Lo studio di un sistema di 1° ordine si riconduce quasi sempre allo

APPUNTI DI SISTEMI : studio di un sistema di 1° ordine con Eulero proff. Utizi- Messina
Lo studio di un sistema di 1° ordine si riconduce quasi sempre allo studio di una equazione differenziale.
Essa si presenta nella seguente forma:

du (t )
 u (t )  v(t )
dt
(1)
 = costante di tempo
u(t) = uscita del sistema
v(t) = ingresso del sistema
Come si chiama e cosa indica du (t )
?
dt
Si chiama derivata dell’uscita rispetto al tempo e indica la differenza tra due valori della funzione u(t)
ossia la differenza tra il valore assunto in un certo istante e quello precedente per dt che tende a zero.
(differenza infinitesima).
Come si risolve l’equazione differenziale (1)?
Il metodo più semplice per risolvere questa equazione differenziale di 1° ordine è il metodo di Eulero.
Questo metodo consente di sostituire l’equazione differenziale con una equazione di differenze finite in un
determinato intervallo di tempo.
1° passo
Sostituiamo il simbolo della derivata (d) con il simbolo delle differenze finite () perché il foglio elettronico
è in grado di interpretare differenze finite e non infinitesime.

du (t )
 u (t )  v(t )
dt

u (t )
 u (t )  v(t )
t
2° passo
Si sceglie il passo t circa 10 volte minore della costante di tempo  .
Il numero di istanti di tempo in cui si valuta il valore dell’uscita è dato da: n 
t f  t0
t
dove tf è l’istante
finale e t0 l’istante iniziale.
3° passo
Si sostituisce a u
u  ui 1  ui
Dove ui è il valore dell’uscita nell’istante generico (i) e ui+1 l’istante successivo. Si ottiene quindi:
4° passo

ui 1  ui
 u i  vi
t
Si risolve l’equazione rispetto ui+1 e si ottiene:
ui 1  ui 
vi  ui

 t
ui 1 
vi  ui

 t  ui
5° passo
Si stila la tabella nella quale si calcolano i valori dell’uscita per gli istanti di tempo definiti in base alle
condizioni iniziali.
Supponiamo di voler studiare il sistema nell’intervallo di tempo 0-50s e di aver scelto come passo t = 5s si
ottiene un numero di istanti di tempo pari a :
n
t f  t0
t
 10
Tabella valori
Nella prima colonna inseriamo gli istanti generici (i), nella seconda colonna gli istanti di tempo in cui si
vuole studiare l’uscita u(t) e nella terza colonna si inserisce la formula dalla quale si ottiene il valore della
u(t) nel corrispondente istante.
i (contatore)
-
t
0
0
5
u1 
10
u2 
2
15
u3 
3
20
u4 
4
25
u5 
5
30
u6 
6
35
u7 
7
40
u8 
8
45
u9 
9
50
u10 
1
u(t)
u0 =0
vi  u0

vi  u1

 t  u0
 t  u1
vi  u 2
 t  u 2

vi  u 3

vi  u 4

vi  u5

 t  u3
 t  u 4
 t  u5
vi  u6
 t  u6

vi  u7

 t  u7
vi  u 8

vi  u 9

 t  u8
 t  u9
6° passo
Con Excel si crea il grafico che indica l’andamento della u(t) rispetto al tempo. selezionando la colonna del
tempo e quella della u(t) .Supponendo una costante di tempo pari a  = 50s e una vi = 10V si ottiene:
andamento u(t)
7
6
u(t)
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
t
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
B
u(t)
0
1
1,9
2,71
3,439
4,0951
4,68559
5,217031
5,695328
6,125795
6,513216
10
20
30
tempo
u1 
vi  u0

40
 t  u0 =
50
60
10  0
5  0= 1
50
La formula viene inserita nella cella B3 e poi
trascinata fino alla cella B12
STUDIO DI UN SISTEMA DI 1° ORDINE RC SOLLECITATO DA UN GRADINO
Il modello iconico di un circuito RC
rappresentato.
sollecitato da un gradino di ampiezza E viene così
0V per t < 0
5V per t ≥ 0
Nell’ istante t = 0 la differenza di potenziale ai capi del condensatore è uguale a zero, Vc = 0, e nel
E
circuito circola una corrente limitata dalla sola resistenza R, avente intensità I = .
R
Negli istanti successivi all’ istante iniziale la corrente comincia a caricare il condensatore e di
conseguenza ai suoi estremi si manifesta una differenza di potenziale proporzionale alla sua carica
Q. Questo fenomeno comporta una diminuzione dell’intensità della corrente e quindi della tensione
VR agli estremi del resistore. La tensione Vc invece cresce lentamente a causa della carica Q
spostata. Il processo di carica continua fino a quando la tensione Vc agli estremi del condensatore
non eguaglia in valore assoluto la forza elettromotrice del generatore Vc = E
Per studiare tale sistema è necessario determinare il suo modello matematico partendo dalla legge di
Ohm, per la quale risulta:
E  R  i(t )  vc (t )
(1)
E ricordando che la corrente nel condensatore vale:
i (t )  C 
dvc (t )
dt
(2)
Sostituendo la (2) nella (1) si otterrà il modello matematico del sistema:
E  R C 
dvc (t )
 vc (t )
dt
E  
dv c (t )
 vc (t )
dt
Modello matematico
Il modello matematico appena trovato può essere rappresentato dallo Schema a Blocchi
Grazie a questo schema a blocchi possiamo intuire che nel sistema RC la vi(t) è la forza elettro
motrice cioè la sollecitazione applicata al sistema, la Tensione vc(t) è la risposta e la resistenza R e
la capacità C sono i parametri del sistema, cioè grandezze costanti che non cambiano mai. I disturbi,
invece, che sono ingressi non manipolabili vengono trascurati.
Per studiare come varia la risposta del sistema in funzione del tempo bisogna risolvere l’equazione
differenziale di 1° ordine rappresentata dal modello matematico.
Il metodo di Eulero ci consente di risolvere agevolmente tale equazione:
Considerato che l’ingresso del sistema vi(t) = E e che il nostro modello matematico è:

dvc (t )
 vc (t )  E
dt
L’equazione differenziale la sostiamo con una equazione di differenze finite in un determinato
intervallo di tempo:

dvc (t i )
 vc (t i )  e
dt

Vci
 Vci  E
t
Dobbiamo inoltre considerare che Vc (i+1) e VR (i+1), sono la differenza di potenziale sul condensatore
e sul resistore all’istante generico ti+1; considerando che
Vci  Vc ( i 1)  Vci
Sostituendo Vci e ricavando Vc (i 1) si ottiene:
 E  Vci 
Vc (i 1)  Vci  
  t
  
 E  Vci 
Vci  
  t
  
 E  Vci 
Possiamo osservare che Vc (i+1) è aumentato della quantità 
  t rispetto a Vci che si aveva
 R C 
all’istante precedente.
Possiamo ora produrre una tabella nella quale si calcolano i valori dell’uscita per gli istanti di tempo
definiti in base alle condizioni iniziali che sono:
0V per t < 0
R = 1Kohm ;
C = 100F
vi(t) =
5V per t ≥ 0
TABELLA
Vc0 =
 = RC = 0,1s
t = 0,01s (10 volte <  )
In questa tabella ho calcolato la Vc (tensione ai capi del condensatore) in due modi distinti. Nel
primo ho utilizzato il metodo di Eulero e ho ottenuto i valori numerici della Vc riferiti ai vari istanti
di tempo t1,t2,t3….Nel secondo metodo, invece, ho utilizzato l’ equazione generale che rappresenta la
risposta di un sistema lineare del primo ordine sollecitato da un segnale a gradino ricavata con il
metodo analitico. In questa maniera ho ricavato i valori esatti di Vc. Confrontando infine i risultati
si osserva che essi differiscono di poco e quindi si possono considerare attendibili i risultati ottenuti
con il metodo di Eulero..
Si possono ora tracciare il grafico dell’andamento della Tensione sul condensatore rispetto al
tempo.
Andamento Vc
Eulero
Analitica
2,5
Vc
2
1,5
1
0,5
0
0
0,02
0,04
tempo
0,06