Introduzione
La teoria degli insiemi è una teoria matematica creata, negli ultimi
decenni dell’Ottocento, da Georg Cantor (1845-1918). Ci sono diverse ragioni per cui questa teoria è interessante. Da un lato, essa costituisce un’estensione significativa della matematica precedente; dall’altro, fornisce un apparato concettuale entro il quale è possibile sviluppare in modo unitario tutta la matematica (o, almeno, tutta la matematica anteriore all’avvento della cosiddetta teoria delle categorie):
sia oggetti, come i numeri, di cui i matematici si occupano da sempre, sia oggetti che hanno fatto la loro comparsa solo molto più tardi,
come le strutture algebriche e topologiche, possono essere definiti in
termini puramente insiemistici e le loro proprietà dedotte da principi
puramente insiemistici. Non sorprende, quindi, che la teoria degli insiemi sia stata a lungo al centro anche delle riflessioni filosofiche sui
fondamenti della matematica. Inoltre, c’è una connessione stretta fra
teoria degli insiemi e logica: non solo in logica si fa un uso essenziale
di nozioni e tecniche insiemistiche, ma è proprio nell’indagine sulla
struttura della teoria degli insiemi che la logica contemporanea ha
trovato alcune delle sue applicazioni più affascinanti. Se a tutto ciò si
aggiunge che l’esposizione al gergo insiemistico di base è prevista dai
programmi scolastici e che l’impiego di qualche nozione insiemistica
è oggi consueto in tutti i contesti in cui si faccia ricorso a una sia pur
blanda matematizzazione, è facile convincersi che il numero delle persone potenzialmente interessate all’argomento è davvero grande.
Questo libro è stato scritto per coloro che, senza pretendere di
diventare degli specialisti, desiderano avere della teoria degli insiemi
un’immagine un po’ più precisa e articolata di quella che si può ricavare da certe presentazioni divulgative o, magari, dalle poche, rudimentali nozioni fornite nelle prime pagine di un manuale di analisi o
di algebra. Non si presuppongono conoscenze matematiche se non di
livello elementare (unica eccezione, l’Appendice, che spiega come la
teoria degli insiemi possa essere formalizzata e la cui lettura è riserva13
TEORIA DEGLI INSIEMI
ta a chi abbia un po’ di dimestichezza con la logica). L’attenzione è
tutta concentrata su concetti e risultati fondamentali, che si è cercato
di presentare nel modo più chiaro possibile. Si è mirato non tanto al
rigore assoluto, quanto piuttosto all’efficacia didattica.
Ciascuno degli otto capitoli che compongono il libro è diviso in
due parti. Nella prima parte il contenuto del capitolo è illustrato evitando tecnicismi inutili e omettendo le dimostrazioni dei teoremi, a
meno che si tratti di dimostrazioni facilissime o talmente importanti
da non poter essere trascurate (è il caso, ad esempio, della dimostrazione del Teorema di Cantor nel CAP. 4, basata sul famoso “metodo
diagonale”). Nella seconda parte si forniscono le dimostrazioni omesse nella prima parte e occasionalmente si aggiungono alcuni dettagli.
Le prime parti dei diversi capitoli sono autonome, nel senso che
possono essere lette tutte di seguito saltando le seconde parti. È ciò
che consigliamo di fare ai lettori interessati solo all’impianto concettuale complessivo della teoria, nonché ai lettori impazienti, curiosi di
sapere dove va a parare il discorso prima di approfondire i singoli
punti.
Nelle prime parti dei capitoli si incontrano qua e là passi in corpo
minore. Contengono informazioni non indispensabili per la comprensione di tutto il resto: precisazioni concernenti la terminologia e la
notazione, chiarimenti a beneficio dei lettori meno esperti o, all’opposto, supplementi per i più smaliziati. Avremmo potuto relegare questo materiale in note a piè di pagina. Non lo abbiamo fatto per due
motivi: perché le note sarebbero state talvolta troppo lunghe e perché
c’è chi le note a piè di pagina non le degna neanche di un’occhiata.
È impossibile impadronirsi davvero dei concetti della teoria degli
insiemi (come di qualsiasi altra teoria matematica) senza fare esercizi.
Degli esercizi inclusi in questo libro, alcuni sono facilissimi: il loro
scopo è semplicemente tenere sveglio il lettore. Altri richiedono un po’
più di riflessione. Nessuno, però, è veramente difficile e comunque,
quando si va al di là del banale, viene sempre fornito qualche suggerimento per la soluzione.
È opportuno aggiungere un consiglio su come usare le seconde
parti dei capitoli. Di fronte a pagine fitte di ragionamenti talvolta anche un po’ intricati, si può avvertire un senso di sgomento; e se, nonostante ciò, ci si costringe a leggere, si può poi avere l’impressione
di perdere subito il filo. In realtà, le dimostrazioni non sono fatte per
essere lette come si leggerebbe un qualsiasi altro testo. Bisogna fruirne in modo, per così dire, attivo. Quando si è di fronte all’enunciato
di un teorema, è bene anzitutto cercare di dimostrarlo per conto proprio. Ci si provi: si scoprirà di riuscirci più spesso di quanto non si
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INTRODUZIONE
creda. Se non ci si riesce, si dia un’occhiata alla dimostrazione fornita
nel libro, sforzandosi di afferrare soprattutto il senso complessivo del
ragionamento. Poi si cerchi di ricostruirla nei dettagli lavorando di
nuovo per conto proprio e tornando a consultare il libro solo quando
si incontrino degli intoppi.
Naturalmente questo modo di procedere richiede un certo impegno, e la disponibilità a un siffatto impegno presuppone una certa
attitudine al ragionamento astratto. Ma si sa: la matematica è come la
musica. Dalla musica si può trarre grande piacere anche senza essere
capaci né di suonare né di cantare, senza avere nessuna cultura musicale, addirittura senza possedere un orecchio particolarmente fine.
Tuttavia un po’ di orecchio ci vuole. Altrimenti la musica è solo una
tortura e conviene dedicarsi ad altro.
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