testo dell`esame

Esame di Statistica I – 12 Giugno 2003
docente: Prof.ssa J. Mortera
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I quesiti in corsivo hanno carattere teorico. La prova si ritiene superata se si raggiunge la
sufficienza sia sugli esercizi sia sulla parte teorica.
1. [5] Un’indagine su un campione di 20 comuni governati dall’alleanza A mostra che essi
spendono in media una somma di 175 Euro annui per ciascun contribuente in spese di
amministrazione, con una deviazione standard campionaria di 25 Euro mentre una simile
indagine su un campione di 15 comuni governati dall’alleanza B trova una media di 158 Euro
con deviazione standard campionaria di 30 Euro.
a) Costruire un intervallo di confidenza per la differenza tra le spese medie delle due
amministrazioni comunali al livello di confidenza 99%.
b) Verificare l’ipotesi che l’alleanza B spende in media significativamente meno
dell’alleanza A?
N.B. si supponga che le deviazioni standard campionarie fornite siano quelle non distorte.
2. Nel 1976 venne condotto un esperimento negli Stati Uniti per valutare se aiutare gli
ex carcerati durante i primi mesi dopo la scarcerazione poteva evitare la recidività.
a) 592 ex carcerati (gruppo di trattamento) vennero aiutati con diversi contributi
economici e il 48,3% di questi venne nuovamente arrestato dopo un anno dal
rilascio. 154 ex carcerati (gruppo di controllo) non vennero supportati in alcun
modo e il 49,4% di questi venne nuovamente arrestato dopo un anno dal
rilascio. Il supporto economico ai detenuti rilasciati riduce la recidività?
Trovare il livello di significatività osservato.
b) Nel primo anno dopo la scarcerazione i soggetti assegnati al gruppo di
trattamento lavorano in media per 16,8 settimane (con una standard deviation
di 15,9 settimane), contro le 24,3 settimane del gruppo di controllo (con una
standard deviation di 17,3 settimane). Un ex carcerato che viene sostenuto
economicamente tenderà a lavorare di meno? Usare un livello di significatività
del 1%.
2. [7] Il numero di clienti che si presentano ad uno sportello bancario in un giorno è descritto
da una variabile casuale X con distribuzione di Poisson di parametro , cioè
x
, x0 e  0
f ( x;  )  e 
x!
Al fine di stimare , è stato rilevato per cinque giorni il numero di clienti che si sono
presentati a questo sportello e si è osservato: 12, 10, 4, 10, 18.
a) Determinate lo stimatore di massima verosimiglianza di .
b) Calcolarne la stima in corrispondenza del campione osservato.
c) Definire la proprietà di consistenza di uno stimatore. Lo stimatore trovato è anche
consistente?
3. [4] Illustrare le principali proprietà della distribuzione normale e motivare la rilevanza
della distribuzione normale nell’inferenza statistica.
4. [3] Presa una variabile casuale X di media  e varianza 2, dimostrare che la variabile
standardizzata Z ha media pari a zero e varianza pari uno.
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5. [8] Una bibita viene venduta in due tipi di confezioni: una bottiglia grande e una piccola.
La quantità di bevenda, in ml, contenuta in ciascuna bottiglia è distribuita normalmente come
segue
Media 
Varianza 2
Piccola
252
4
Grande
1012
25
a) Quattro bottiglie piccole sono scelte a caso. Trovare la probabilità che almeno una di esse
abbia contenuto superiore alla media.
b) Trovare la probabilità che il contenuto totale delle quattro bottiglie piccole sia maggiore
di 1012 ml.
c) Un bottiglia grande e quattro bottiglie piccole sono scelte a caso. Trovare la probabilità
che il contenuto della bottiglia grande superi quello totale delle quattro bottiglie piccole.
d) Un bottiglia grande e una bottiglia piccola sono scelte a caso. Trovare la probabilità che il
contenuto della bottiglia grande sia maggiore di quattro volte quello della bottiglia
piccola.
6. [4] Un’azienda rileva su un campione 15 famiglie il numero di volte che è stato acquistato
il prodotto “saponetta” nell’arco di 3 anni
18
14
21
27
3
8
14
17
28
33
40
36
39
20
12
a) Ricavare il valore mediano, i quantili e disegnare il box-plot.
b) Sulle stesse famiglie è stato rilevato anche il numero di biglietti dell’autobus acquistati
nello stesso intervallo di tempo:
118 27
3
0
87
121 8
48
152 67
80
0
0
234 99
Si confronti la variabilità osservata nei due insiemi di dati mediante il calcolo del coefficiente
di variazione. Commentare il risultato.
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