I[IAB=I’=IA’B’],V[=VAB+V A’B’]
Se consideriamo un bipolo A’B’ ed un bipolo A”B” connessi in parallelo dalla
coincidenza A’=A” e B’=B”, assunti per i due bipoli riferimenti congruenti per la
tensione, ad esempio tali che VA’B’=VA”B”, il bipolo A-B’ equivalente al parallelo
A’B’-A”B” (il parallelo si indica anche con il simbolo AB//A’B’) avrà la
caratteristica I[IA’B’+IA”B”],V[=VA’B’=VA”B”].
Partitore di tensione
Se consideriamo due resistori A’-B’ e A”B” di resistenza R’ ed R” in serie (B'=A"),
il bipolo equivalente ai morsetti A’-B” ha resistenza pari a R= R’+R” (resistenza
equivalente alla serie). Detta V la tensione tra A’ e B”, la tensione V’ tra A’ e B’ è
pari a [V R’/R], la tensione V” tra A” e B” è pari a [V R”/R]. In generale, la tensione
V si “ripartisce” tra resistori in serie secondo la relazione (detta del partitore di
tensione) [Vk=fVV] essendo Vk la tensione sul resistore k-mo; fV vien detto fattore di
partizione e vale Rk/R (dove R è la somma delle resistenze); il segno dipende dalla
scelta del riferimento Vk rispetto a V.
Partitore di corrente
Se consideriamo due resistori A’-B’ e A”B” di conduttanza G’=1/R’ e G”=1/R” in
parallelo (A’=A”=A,B’=B”=B), il bipolo equivalente ai morsetti A-B ha conduttanza
equivalente pari a G=G’+G” (resistenza equivalente pari a R=R’R”/[R’+R”]). Detta I
l’intensità della corrente in ingresso al parallelo A-B, l’intensità della corrente I’ tra
A’ e B’ è pari a I’=I G’/G=I R”/R, l’intensità I” tra A” e B” è pari a I”=I G”/G= I
R’/R. In generale, l’intensità di corrente I si “ripartisce” tra resistori in parallelo
secondo la relazione (detta del partitore di corrente) [Ik=fII] essendo Ik la corrente
nel resistore k-mo; fI vien detto fattore di partizione e vale Gk/G, , dove G è la
somma delle conduttanze; il segno dipende dalla scelta del riferimento Ik rispetto a I.
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Lezione n.7 (7/4/2003) 2h
Argomenti
Reti elettriche
Topologia delle reti: lati, nodi, maglie, grafo
albero, coalbero
Sistema fondamentale
Equazioni ai nodi indipendenti ( I principio di
Kirchhoff)
Equazione alle maglie indipendenti (II principio
di Kirchhoff)
Reti elettriche
Connessione significativa di bipoli elettrici.
Topologia delle reti
Lato: costituito da un bipolo o, volendo, dal bipolo equivalente alla serie di più bipoli
Nodo: punto di connessione di più di due bipoli (si parla di nodo degenere se si
considera la connessione di due bipoli)
Maglia: definita dalla connessione di bipoli lungo un percorso chiuso
Grafo (non orientato): mappa della connessione dei bipoli; il grafo si dirà ridotto se
non vi sono connessioni in serie o in parallelo (o si sono considerati i bipoli
equivalenti); un grafo si dirà completo se è prevista la connessione tra tutti i nodi (un
grafo potrà essere sempre completato considerando bipoli aperti in luogo delle
connessioni mancanti). Un grafo ridotto e completo poggiante su n nodi ha un
numero di lati pari a L=[n (n-1) /2]
Albero: struttura fondamentale della rete, che collega tutti gli n nodi della rete, senza
dar luogo a maglie; l’albero ha quindi (n-1) rami.
Coalbero: parte della rete complementare all’albero; il coalbero ha quindi L-(n-1)
lati.
Sistema fondamentale
Considerata una rete di L lati (su ognuno dei quali vi sia un bipolo per ognuno dei
quali è fissata la caratteristica V-I), risolvere la rete significa trovare i valori delle 2L
incognite tensioni e intensità di corrente. Occorre quindi definire un “sistema
fondamentale” risolvente; è necessario che questo sistema sia costituito da 2L
relazioni indipendenti. Un “pacchetto” di L relazioni indipendenti è dato dalle stesse
relazioni caratteristiche. Le altre relazioni saranno collegate ad elementi topologici
della rete (nodi e maglie); saranno quindi chiamate “equazioni topologiche”.
Equazioni ai nodi indipendenti ( I principio di Kirchhoff)
Ai singoli nodi si può esprimere un bilancio di carica: in condizioni stazionarie non
vi può essere accumulo di carica in ogni volume che comprende il nodo. Facendo
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A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
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riferimento ad un fissato intervallo di osservazione, potremo esprimere quindi un
bilancio di intensità di corrente: la somma “ponderata” delle intensità di correnti che
interessano il nodo deve essere nulla, dove per “ponderare” le intensità basterà
moltiplicare per un coefficiente (+1) [ oppure (-1)] l’intensità I se il riferimento è
uscente dal nodo e per un coefficiente (-1) [(+1)] se il riferimento è entrante.
Se si considera l’albero, è immediato costatare che le prime (n-1) equazioni ai nodi
che si scrivono sono indipendenti, mentre l’ultima è combinazione delle altre.
Equazione alle maglie indipendenti (II principio di Kirchhoff)
Per le singole maglie si può esprimere l’irrotazionalità del campo elettrico in
condizioni stazionarie. Potremo esprimere quindi un bilancio di tensioni
considerando l’annullarsi della circuitazione del campo elettrico lungo una maglia
percorsa in senso orario [antiorario]: la somma “ponderata” delle tensioni incognite
che interessano la maglia deve essere nulla, dove per “ponderare” le tensioni basterà
moltiplicare per un coefficiente (+1) la tensione V se il riferimento assunto per la
tensione è congruente con la circuitazione che si sta eseguendo e per un coefficiente
(-1) nel caso contrario.
Se si considerano le maglie ottenute appoggiando all’albero i singolo lati del
coalbero, si ottengono [L-(n-1)] equazioni alle maglie indipendenti; si può costatare
che ogni altra equazione ottenuta considerando altre maglie è combinazione delle
equazioni suddette.
Lezione n.8 (9/4/2003) 2h
Argomenti
Scrittura delle equazioni indipendenti alle
maglie.
Sistema fondamentale completo: soluzione
Esempi con bipoli normali e non.
Reti con bipoli normali : principio di
scomposizione.
Sistema fondamentale completo: soluzione
Una volta scritte le L equazioni caratteristiche e le L equazioni topologiche, ci si
chiede se il sistema fondamentale ammette soluzioni. Atteso che le equazioni
topologiche sono semplicissime equazioni lineari, potremo affermare che, se le
caratteristiche sono “normali”, il sistema ammette una ed una sola soluzione.
Se vi sono bipoli non lineari, occorrerà esaminare caso per caso le non linearità. In
molti casi il sistema ammette una ed una sola soluzione (e ad essa potrà pervenirsi
analiticamente con diversi metodi, ad esempio per sostituzione), in altre casi
occorrerà procedere per via numerica (esempio: metodo di Newton-Raphson) o con
altri metodi iterativi. In altri casi possono presentarsi soluzioni dipendenti dalla
“traiettoria” nel piano V-I.
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A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
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Teorema di scomposizione – Sovrapposizione degli effetti
Consideriamo una rete sostituita da bipoli “normali” (ossia a caratteristica rettilinea
nel piano V-I). In tal caso il sistema fondamentale è un modello algebrico lineare.
Se il sistema è lineare, può essere considerata una qualsiasi scomposizione del
vettore-colonna dei termini noti e “scomporre” la soluzione X in tante soluzioni Xi.
Una utile scomposizione consiste nel considerare uno alla volta i termini noti relativi
ai singoli generatori, in quanto è molto più semplice risolvere una rete lineare
alimentata da un solo generatore. Quest’ultimo procedimento prende comunemente il
nome di sovrapposizione degli effetti.
Lezione n.9 (14/4/2003) 2h
Argomenti
Esercitazione sulla sovrapposizione degli effetti
Lezione n.10 (28/4/2003) 2h
Argomenti
Generatore equivalente di tensione (Teorema di
Thévénin)
Generatore equivalente di corrente (Teorema di
Norton)
Generatore equivalente di tensione (Teorema di Thévénin)
Consideriamo una rete costituita da bipoli attivi e passivi accessibile ai morsetti A-B
(bipolo attivo A-B).
Al fine di valutare la caratteristica della rete suddetta ai morsetti A-B ( ossia valutare
il legame tensione corrente V-I), nel caso che la rete sia costituita da bipoli normali,
può essere considerato un bipolo elementare costituito da un generatore reale di
tensione ossia dalla serie di un generatore ideale di tensione Vo e di una resistenza Req
(bipolo equivalente di Thevenin) dove Vo è la tensione V “a vuoto” cioè
immaginando di collegare A-B ad un bipolo aperto ed Req è la resistenza equivalente
della rete “vista” ai morsetti A-B quando nella stessa rete sono stati spenti tutti i
generatori.
Il punto di lavoro effettivo è stabilito dal confronto della caratteristica del bipolo
equivalente di Thevenin con la caratterista del bipolo “esterno” (che può essere un
bipolo elementare [anche non lineare] o un altro bipolo equivalente [ovviamente
lineare]).
Generatore equivalente di corrente (Teorema di Norton)
Consideriamo di nuovo una rete costituita da bipoli attivi e passivi accessibile ai
morsetti A-B (bipolo attivo A-B).
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A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
pag. 13
Al fine di valutare la caratteristica della rete suddetta ai morsetti A-B ( ossia valutare
il legame tensione corrente V-I), nel caso che la rete sia costituita da bipoli normali,
può essere considerato un bipolo elementare costituito da un generatore reale di
corrente ossia dal parallelo di un generatore ideale di corrente Icc e di una resistenza
Req (bipolo equivalente di Norton) dove Icc è la “intensità della corrente di
cortocircuito” cioè immaginando di collegare A-B ad un bipolo cortocircuito ed è Req
la resistenza equivalente della rete “vista” ai morsetti A-B quando nella stessa rete
sono stati spenti tutti i generatori.
Il punto di lavoro effettivo è stabilito dal confronto della caratteristica del bipolo
equivalente di Norton con la caratterista del bipolo “esterno” (che può essere un
bipolo elementare [anche non lineare] o un altro bipolo equivalente [ovviamente
lineare]).
I bipoli di Thevenin e Norton sono ovviamente equivalenti tra loro; i tre parametri
equivalenti sono legati dalla relazione Icc = Vo/Req e quindi il terzo si potrà dedurre
dalla conoscenza dei primi due.
Lezione n.11 (30/4/2003) 2h
Argomenti
Prova individuale informale con correzione ed
autovalutazione.
Lezione n.11 (5/5/2003) 2h
Argomenti
Conservazione della potenza nelle reti elettriche
Potenze virtuali – Teorema di Tellegen
Teorema di Reciprocità
Applicazione al ponte di Weathstone
Conservazione della potenza nelle reti elettriche
Considerato che in regime stazionario la tensione su un lato posto tra i lati r ed s può
essere espressa come differenza di potenziale ( Vrs = Vr - Vs ) e che vale la legge di
Kirchhoff ai nodi r ed s, si può facilmente dimostrare che è nulla la somma - estesa a
tutti i lati - delle potenze valutate con la stessa convenzione. Quindi è nulla la somma
delle potenze assorbite da tutti i lati ed è nulla la somma delle potenze generate da
tutti i lati. Se non si è adottato per tutti i bipoli la stessa convenzione, la somma delle
potenze assorbite - estesa a tutti i lati per cui si è fatta la convenzione dell'utilizzatore
- è pari alla somma delle potenze erogate - estesa a tutti i lati per cui si è fatta la
convenzione del generatore -.
Potenze virtuali - Teorema di Tellegen
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Se si considerano due reti con ugual grafo (in sostanza con lo stesso numero di nodi)
e con le stesse convenzioni sui lati omologhi (r-s,r'-s'), possiamo ugualmente
dimostrare che la somma delle potenze virtuali VrsIr's' estesa a tutti le possibili
connessioni è nulla (I teorema di Tellegen).
Teorema di reciprocità
Come applicazione del teorema di Tellegen consideriamo da un lato una rete resistiva
R alimentata da un generatore di tensione Ea (per semplicità, ideale) situato nel lato a
e l’intensità di corrente Ib in un ramo b (per semplicità: un cortocircuito) e dall’altro
la rete R’ modificata rispetto alla precedente solo nella posizione del generatore Eb’,
che trovasi nel lato b’ omologo di b ed in cui si prende in considerazione l’intensità
di corrente Ia’ nel lato a’ omologo di a. La convenzione tra Ea e Ia’sia congrua con la
convenzione tra Eb’ e Ia (ad es. del generatore).
Applicando il teorema di Tellegen alle due reti avremo:
'
Vk I k'  0   Ea I a'   Vk I k'  0  Ib'
lati
V I
'
k k
lati
 0  0  I a   Vk' I k  Eb'  I b
'
dove la sommatoria con apice è estesa a tutti i lati delle reti meno i lati a e b (a’ e
b’); per questi lati, costituiti dagli stessi resistori; sarà VI’=RI I’=RI’ I=V’I e quindi
Ea I’a = E’b Ib
(teorema di reciprocità)
In particolare se i due generatori erogano lo stesso valore della tensione, le due
intensità di corrente sono uguali. Posso quindi calcolare la corrente in un ramo di una
rete alimentata da un solo generatore “spostando” il generatore proprio in quel ramo
e calcolando l’intensità di corrente nel ramo dove si trovava originariamente il
generatore.
Si può riscrivere il teorema rimuovendo le ipotesi semplificative anzidette ed anche
considerando l’alimentazione con un generatore di corrente.
Quale applicazione del teorema di reciprocità consideriamo una figura “a ponte di
Weathstone” in cui non si riscontrano configurazioni serie o parallelo di resistori.
R2
R1
R
5
I5
R3
R4
V
+
E
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A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
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R2
R1
I’1
R
5
I’5
E’5
+
I’3
R3
R4
I’
Per il calcolo della corrente I5, basta considerare il secondo schema in cui il
generatore è stato posizionato proprio nel ramo 5. Se poniamo E’5=E avremo quindi
che il valore cercato è l’intensità della corrente I’. Essendo nel secondo schema R1 in
parallelo con R2 e R3 in parallelo ad R4, avremo, applicando la regola del partitore di
corrente,
 R2
E '  R2
R4 
R4 
  ' 5 
 
I 5  I '  I 1'  I 3'  I 5' 


 R1  R2 R3  R4  ReqE5'  R1  R2 R3  R4 


R2 R3  R1 R4
E



R3 R4  R1 R3  R2 R3  R1 R4  R2 R4 
R1 R2
R5 

R1  R2 R3  R4

E
R2 R3  R1 R4 
R1 R3 R5  R2 R3 R5  R1 R4 R5  R2 R4 R5  R1 R3 R2  R1 R3 R4  R1 R2 R4  R2 R3 R4
L’intensità di corrente I5 è nulla se R2R3=R1R4 . Anche la tensione V5 è nulla. Questa
condizione (“ponte bilanciato”) può essere utilizzata per la misura di resistenza,
avendo a disposizione due resistori di resistenza nota, un reostato ( resistenza
variabile) , oltre al resistore di resistenza incognita.
La condizione di “ponte bilanciato” assicura che anche al variare di E non vi è
sollecitazione elettrica sul bipolo R5 anche se trattasi di bipolo generico, attivo o
passivo. Quindi in tali condizioni non vi è “interferenza” tra il lato o diagonale di
alimentazione ed il lato o diagonale di “rivelazione” (contenente R5 o qualsiasi altra
apparecchiatura rappresentabile con un bipolo). Per quanto detto sulla reciprocità, un
generatore posto sulla diagonale di rivelazione non determina sollecitazione sulla
diagonale di alimentazione.
Lezione n.12 (7/5/2003) 2h
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A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
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Argomenti
Rendimento energetico e massimo trasferimento
di potenza (adattamento).
Proprietà di non amplificazione delle tensioni.
Proprietà di non amplificazione delle correnti.
Bipoli in regime variabile (quasi stazionario): il
resistore ed il condensatore
Rendimento energetico e massimo trasferimento di potenza
Considerato un circuito semplice costituto da un generatore reale di tensione [
tensione a vuoto E e resistenza Rg, equivalente alla rete a monte di due morsetti
accessibili ] e da un utilizzatore (“carico”) di resistenza Ru, la potenza erogata del
generatore ideale E e quella assorbita dal carico Ru valgono rispettivamente
E2
E2
2
PE 
Pu  Ru I u  Ru
Rg  Ru
( Rg  Ru ) 2
Il rendimento nel trasferimento di potenza vale:
P
Ru
 u (
)
PE
RE  Ru
Nel caso di trasmissione dell’energia elettrica per uso industriale o civile, conviene
che tale rendimento sia elevato e quindi per quanto possibile prossimo all’unità: tale
condizione è soddisfatta se la resistenza equivalente del generatore è molto piccola
rispetto alla resistenza dell’utilizzatore. Se quindi considero un impianto già
realizzato, per ottenere valori elevati del rendimento dovrò considerare valori della
resistenza di carico almeno dieci volte maggiore della resistenza equivalente del
generatore; se viceversa è assegnata la resistenza di carico, l’impianto dovrà essere
progettato in modo che la resistenza equivalente sia di valore inferiore al 10% di
quello della resistenza di carico.
La potenza trasferita ad un carico resistivo è nulla nei casi di circuito aperto e di
cortocircuito; per gli altri valori della resistenza di carico tra zero ed infinito tale
potenza è positiva e quindi avrà almeno un massimo; si può verificare che si ha un
solo massimo per Rg=Ru (condizione di adattamento); per tale valore il rendimento è
del 50%. La condizione di adattamento è importante in elettronica (le potenze in
gioco sono piccole); essa è chiaramente proibitiva nel caso di trasmissione
dell’energia elettrica dove i rendimenti devono essere molto elevati.
Non amplificazione delle tensioni
Considerata una rete di bipoli di cui uno solo attivo, si può dimostrare che la tensione
ai capi del bipolo attivo è, in valore assoluto, la tensione più elevata.
Consideriamo infatti i lati interni tra un node r (non appartenente quindi al
generatore) e gli adiacenti nodi s’,s”,…; per tali lati passivi avremo che la potenza
assorbita è non negativa ( Vrs Irs 0). Poiche, per ogni r, la somma (su s) delle correnti
Irs è nulla (riferimenti tutti uscenti dal nodo r), alcune intensità di corrente saranno
positive ed altre negative (escludendo il caso banale); pertanto le corrispondenti
tensioni saranno positive o negative. Poiché le tensioni possono esprimersi come
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A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
pag. 17
differenza dei potenziali dei nodi r ed s, potremo sempre trovare un nodo s’ a
potenziale Vs’ maggiore di Vr ed un nodo s” a potenziale Vs” minore di Vr . Tale
“scaletta” si arresta quando, variando r, si esauriscono i nodi “interni”. Se poi
prendiamo r coincidente con un morsetto del generatore, il corrispondente nodo di
tipo s sarà l’altro morsetto del generatore: per tale lato la potenza assorbita sarà
negativa (per la conservazione delle potenze) e quindi non potrà essere “allungata” la
scaletta (infatti, ad esempio, se Irs è negativa è Vr > Vs ossia Vr è il potenziale
massimo ).
Non amplificazione delle correnti
Considerata una rete di bipoli di cui uno solo attivo, si può dimostrare che l'intensità
di corrente erogata dal bipolo attivo assume, in valore assoluto, il valore più grande
rispetto alle intensità di corrente negli altri lati.
Consideriamo infatti due nodi r ed s a potenziali “adiacenti” nella scaletta dei
potenziali prima costruita. Raggruppiamo in una “nuvola superiore” tutti i nodi a
potenziale maggiore di Vr ed in una “nuvola inferiore” tutti i nodi a potenziale
inferiore a Vs. Evidenziamo i collegamenti tra i nodi della nuvola superiore e quelli
della nuvola inferiore ed orientamoli verso la nuvola inferiore; le intensità di tutte le
correnti valutate con tali riferimento sono per costruzione non negative (per la
passività dei bipoli) tranne l’intensità relativa al lato del generatore, che sarà
necessariamente negativa. Essendo l’unica ad essere negativa, non sarà superata (in
modulo) dalla altre. Il ragionamento potrà essere esteso agli altri lati.
Bipoli in regime variabile (quasi stazionario): il resistore ed il condensatore
ideali .
Se le grandezze sono variabili nel tempo, ma possiamo sempre parlare di una unica
determinazione per l’intensità della corrente e della tensione, parleremo di bipoli in
regime variabile quasi stazionario.
Definiamo resistore ideale in tali condizioni il bipolo per cui valga la relazione
v(t)=Ri(t) qualunque siano i valori di tensione e corrente e qualunque sia t.
Definiremo condensatore ideale in condizioni quasi stazionarie il bipolo per cui
valga la relazione i(t)=dq/dt=Cdv/dt7 dove la i è correlata alla variazione della carica
q sulle armature del condensatore; il condensatore è un bipolo dinamico, in quanto
abbiamo una relazione differenziale tra tensione e corrente. Il coefficiente C può
essere in prima approssimazione considerato pari al rapporto tra carica e tensione in
condizioni stazionarie (Capacità del condensatore).
Lezione n.13 (12/5/2003) 2h
Argomenti
7
Nel caso di capacità variabile la caratteristica vale
ic 
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d (Cvc )
dv
dC
 C c  vc
dt
dt
dt
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Bipoli in regime variabile (quasi stazionario): il
condensatore (II)
Bipoli in regime variabile (quasi stazionario):
l’induttore ideale
Grandezze di stato
Bipoli in regime variabile (quasi stazionario): il condensatore ideale .
L’ intensità di corrente in un condensatore è in relazione differenziale con la
tensione. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le informazioni per
risalire al valore della tensione; infatti, considerando la convenzione dell’utilizzatore,
si ha in un generico istante t1
t1
dvc
(*)
ic  C
 vc t1    ic dt  vc t o 
dt
t0
dove to è un qualsiasi istante di riferimento.
Si vede quindi che posso conoscere la tensione in un certo istante t1 solo se conosco
il valore della stessa in un istante precedente e l’andamento dell’intensità della
corrente nell’intervallo tra gli istanti to e t1.
La tensione ai capi di un induttore è in relazione differenziale con l’intensità della
corrente. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le informazioni per
risalire al valore dell’intensità di corrente; infatti, considerando la convenzione
dell’utilizzatore, si ha in un generico istante t1
t1
di
(**)
v L  L L  i L t1    v L dt  i L t o 
dt
t0
dove to è un qualsiasi istante di riferimento.
Si vede quindi che posso conoscere l’intensità della corrente in un certo istante t1 solo
se conosco il valore della stessa in un istante precedente e l’andamento della tensione
nell’intervallo tra gli istanti to e t1.
Grandezze di stato
Si deduce dalle (*)-(**) che se le tensioni applicate agli induttori e le intensità di
corrente nei condensatori sono limitate (come nei casi reali), la tensione sui
condensatori e la corrente negli induttori sono grandezze continue. Infatti se
consideriamo la condizione t1 to , avremo che gli integrali nelle (*)-(**), estesi ad
intervalli infinitesimi, sono infinitesimi. In altri termini avremo
lim vc t 0     vc t 0    lim vc t 0     vc t 0    vc t 0 
 0
 0
 0
 0
lim i L t o     i L t o    lim i L t o     i L t o    i L t o 
La tensione sul condensatore è in ogni istante legata all’energia elettrostatica
immagazzinata dal condensatore e l’intensità di corrente nell’induttore è legata
all’energia magnetica immagazzinata dall’induttore
1
1 2
2
wes (t )  Cvc
wm  Lil
2
2
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Tali grandezze sono legate quindi allo stato energetico del bipolo e per tale motivo
vengono spesso indicate come “grandezze di stato”.
Tali grandezze di stato sono continue: se non lo fossero, avremmo discontinuità
dell’energia, o meglio una variazione finita dell’energia in un intervallo infinitesimo;
ciò implicherebbe la capacità del bipolo di assorbire o erogare potenza illimitata; ciò
non è concepibile nei casi pratici.
Generatori di potenza infinita saranno introdotti formalmente, come vedremo nel
seguito, per l’analisi più ampia dei transitori nelle reti con modelli lineari.
Lezione n.14 (14/5/2003) 2h
Argomenti
Grandezze periodiche
Le funzioni periodiche del tempo a(t) sono caratterizzate da un periodo T tale che,
per ogni t, sia a(t)=f(t+kT) con k intero qualsiasi. L’inverso del periodo f=1/T viene
detto frequenza; f si misura in hertz [inverso del secondo].
Le funzioni periodiche sono caratterizzate da un valore massimo (o picco positivo) e
da un valore minimo8, da un valore medio nel periodo e da un valore medio
quadratico ( rms: root mean square) o valore efficace nel periodo
Amedio 
1
T

t 0 T
t0
a (t )dt
Arms  Aeff  A 
1
T
t0 T
a
2
(t )dt
t0
Le funzioni periodiche a valor medio nullo si dicono alternative.
Una funzione alternativa rettangolare ha il valore efficace coincidente con il valore
massimo.
Una funzione sinusoidale del tipo
 2

a(t ) AM sen
t     AM sen2ft     AM sent   
T

è periodica di periodo T, frequenza f e pulsazione , fase iniziale , è alternativa ed
il suo valore efficace è pari a
A
Aeff  M  0,707... AM
2
Il punto di nullo più prossimo allo zeo è l’istante t*=-/. Pertanto se =0 la
funzione è tipo seno, se =/2 la funzione è del tipo coseno.
Una funzione b(t)=BMsen(t+) è sfasata dell’angolo (-) rispetto ad a(t); se tale
angolo è positivo, b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t), se è negativo è sfasata in
ritardo rispetto ad a(t); se il suddetto angolo di sfasamento è nullo, le due grandezze
si dicono in fase, se l’angolo di sfasamento è  le due grandezze si dicono in
opposizione di fase, se l’angolo è /2 le due grandezze si dicono in quadratura (in
anticipo o ritardo).
8
Ovviamente una funzione costante è un caso banale di funzione periodica.
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Lezione n.15 (19/5/2003) 2h
Argomenti
Metodo simbolico
Operatori complessi
Circuito R-C in regime sinusoidale
Metodo simbolico
Osserviamo che se consideriamo la somma o la differenza di due funzioni sinusoidali
della stessa pulsazione otteniamo una grandezza sinusoidale della stessa pulsazione;
moltiplicando una funzione sinusoidale per una costante positiva [negativa] abbiamo
una funzione sinusoidale della stessa pulsazione in fase [in opposizione di fase];
derivando rispetto al tempo una funzione sinusoidale abbiamo una funzione
sinusoidale della stessa pulsazione in quadratura in anticipo.
Poiché il sistema fondamentale prevede relazioni del tipo anzidetto, se ne deduce che
una soluzione sinusoidale di pulsazione  è compatibile con un sistema in cui i
generatori (i termini noti) siano sinusoidali della stessa pulsazione; applicando il
principio di identità dei polinomi trigonometrici, si può anche concludere che la
soluzione è unica; tutte le grandezze incognite hanno pulsazione .
Le grandezze si diversificano quindi solo per l’ampiezza e la fase iniziale; possiamo
quindi stabilire una corrispondenza biunivoca tra le funzioni sinusoidali e le coppie
ordinate di numeri reali (numeri complessi) ossia i punti del piano cartesiano:
a(t )  AM sent     ( AM , )  A( Ax  AM cos , Ay  AM sin  )  AM e j  Ax  jAy
L’operatore di Eulero ej, formalmente definito come (cos+jsen), è un operatore di
rotazione: applicandolo ad un vettore Ā (fasore) del piano della rappresentazione –
corrispondente della grandezza sinusoidale a(t)- si ottiene un vettore ruotato di α. Se
in particolare α=/2, si ha ej=j; un’altra rotazione di /2 porta al vettore opposto ad
Ā: infatti ej=j2=-1; una ulteriore rotazione di /2 ci porta ad una rotazione
complessiva ej3=j3=-j corrispondente ad una rotazione (“negativa”) di -/2: e-j/2=j=1/j; una ulteriore rotazione di /2 ci riporta sul vettore originario: ej2=j4=1
Alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione per costante nel dominio
nel tempo corrispondono addizione, sottrazione e moltiplicazione per costante nel
dominio della rappresentazione simbolica. All’operazione di derivazione corrisponde
una moltiplicazione per jω ovvero una rotazione di /2 ed una modifica
dell’ampiezza.
N.B. Nella corrispondenza la coppia ordinata di numeri reali può essere sostituita (per tutti i fasori) da
un valore univocamente legato all’ampiezza (ad esempio il valore efficace) e da un riferimento
angolare qualsiasi.
Operatori complessi
In generale le operazioni tra fasori corrispondono ad una rotazione e modifica di
ampiezza. L’operatore che le descrive avrà la forma
M  M e j  M x  jM y  M cos  jMsen
con M modulo dell’operatore,  argomento dell’operatore.
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Circuito R-C in regime sinusoidale
Se consideriamo un circuito semplice costituito da un generatore ideale di tensione
e(t)=EMsen(ωt+), un resistore di resistenza R ed un condensatore di capacità C,
potremo ricavare per la corrente erogata dal generatore l’espressione
e(t )  v R (t )  vc (t )  E  VR  Vc
v R  Ri R
 VR  RI
dvc
 I c  jCVc
dt
X
jarctg c
EM
E
R
I 
 I M e ja 
e
 ic (t ) 
2
2
R  jX c
R  Xc
ic  C
EM
R X
2
2
c
sen(t  arctg
Xc
)
R
dove Xc=1/ωC è la reattanza capacitiva.
Lezione n.16 (21/5/2003) 2h
Argomenti
Impedenza ed ammettenza
Nel metodo simbolico, il legame tra tensione e corrente per un bipolo si esprime nella
forma (legge di Ohm alle grandezze simboliche):
(***)
V  Z I oppure I  YV
(operatori di impedenza e di ammettenza)
V VM e j VM j (   )

Z 

e
 Ze j  R  jX
j
I
IM
IM e
I
I
1
R
X
Y   M e j (   )  Ye j  e  j  G  jB  2
j 2
2
V VM
Z
R X
R X2
L’argomento φ, per motivi che vedremo in seguito, prende il nome di angolo di
potenza. La parte reale R dell’operatore di impedenza è l’operatore di resistenza, il
coefficiente della parte immaginaria X è l’operatore di reattanza. L’impedenza si
misura in ohm.
La parte reale G dell’operatore di ammettenza è l’operatore di conduttanza; il
coefficiente dell’immaginario è l’operatore di suscettanza. L’ammettenza si misura in
siemens. Da notare che G non è l’inverso di R e B non è l’inverso di X.
Nel caso del resistore ideale si ha Ż=R+j0, Y  G  j 0 , con R=1/G pari al valore di
resistenza. La tensione è in fase con l’intensità di corrente.
Nel caso dell’induttore ideale si ha Ż=0+j(XL), Y  0  j ( BL ) , dove XL=L è la
reattanza induttiva (mentre BL=1/L è la suscettanza induttiva). La tensione è in
quadratura ed in anticipo rispetto all’intensità di corrente.
Nel caso del condensatore ideale si ha Ż=0+j(-XC), Y  0  j ( BC ) , dove XC=1/C è
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la reattanza capacitiva (mentre BC=C è la suscettanza capacitiva). La tensione è in
quadratura ed in ritardo rispetto all’intensità di corrente.
Queste considerazioni inducono ad interpretare l’operatore di impedenza come una
“serie” formata da un resistore ideale R e da un reattore ideale X (=XL-XC), ovvero,
con un grado di libertà, come un circuito RLC serie; l’operatore di ammettenza può
essere a sua volta interpretato come un “parallelo” formato da un resistore ideale di
conduttanza G e da un reattore ideale di suscettanza B (=BC-BL), ovvero, con un
grado di libertà, come un circuito RLC parallelo.
Data la relazione tra i due operatori, si deduce che ad ogni circuito RLC serie
corrisponde un circuito RLC parallelo9.
I casi X=0 e B=0 corrispondono ai circuiti risonanti (serie e parallelo) equivalenti a
resistori ideali.
Se R=X=0 siamo in presenza di un bipolo corto-circuito ideale.
Se G=B=0 siamo in presenza di un bipolo aperto ideale.
La (***) può essere scritta per qualsiasi bipolo formalmente rappresentabile, non solo
del tipo RLC. Può essere scritta anche per un generatore reale o ideale: in tal caso il
bipolo non può essere ricondotto ad un circuito equivalente RLC.10
Lezione n.17 (26/5/2003) 2h
Argomenti
Potenze in regime sinusoidale
Consideriamo un bipolo di morsetti r-s funzionante in regime sinusoidale.
Consideriamo la potenza istantanea assorbita dal bipolo:
p rs t   v rs t   irs t   VMrs sin t   rs I Mrs sin t   rs  
VMrs I Mrs
cos rs   rs   cos2t   rs   rs  
2
 Vrs I rs cos rs   rs   cos2t   rs   rs  

 Vrs I rs cos rs   cos2t  2 rs   rs   Pmrs  p frs (t )
La potenza istantanea quindi in genere non è una grandezza sinusoidale, ma è
caratterizzabile da un valore medio Pm (detto potenza media, attiva o reale) e da una
potenza fluttuante sinusoidale a pulsazione doppia.
L’energia assorbita da un bipolo in un intervallo t pari ad un multiplo intero di
periodi risulta pari a Pmt, in quanto il contributo della potenza fluttuante è nullo. Se
l’intervallo t non fosse esattamente pari ad un multiplo intero di periodi, il
contributo all’energia assorbita fornito dalla potenza fluttuante sarebbe tanto più
trascurabile quanto più t è grande rispetto al periodo.
La potenza fluttuante è tuttavia significativa. Basti pensare che essa ha un valore
massimo superiore o uguale alla potenza media e che, considerando un bipolo reale,
9
Ovviamente con diversi valori di R,L,C (>0) e con un grado di libertà sulla scelta di L e C.
Può tuttavia essere sostituito da un circuito RLC se risulta R0, G0.
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le sollecitazioni meccaniche sono legate alla potena istantanea. Ad esempio all’albero
di un motore potrebbe essere applicata una coppia istantanea anche superiore alla
coppia media; ciò porterebbe ad una sollecitazione di torsione intollerabile ovvero ad
una sollecitazione “a fatica” che limiterebbe le prestazioni meccaniche a lungo
termine.
Nel caso di bipoli resistivi, la potenza media è pari a RI2, dove I è il valore “efficace”
(come se considerassimo un caso stazionario), mentre nel caso di bipoli induttore
(=π/2) e condensatore (=-π/2) la potenza media è nulla . Per un circuito RLC
l’angolo di potenza  è compreso tra –π/2 e π/2 ed il fattore di potenza cos tra 0 ed
1. Se risulta cos<0 siamo sicuramente in presenza di un generatore o di un bipolo
attivo (un bipolo si dirà passivo se in ogni condizione di funzionamento la potenza
media assorbita risulterà negativa).
La potenza apparente (che compare sulla targa dei dispositivi) è definita come
prodotto del valore efficace della tensione per il valore efficace della corrente; essa è
una quantità positiva ed è da intendersi come potenza di dimensionamento, in quanto
il suo valore è proporzionale al volume occupato dal dispositivo (la distanza tra i
morsetti è proporzionale alla tensione mentre la sezione dei conduttori è
proporzionale all’intensità della corrente) e quindi al suo costo.
Per ogni bipolo si può introdurre una grandezza complessa formale, detta potenza
complessa, che abbia come modulo la potenza apparente e come argomento l’angolo
di potenza . Essa si può ottenere moltiplicando il fasore della tensione per il
coniugato del fasore dell’intensità di corrente
~
Prs  Vrs I rs  Vrs e j rs I rs e  j rs  Vrs I rs (cos  rs  jsen rs )  Prs  jQrs
La grandezza Qrs prende il nome di potenza reattiva.
Poichè la potenza complessa è una potenza virtuale (le correnti coniugate
sodddisfano per loro conto al 1° principio di Kirchhoff), per il teorema di Tellegen
essa si conserva. Ne consegue la conservazione delle potenze reattive in una rete.
Lezione n.18 (28/5/2003) 2h
Argomenti
Wattmetri
Rifasamento
Per la misura di potenza (anche virtuale) in regime stazionario o quasi stazionario,
occorre considerare uno strumento ideale a quattro morsetti ordinati di cui due (1a2a) per la misura dell’intensità di corrente (linea amperometrica) e due (1v-2v) per la
misura della tensione.
+
+
+
W
1a
+
1v
2a
W
2v
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A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
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Nel caso stazionario, se consideriamo le linee interessate dalla intensità di corrente I
e dalla tensione V relative allo stesso bipolo, lo strumento (wattmetro) indicherà la
potenza assorbita o erogata (a seconda dei riferimenti scelti) dal bipolo. Se tensione e
corrente non si riferiscono allo stesso ramo, lo strumento misurerà una potenza
formale (o virtuale) pari al prodotto delle due grandezze.
Analogamente, nel caso di grandezze variabili nel tempo, lo strumento costituirà un
misuratore di potenza istantanea ( registratore, se dotato di memoria analogica o
digitale). Se le grandezze sono sinusoidali si dar luogo alla lettura del valore medio in
un intervallo pari ad un multiplo del periodo (o anche in un intervallo grande rispetto
al periodo), utilizzando l’inerzia di un equipaggio mobile o operatori digitali: è
questo il più diffuso impiego del wattmetro; con opportuna modifica, gli stessi
strumenti posono dar luogo alla lettura della potenza reattiva (varmetri).
Rifasamento
La potenza reattiva Q assorbita da un bipolo è, in genere, dello stesso ordine di
grandezza della potenza media P; nel caso di bipolo passivo, la potenza reattiva ci dà
indicazione se il bipolo è prevalentemente di tipo ohmico-induttivo (Q>0) o di tipo
ohmico-capacitivo (Q<0).
Il dimensionamento di un bipolo è legato alla potenza apparente
A  VI  P 2  Q 2
Per ottimizzare tale dimensionamento – a parità di potenza media in gioco e quindi di
energia – occorrebbe che fosse Q=0. Tutti i bipoli dovrebbero essere modificati in
maniera da avere tensione e correnti in fase. Ciò è in linea di principio possibile se
tutti i generatori ideali sono in fase o in opposizione di fase. In tal caso sarebbe
possibile “aggiungere” (in serie o in parallelo) una reattanza tale che la reattanza (o
suscettanza) equivalente sia nulla, ossia i bipoli siano risonanti (rifasamento locale
serie o parallelo).
In genere questa soluzione risulta molto gravosa. Dal punto di vista industriale, un
compromesso si ottiene considerando l’utenza (quasi sempre di tipo ohmico
induttivo con angolo di potenza >26°) nel suo complesso ed inserendo un bipolo
(condensatore in parallelo al carico) in maniera che l’Ente fornitore “veda” un fattore
di potenza cosL>0,9 (L<26°).
Dal bilancio di potenza complessa o da considerazioni sul diagramma vettoriale delle
grandezze simboliche otteniamo che il valore della capacità necessaria a rifasare un
carico di potenza P sotto tensione V vale
P(tg  tg L )
C
V 2
Lezione n.19 (4/6/2003) 2h
Argomenti
Esercitazione collettiva sul regime sinusoidale
Lezione n.20 (9/6/2003) 2h
Argomenti
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Introduzione ai sistemi trifase
Chiusura del corso
Sistemi trifase
I sistemi trifase si inquadrano nella teoria generale degli n-poli, dove i “morsetti”
sono n>2 (per n=2 si ritorna ai bipoli).
Rinviando al prossimo corso per l’analisi e le sintesi degli n-poli (ed in particolare
degli n-bipoli), si da qui un cenno sui sistemi di connessione di tripoli attraverso tre
connessioni (linee o fasi 1-2-3 [RST nella nomenclatura ENEL], da cui la dizione di
sistema trifase). Si individuano immediatamente tre correnti di linea I1,I2,I3 e tre
tensioni concatenate V12,V23,V31. Le tre correnti di linea sono tra di loro dipendenti
(come le tre tensioni concatenate). La loro somma è nulla. Sul piano della
rappresentazione complessa le tre grandezze danno luogo ad una figura chiusa
(triangolo in genere scaleno).
Generatore
Utilizzatore
Generatore
2
2
Utilizzatore
1
1
3
3
0
Ou
Og
Il generatore trifase può essere rappresentato con tre generatori indipendenti di
tensione stellati, ossia avente un morsetto collegato ad un unoco punto Og detto
centro stella del generatore. Anche l’utilizzatore può essere rappresentato da una
stella di impedenze di centro stella Ou. Se non c’è collegamento ulteriore tra i due
centri stella il sistema si dirà puro. In questo caso la tensione tra i due centri stella è
in genere diversa da zero e può essere calcolata attraverso la formula di Millman, a
sua volta ricavata applicando il teorema di Norton. Le correnti di linea si ricavano di
conseguenza. Un ulteriore collegamento può essere realizzato tra i due centri stella
attraverso un conduttore (conduttore 0 o neutro) che qui consideriamo ideale. In
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A. A. 2002/2003 Fondamenti di circuiti per allievi elettrici (I anno II sem.) – G.Lupò
pag. 26
presenza del neutro la tensione tra i centri stella è nulla e le correnti dipendono dal
generatore e dall’impedenza della singola linea (è la soluzione adottata in campo
civile per l’utilizzazione dell’energia elettrica in bassa tensione, per avere carichi in
funzionamento indipendente).
Nel collegamento senza neutro il sistema si dice puro, in presenza del neutro si dice
spurio.
Se le tensioni dei generatori sono simmetriche (uguale valore efficace e sfasamento
mutuo di 120°) e le impedenze sono uguali (carico equilibrato) la tensione tra i centri
stella è nulla anche nei sistemi puri. Il sistema trifase è equivalente a tre sistemi
monofasi
I vantaggi dei sistemi trifase possono così sintetizzarsi:
a) a parità di potenza media assorbita dall’utilizzatore, nel sistema simmetrico
ed equilibrato si risparmia il 50% dei conduttori (nei sistemi spuri il 33%);
b) la potenza istantanea assorbita da un sistema trifase simmetrico ed equilibrato
risulta essere pari alla potenza media; vengono così evitate i gravosi
inconvenienti (soprattutto di natura meccanica ) connessi con la potenza
fluttuante.
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