prova del 3-10-2001

Esame di Statistica I – 3 ottobre 2001
docente: Prof.ssa J. Mortera
SOLUZIONI degli esercizi
Nelle soluzioni seguenti non sono stati inseriti i commenti ai risultati. Si ricorda che
tali commenti sono, però, parte integrante delle risposte che gli studenti dovevano
dare.
1. [5] Un’indagine su un campione di 20 comuni governati dall’alleanza A mostra che essi
spendono in media una somma di 175 Euro annui per ciascun contribuente in spese di
amministrazione, con una deviazione standard campionaria di 25 Euro mentre una simile
indagine su un campione di 15 comuni governati dall’alleanza B trova una media di 158 Euro
con deviazione standard campionaria di 30 Euro.
a) Costruire un intervallo di confidenza per la differenza tra le spese medie delle due
amministrazioni comunali al livello di confidenza 99%.
b) Verificare l’ipotesi che l’alleanza B spende in media significativamente meno
dell’alleanza A?
N.B. si supponga che le deviazioni standard campionarie fornite siano quelle non distorte.
soluzione
a) Supponiamo che i due campioni provengano da due popolazioni normali con la
stessa varianza (sconosciuta): X1 ~N(1, 2) e X2 ~N(2, 2).
Dai dati sappiamo che:
x1  175
x 2  158
s’1=25
s’2=30
n1=20
n2=15
2
Una stima di  è:
2
S P2
2
(n  1) s1'  (n2  1) s2'
19  25 2  14  30 2
 1

 741,6
n1  n2  2
33
Gli estremi dell’intervallo di confidenza si ottengono dall’espressione
1
1 
 .
( x1  x2 )  t33,0.995 (n1  n2  2) S P2  
 n1 n2 
t33, 0.005 = 2.73
quindi l’intervallo è
1725.39
e pertanto
[-8.39, 42.39]
b) Verifichiamo l’ipotesi nulla
H0:
1 = 2
Contro l’alternativa
H0:
2 < 1
La statistica test è
X 2  X1  0
1
1 

S P2  
 n1 n2 
In corrispondenza dei nostri dati la statistica test assume il seguente valore:
t oss 
158  175
1
 1
741.6  
 20 15 

Calcoliamo il livello di significatività osservato
17
 1.83
9.302
P(t33 < -1.83| H0) = p con 0.025 < p < 0.05
2. [7] Il numero di clienti che si presentano ad uno sportello bancario in un giorno è descritto
da una variabile casuale X con distribuzione di Poisson di parametro , cioè
x
, x0 e  0
f ( x;  )  e 
x!
Al fine di stimare , è stato rilevato per cinque giorni il numero di clienti che si sono
presentati a questo sportello e si è osservato: 12, 10, 4, 10, 18.
a) Determinate lo stimatore di massima verosimiglianza di .
b) Calcolarne la stima in corrispondenza del campione osservato.
c) Definire la proprietà di consistenza di uno stimatore. Lo stimatore trovato è anche
consistente?
soluzione
a) Scriviamo la funzione di verosimiglianza
x
xi n i i
n
L( )   f ( xi ;  )  e 
e
xi !
i
i
ixi !
La funzione di log-verosimiglianza è
( )  n   xi log   ilog( xi !)
i
Ne calcoliamo la derivata rispetto a  e la poniamo uguale a zero:
d( )
1
Quindi n   xi
 n   xi  0 .
d
 i
i
Pertanto lo stimatore di massima verosimiglianza è
1
̂   X i
n i
Per esserne sicuri calcoliamo la derivata seconda
d 2  ( )
1
n
  2  xi    0.
2
ˆ
d  ˆ

ˆ
b) ˆ 
12  10  4  10  18
 10,8
5
c) Per le proprietà della media campionaria, lo stimatore trovato è consistente in
media quadratica. Dimostriamolo
1
 1
1
E (ˆ )  E   X i    E ( X i )  n  
n
n i
 n i
1
 1
1
2
Var (ˆ )  Var  X i   2  Var ( X i )  2 n2 
 0
n
n n
n i
 n i
Quindi lo stimatore trovato è non distorto e ha varianza asintoticamente nulla pertanto
esso è consistente in media quadratica. La consistenza in media quadratica è
condizione sufficiente per la consistenza, quindi ̂ è uno stimatore consistente.
3. [4] Illustrare le principali proprietà della distribuzione normale e motivare la rilevanza
della distribuzione normale nell’inferenza statistica.
4. [3] Presa una variabile casuale X di media  e varianza 2, dimostrare che la variabile
standardizzata Z ha media pari a zero e varianza pari uno.
5. [8] Una bibita viene venduta in due tipi di confezioni: una bottiglia grande e una piccola.
La quantità di bevanda, in ml, contenuta in ciascuna bottiglia è distribuita normalmente come
segue
Media 
Varianza 2
Piccola
252
4
Grande
1012
25
a) Quattro bottiglie piccole sono scelte a caso. Trovare la probabilità che almeno una di esse
abbia contenuto superiore alla media.
b) Trovare la probabilità che il contenuto totale delle quattro bottiglie piccole sia maggiore
di 1012 ml.
c) Un bottiglia grande e quattro bottiglie piccole sono scelte a caso. Trovare la probabilità
che il contenuto della bottiglia grande superi quello totale delle quattro bottiglie piccole.
d) Un bottiglia grande e una bottiglia piccola sono scelte a caso. Trovare la probabilità che il
contenuto della bottiglia grande sia maggiore di quattro volte quello della bottiglia
piccola.
soluzione
a) Sia X il contenuto di una bottiglia piccola, con X~N(252, 4). La probabilità che X
sia maggiore della media è 0.5 per la simmetria della distribuzione normale
intorno alla sua media. Le bottiglie si suppongono indipendenti. La probabilità che
il contenuto di almeno una bottiglia su 4 sia maggiore della media è
1 – P(tutte le bottiglie hanno contenuto inferiore alla media) =
= 1 – P(il contenuto di una bottiglia è sotto la media)4 =
1
 2
4
= 1   
15
 0.9375
16
b) S=X1+X2+X3+X4 è il contenuto totale delle 4 bottiglie piccole.
E(S) = 4E(X) = 1008
Var(S) = 4Var(X) = 16
Quindi S ~ N(1008, 16)
P(S > 1012) = P(Z > 1) = 1– P(Z < 1) = 0.1587
c) Sia Y il contenuto della bottiglia grande, Y ~ N(1012, 25)
P(Y > S) = P(Y – S >0).
Poichè Y e S sono indipendenti,
Y – S ~ N(1012– 1008, 16+25) = N(4, 41)

P(Y – S >0) = P  Z 

4 
  1   (0.625 )   (0.625 )  0.7324
41 
d) Si vuole trovare P(Y > 4X).
Poichè
E(4X) = 4E(X) e
Var(4X) = 16Var(X)
ne segue che
4X ~ N(1008, 64)
da cui
Y – 4X ~ N(4, 89).
Pertanto

P(Y > 4X) = P(Y – 4X > 0) = P  Z 

4 
  1   (0.424 )   (0.424 )  0.6628
89 
6. [4] Un’azienda rileva su un campione 15 famiglie il numero di volte che è stato acquistato
il prodotto “saponetta” nell’arco di 3 anni
18
14
21
27
3
8
14
17
28
33
40
36
39
20
12
a) Ricavare il valore mediano, i quantili e disegnare il box-plot.
b) Sulle stesse famiglie è stato rilevato anche il numero di biglietti dell’autobus acquistati
nello stesso intervallo di tempo:
118 27
3
0
87
121 8
48
152 67
80
0
0
234 99
Si confronti la variabilità osservata nei due insiemi di dati mediante il calcolo del
coefficiente di variazione. Commentare il risultato.
soluzione
a) Questo è il caso del calcolo dei quartili per distribuzioni per unità. Ordinando
le osservazioni in ordine non decrescente rispetto alle modalità del carattere,
cioè
3
8
12 14 14 17 18 20 21 27 28 33 36 39 40
si vede che la mediana è la modalità assunta dall’unità che occupa la posizione
n 1
, cioè dalla modalità presentata dall’ottava unità. In modo analogo si
2
calcolano il primo e il terzo quartile e si trova
Me = 20
Q1 = 14
Q3 = 33
b) Per calcolare il coefficiente di variazione degli acquisti di saponette occorre
calcolare X e x.
X = 22
X =
13744
 22 2  11.02
15
CV X 
X
11.02
100 
100  50.09
X
22
allora
Per calcolare il coefficiente di variazione degli acquisti di biglietti occorre
calcolare Y e Y.
Y = 69.6
allora
Y =
137790
 69.6 2  65.89
15

65.89
CVY  Y 100 
100  94.67
Y
69.6