Il Massimo Comun Divisore M.C.D. e il Minimo Comune Multiplo (m.c.m.) dei Monomi
M.C.D.
Si fa il prodotto delle potenze dei fattori comuni con l'esponente più piccolo
Esempio
x 2 6x3 9x4
fattorizziamo i monomi
x
2
è già fattorizzato
6x3= 2⋅ 3⋅ x 3
9x4= 3 2⋅ x 4
nella parte numerica, il solo fattore comune è 1
nella parte letterale, il solo fattore comune è x, e l'esponente più piccolo è 2. quindi il M.C.D. è
1⋅ x 2 = x 2
m.c.m.
Si fa il prodotto delle potenze dei fattori comuni e non comuni con l'esponente più grande
Esempio
x 2 6x3 9x4
fattorizziamo i monomi
x
2
è già fattorizzato
6x3= 2⋅ 3⋅ x 3
9x4= 3 2⋅ x 4
nella parte numerica, il solo fattore comune è 1 e gli altri sono 2 e 3
nella parte letterale, il solo fattore comune è x, e l'esponente più piccolo è 4. quindi il m.c.m. . è
2⋅ 3⋅ x 4 = 6x4
Applicazioni del M.C.D. E del m.c.m. Dei monomi
L'obiettivo principale dell'algebra è la risoluzione delle equazioni è cosi' anche il MCD e il mcm
vengono usati per questo scopo. Vediamo come
1+ 2x2= x (1+ 2x)
Equazioni fratte
Un'equazione si dice fratta o frazionaria se l'incognita compare nel denominatore di qualche
espressione.
Ad esempio
1
+ x= x − 1
x
è un equazione frazionaria, cosi' come
1 3
+ =0
x x2
risolviamole
1. Calcoliamo il minimo comune multiplo tra x e 1. E' x e quindi l'equazione si riscrive
1+ 2x2
= 1+ 2x
x
da cui , moltiplicando a sinistra e a destra per x
1+ 2x2= x+ 2x2
cancellando 2x2 si ha
1 =x
che riscritta dà come soluzione
x=1
Esempio 2
1 1
+ =0
x2 x
2
il m.c.m tra i denominatori è x possiamo quindi riscrivere l'equazione come
1+ x
=0
x2
da cui , per il secondo principio
x2
(1+ x)
= 0⋅ x 2
2
x
2
e quindi, siccome 0⋅ x = 0
x 2⋅ (1+ x)= 0
. Ci ricordiamo del Teorema Fondamentale dell'Algebra, dimostrato da Carl Friederich Gauss, che
afferma
Un equazione algebrica ha tante soluzioni quanto è il suo grado
2
2
3
e quindi, siccome x ⋅ (1+ x)= x + x la nostra è è un'equazione di terzo grado. Deve quindi avere
tre soluzioni. Cerchiamole
2
Per la legge di annullamento del prodotto x ⋅ (1+ x)= 0 si scompone in due equazioni
2
x=0 e
x+ 1= 0
la prima è un equazione di secondo grado che ha due soluzioni coincidenti x=0. La seconda è
un'equazione di primo grado che ha come soluzione x=-1.
Un applicazione ulteriore del MCD. La scomposizione di un polinomio con
raccoglimento a fattore comune.
2
Sia il polinomio 2x + 2x
il MCD tra i due termini è . 2x
Si ha allora che
2x 2
=x
2x
e
2x
=1
2x
possiamo allora mettere in evidenza o raggruppare a fattor comune l' MCD e avere la seguente
scomposizione
2x2+ 2x= 2x(x+ 1)
(1)
Con il raccoglimento a fattor comune siamo in grado (ma guarda un po') di risolvere equazioni
Vediamo come
Esempio
2x2+ 2x= 0
Per il teorema fondamentale dell'algebra, questa equazione , di secondo grado, ha 2 soluzioni. Dalla
(1) , questa equazione si riscrive come
2x(x+ 1)= 0
che dà come soluzioni x=0 e x=-1
