La teoria degli insiemi
La nascita della teoria degli insiemi è legata al matematico tedesco
Georg Cantor.
Nella sua teoria degli insiemi, nota oggi come “teoria ingenua degli
insiemi”, c’è un principio fondamentale e cruciale per la costruzione di
insiemi: la totalità degli oggetti che godono di una qualsiasi
proprietà P costituisce un insieme.
Un insieme A viene denotato con la scrittura A
dove,
all’interno delle parentesi, si scrivono gli elementi di A o la proprietà
goduta dagli elementi di A.
Ma alla fine del XIX secolo si scoprirono diversi paradossi, tra cui
quello noto come paradosso di Cantor che provava la
contraddittorietà di questa teoria degli insiemi.
Se ogni proprietà permette di costruire un insieme, ciò vale anche per
la proprietà
P(x) : “x non appartiene a x”, che si scrive “x x”
Poniamo S x; P(x) x; x x.
Allora se S S si ha S S e viceversa se S S allora S S.
In definitiva S S se e solo se S S e si ottiene una contraddizione.
Questo è, in sostanza, il paradosso di Russell.
La
comparsa
di
tali
paradossi
ha
dimostrato
inequivocabilmente che l’apparente chiarezza di un concetto
così elementare come quello di insieme non garantisce la
coerenza di un qualsiasi sistema costruito su di esso.
L’analisi dei paradossi ha portato a diverse proposte per evitarli,
proposte che sono tutte ovviamente restrittive dei concetti “ingenui”
che compaiono nella derivazione degli stessi paradossi.
Russell ha notato che in ogni paradosso c’è un autoriferimento ed
ha introdotto la teoria dei tipi, in cui non ha senso che un insieme
appartenga a se stesso. Questo tentativo dovuto a Russell e
Whitehead, negli anni 1910-1913, riesce ad eliminare i paradossi
noti, ma è macchinoso e presenta altri inconvenienti.
Una seconda linea di critica, più fortunata, riguarda il principio di
costruzione di insiemi nella teoria Cantoriana. D’altro canto insiemi
di oggetti che soddisfano una determinata proprietà sono presenti
e, in qualche modo irrinunciabili, nella pratica matematica.
Occorre, allora, introdurre nuovi assiomi per garantirne l’esistenza.
Ci sono in questo senso due direttive principali che hanno portato
alla nascita di due teorie assiomatiche degli insiemi.
Una è la teoria degli insiemi, denotata ZF, e dovuta a Zermelo e
Fränkel.
L’altra è denotata NBG e risale a von Neumann, Bernays e Gödel.
Una posizione più radicale è stata assunta da Brouwer e dalla sua
scuola intuizionista. Gli intuizionisti contestano la validità
universale di certe leggi fondamentali della logica, prima ancora che
della matematica, come il principio del terzo escluso (tertium non
datur), sostenendo che questa legge è certamente valida per
insiemi finiti, ma non è corretto considerarla tale per insiemi non
finiti. Parimenti non accettano che la negazione della formula ( x)
P(x) sia la formula ( x) P(x), ovvero che la negazione della frase
“per ogni x vale la proprietà P” sia la frase “esiste un x per cui non
vale la proprietà P”.
Gli Intuizionisti sostengono che possiamo affermare l’esistenza di un
oggetto con una determinata proprietà solo se conosciamo un metodo
effettivo per costruire o trovare tale oggetto. È chiaro che in questo
contesto i paradossi non sono più derivabili, ma purtroppo la stessa
sorte tocca a numerosi teoremi della matematica, poiché non sono
più lecite, per esempio, le dimostrazioni per assurdo (reductio ad
absurdum). Perciò la logica intuizionista non ha avuto molta
fortuna.
Queste considerazioni mettono in luce il difficile problema filosofico e
forse psicologico della natura delle creazioni o scoperte matematiche.
Che cosa si asserisce quando un matematico afferma che
qualcosa esiste?
Quando i Pitagorici scoprirono che l’ipotenusa di un triangolo
rettangolo isoscele è incommensurabile con il cateto, essi tentarono di
mantenere segreta questa scoperta, chiamando queste lunghezze
“irrazionali”.
Oggi non abbiamo sospetti su numeri tipo 2, la cui irrazionalità fu
provata da Euclide. Analogamente i matematici si sono adattati a
numeri tipo i = -1, introdotti da Rafael Bombelli.
La posizione più fondamentalista nella filosofia della Matematica è
stata quella di Leopold Kronecker, che ha dominato il mondo
matematico tedesco alla fine del XIX secolo.
Secondo Kronecker:
“Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo.”
Questa posizione fu più tardi contrastata da Hilbert che affermò:
“Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi.”
Il riferimento di Hilbert è alla teoria Cantoriana dei numeri cardinali
transfiniti.
Un altro grande dibattito s’incentra, infatti, sui concetti di finito e
infinito in Matematica.
