Teoria dei campioni
1 Febbraio 2006
Esercizio 1
Siano Y il carattere oggetto di interesse e X il carattere ausiliario presenti su una popolazione costituita da N=4 unità.
Y
X
A
20
100
B
30
150
C
40
130
D
80
98
Si determini:
1. con la tecnica di Yates-Grundy il piano di campionamento a probabilità variabili, senza reinserimento e senza
considerare l’ordine per n= 2;
2. la probabilità di inclusione del secondo ordine in caso di estrazione senza reinserimento a probabilità costanti;
3. la stima di Horvitz-Thompson relativa alla media di Y con riguardo alla coppia (A,B).
Esercizio 2
Le aziende dell’industria italiana dei trasporti sono state stratificate in 4 settori: terrestre, marittimo, per vie d’acqua ed
aereo. Il carattere oggetto di attenzione è il costo del lavoro Y mentre il numero dei dipendenti X è un carattere
ausiliario. Tramite un campione estratto senza reinserimento delle unità e costituito dal 6% del totale delle aziende da
suddividersi proporzionalmente tra i settori si vuole stimare il costo medio per azienda secondo un campionamento
stratificato senza reinserimento con allocazione proporzionale. Si riportano il numero di aziende N h ed il numero dei
dipendenti
Settore
Nh
Terrestre
Marittimo
Per vie d’acqua
Aereo
100
120
50
80
Numero
dipendenti
500
450
200
350
1. Si determini la stima per quoziente separato e combinato sapendo che i costi totali del lavoro nei campioni
sono stati: 900, 400, 250, 150 e che i numeri totali dei dipendenti nei campioni sono stati: 120, 100, 10, 50.
2. Si indichi se una delle due stime potrebbe essere preferibile.
Esercizio 3
Si vuole stimare il tempo medio di attesa all’ufficio postale durante le prime ore della mattina. Sapendo che il numero
di utenti presenti nelle varie fasce orarie è il seguente
Orario di Prima
entrata
delle
8,00
n.
di 30
utenti
8,00-8,30 8,30-9,00 Dopo
9,00
100
300
le
250
1. Si determini l’ampiezza di un campione estratto senza reinserimento che assicura un errore non superiore a 0,08
avendo fissato α = 0.05 e avendo l’informazione che la varianza totale è pari a 5.5.
2. Sapendo che le varianze degli strati sono nell’ordine: 2.3, 0.4, 1.7, 2.8 si distribuisca la numerosità ottenuta al
punto 1. negli strati con la tecnica ottimale.
3. Si calcoli una stima del tempo medio nell’ipotesi di avere ottenuto nel campione del primo strato un tempo totale
pari a 250 , nel secondo 450, nel terzo 260 nel quarto 400 (i valori sono espressi in minuti).
Esercizio 4
Si dimostri la correttezza dello stimatore per il totale nel caso di campionamento casuale semplice senza reinserimento.
