Le gerarchie aritmetiche in logica

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO
SCUOLA DI DOTTORATO IN SCIENZE MATEMATICHE
DOTTORATO MASSC: MATEMATICA E STATISTICA PER LE SCIENZE COMPUTAZIONALI
Nell'ambito delle attività del Dottorato in Matematica e Statistica per le Scienze Computazionali,
il Prof. Franco Montagna, del Dipartimento di Scienze Matematiche e Informatiche "Roberto Magari"
dell’Università degli Studi di Siena terrà un corso su
“Le gerarchie aritmetiche in logica”
presso il Dipartimento di Matematica dell’Università degli Studi di Milano
Via C. Saldini n.50 - Milano
Programma del corso
(1) Funzioni parziali ricorsive e funzioni parziali ricorsive con oracolo. Funzioni universali senza e
con oracolo. Insiemi decidibili e insiemi semidecidibili. Insieme dell'arresto e sua indecidibilità.
Turing riducibilità e many-one riducibilità. La gerarchia aritmetica degli insiemi di numeri
naturali. Insiemi 1 completi, insiemi  _2 completi e insiemi _2 completi.
(2) Definibilità in N con e senza oracolo. Gerarchia aritmetica delle formule. Le funzioni ricorsive
con oracolo su X sono _1(X) definibili. Gli insiemi aritmetici coincidono con gli insiemi
definibili in N. Insiemi non aritmetici (esempi).
(3) La teoria PA- e la teoria PA. Gli insiemi r.e. sono quelli _1 rappresentabili in PA-.Insiemi _1
completi in logica (e.g. i teoremi della logica dei predicati). Insiemi non aritmetici in logica
(formule vere in N, formule valide del secondo ordine). Esempi di insiemi 1 completi in
logica (formule universali vere in N, formule valide in tutti i modelli finiti).
(4) Breve introduzione alle logiche fuzzy. Alcuni esempi di logiche preposizionali fuzzy. Logiche
fuzzy al primo ordine e loro complessità computazionale. Esempi di logiche fuzzy non
aritmetiche, _2 complete e _1 complete.
(5) Cenni sulla gerarchia aritmetica in spazi polacchi. Spazi metrici e spazi topologici. Spazi
completi separabili. Insiemi perfetti e spazi perfetti. Lo spazio di Baire e lo spazio di Cantor.
Computabilità nello spazio di Baire e di Cantor. Continuità e commutabilità. La gerarchia
aritmetica e la gerarchia di Borel negli spazi di Baire e di Cantor.
Calendario
martedì 31 marzo 2009: dalle ore 14:15 alle 17:30 presso l’Aula C – II piano
mercoledì 1 aprile 2009: dalle ore 14:15 alle 17:30 presso l’Aula C – II piano
giovedì 2 aprile 2009: dalle ore 9:30 alle 12:45 presso l’Aula C – II piano
venerdì 3 aprile 2009: dalle ore 14:15 alle 17:30 presso la Sala di Rappresentanza
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A nome del Coordinatore del Dottorato di Ricerca
in Matematica e Statistica per le Scienze Computazionali, Prof. Vincenzo Capasso,
tutti gli interessati sono invitati a partecipare.