Esercitazione 1.2s.08

ESERCITAZIONE 1
Microeconomia IIs
15 maggio 2008 Chiara Del Bo
A. Rappresentazione dei giochi
Definizione di gioco in forma strategica (o forma normale):
“Un gioco G in forma strategica consiste in:
 Un insieme finito di giocatori N
 Un insieme non vuoto Ai , per ciascun giocatore i  N, di azioni
(strategie)
 per ciascun giocatore i  N, una relazione di preferenza su A.
Questa relazione di preferenza viene rappresentata da una
funzione di payoff ui:A   , tale che ui(a)≥ ui(b) ogni volta che a è
preferito a b dal giocatore i.”
Definizione di gioco in forma estesa:
“Un gioco Γ in forma estesa è caratterizzato dai seguenti elementi:
 Un insieme finito di giocatori N (tra i quali può esserci la Natura)
 Un albero del gioco costituito da nodi e rami
 I nodi decisionali che sono ordinati sequenzialmente e attribuiti
ciascuno a un giocatore
 I rami, che denotano le azioni che ciascun giocatore può scegliere
in corrispondenza di ogni suo insieme di informazione
 Una lista di insiemi di informazione che indica quali nodi un
giocatore può distinguere tra quelli attribuitigli
 Una funzione di payoff per ciascun giocatore
 Una distribuzione iniziale di probabilità sulle azioni della Natura
Esercizio 1: Trasformare i seguenti giochi in forma estesa in forma
strategica
Gioco 1 (in forma estesa, informazione imperfetta, gioco simultaneo)
“Matching Pennies”
Giocatore 1: Sceglie Testa o Croce
Giocatore 2: Sceglie Testa o Croce (senza conoscere la scelta del
Giocatore 1)
Se le monete sono simili, il Giocatore 2 vince e riceve 1 cent dal Giocatore
1
Se le monete sono differenti, il Giocatore 1 vince e riceve 1 cent dal
Giocatore 2
Note: Il Giocatore 2 non osserva le scelte del Giocatore 1 prima di
giocare: il gioco è simultaneo. Questo è un gioco in cui i giocatori hanno
interessi diametralmente opposti: detto gioco “strettamente competitivo)
Forma estesa:
1
C
T
T
2
C
(-1,1)
T
C
(1,-1)
(1,-1)
(-1,1)
Descrizione: 1 indica il Giocatore 1, 2 il Giocatore 2. T e C sono le azioni
che possono intraprendere i due giocatori. L’ellisse rappresenta l’insieme
informativo del Giocatore 2 il quale non osserva la scelta del Giocatore 1
(informazione imperfetta). Te c sono le azioni possibili per il Giocatore 2.
Nella parentesi ci sono i payoffs del Giocatore 1 e 2.
Rappresentazione del Gioco 1 in forma strategica:
1/2
T
C
T
(-1,1)
(1,-1)
C
(1,-1)
(-1,1)
I numeri a sinistra sono i payoff del Giocatore 1 (giocatore riga)
I numeri a destra sono i payoff del Giocatore 2 (giocatore colonna)
Gioco 2 (in forma estesa, informazione perfetta, gioco sequenziale)
Forma estesa:
1
B
A
S
(2,2)
D
(4,0)
2
S
(1,0)
D
(3,1)
Il Giocatore 1 muove per primo e sceglie Alto o Basso.
Il Giocatore 2 osserva la mossa del Giocatore 1 e ha 4 strategie.
Dobbiamo infatti specificare tutte le azioni del Giocatore 2, anche in
situazioni che non si verificheranno mai nel corso del gioco. Le strategie
specificano l’azione scelta da 2 per ogni scelta di 1. (Nota: il Giocatore 2
ha 2 azioni possibili, ma 4 strategie, a seconda di quale azioni sceglie 1).
Forma strategica:
1/2
A
B
SS
(2,2)
(1,0)
SD
(2,2)
(3,1)
DS
(4,0)
(1,0)
DD
(4,0)
(3,1)
Gioco 3 (informazione incompleta ma perfetta)
Giocatori: Natura, Giocatore 1, Giocatore 2
Azioni: Natura: Sole o pioggia
Giocatore 1: Ombrello o Niente Ombrello
Giocatore 2: Ombrello o Niente Ombrello
Con probabilità ½ la Natura “sceglie” se ci sarà il sole o la pioggia. Il
Giocatore 1 osserva se piove o meno e decide se prendere l’ombrello. Il
Giocatore 2 non sa se stia piovendo o meno, ma osserva se il Giocatore 1
ha preso l’ombrello o no.
Payoff per entrambi i giocatori:
Se piove, 0 senza ombrello, 6 con ombrello
Se sole, 12 senza ombrello, 8 con ombrello
Nota: Informazione incompleta in quanto il Giocatore 2 non sa che tipo di
giornata sia. Informazione perfetta perché a ogni nodo decisionale, ogni
giocatore sa cosa hanno giocato gli altri (il Giocatore 1 sa cosa ha giocato
la Natura, e il Giocatore 2, pur non sapendo cosa ha giocato la Natura,
osserva cosa ha giocato il Giocatore 1).
Forma estesa:
(6,6)
O
O
1
N
(6,0)
P
0.5
2
(8,8)
N
Natura
N
O
1
(0,6)
(0,0)
2
S
0.5
O
(8,12)
O
N
N
O
(12,8)
N
(12,12)
Forma strategica:
1/2
OO
OO (0,5*6+0,5*8=7;0,5*6+0,5*
8=7)
ON
(9,7)
NO
NN
(4,7)
(6,7)
ON
(7,7)
NO
(7,6)
NN
(7,6)
(0,5*6+0,5*12=9;0,5*6+0,5*12
=9)
(4,4)
(6,6)
(9,4)
(9,6)
(4,9)
(6,7)
(4,6)
(6,6)
B. Eliminazione iterata strategie dominate
Esercizio 2a: Eliminazione iterata di azioni strettamente dominate
Definizione dominanza: Una strategia pura s°i domina un’altra strategia
pura, se u(s°i, s-i)>u(si, s-i) per ogni s-i in S-i. (vale anche per le strategie
miste)
1/2
L
M
N
A
55,45
50,50
52,48
B
52,48
45,55
49,51
C
51,49
46,54
48,52
Per il Giocatore 1, l’azione M è strettamente dominata da L e N
(qualunque cosa faccia 2, 1 ottiene sempre un payoff più basso con M).
Possiamo quindi eliminarla.
Eliminata M, per 2 la strategia A è strettamente dominata da B e C.
eliminiamo quindi anche A. Ora N è strettamente dominata da L per 1,
quindi eliminiamo. B è strettamente dominata da C. Quindi, con
l’eliminazione iterata di strategie dominanti siamo arrivati alla soluzione:
(L,C).
Esercizio 2b: Eliminazione iterata di strategie debolmente dominate
(Osbourne Rubinstein, es. 63.1)
Definizione dominanza debole: Una strategia pura s°i domina debolmente
un’altra strategia pura, se u(s°i, s-i)≥u(si, s-i) per ogni s-i in S-i., e per
almeno un Si vale il segno di disuguaglianza stretta (vale anche per le
strategie miste)
1/2
T
M
B
L
1,1
1,1
0,0
R
0,0
2,1
2,1
Nel caso di dominanza debole, le azioni che sopravvivono all’eliminazione
iterata possono dipendere dall’ordine con cui le azioni sono eliminate.
Infatti, se eliminiamo prima T (debolmente dominata da M) e poi L
(debolmente dominata da R), arriviamo al risultato per cui il Giocatore 2
sceglie R e il payoff è (2,1). Se invece eliminiamo prima B (debolmente
dominata da M) e poi R (debolmente dominata da L), porta alla situazione
in cui il Giocatore 2 sceglie L e il payoff è (1,1).
C. Equilibrio di Nash in strategie pure
Definizione: Dato un gioco G, chiamiamo equilibrio di Nash in strategie
pure ogni combinazione di strategie s* tale che u(s*i, s*-i)≥u(si, s*-i) per
ogni giocatore i e ogni strategia si  Si.
Nell’equilibrio di Nash richiede che la strategia di ogni giocatore sia
ottimale rispetto a quello che fanno gli altri, nel senso che massimizza la
su utilità attesa quando ogni avversario si attiene alla sua strategia di
equilibrio.
Note: L’equilibrio di Nash è uno “stato stazionario” di un gioco in forma
strategica, in cui ciascun giocatore ha le corrette aspettative sul
comportamento degli altri giocatori e si comporta razionalmente. Non si
cerca di esaminare il processo attraverso il quale lo stato stazionario è
raggiunto. L’idea è che il gioco è considerato un modello che serve a
spiegare delle regolarità osservate in una famiglia di situazioni simili.
Ogni giocatore “conosce” l’equilibrio e verifica l’ottimalità del suo
comportamento data questa conoscenza. (Osbourne Rubinstein)
Esercizio 3: equilibrio di Nash in strategie pure
a
e
f
g
h
0,3
2,1
5,1
1,0
b
2,2
3,1
1,4
0,2
c
1,3
2,3
1,0
0,2
d
1,0
2,1
2,2
3,1
Soluzione “per ispezione”: evidenziare le strategie di ciascun giocatore che
sono risposte ottime alle strategie dell’avversario. L’equilibrio di Nash
corrisponde alla combinazione di strategie che sono ciascuna risposta
ottima all’altra. Possono esserci giochi in cui non esiste un equilibrio di
Nash in strategie pure o possono essere molteplici. Il concetto di
equilibrio di Nash non consente di scartare gli equilibri Paretoinefficienti.
L’unico equilibrio di Nash in strategie pure di questo gioco è: (f,c).
Esercizio 5: elettore mediano
L’elettorato di un paese è uniformemente distribuito nel supporto [0,1],
che rappresenta lo spettro ideologico: “0” rappresenta l’estrema sinistra e
“1” l’estrema destra. Supponete che esistano due candidati alla presidenza
(i=1,2) e che ai  [0,1] denoti la posizione occupata dal candidato i-esimo
nel segmento ideologico. Ogni candidato deve scegliere come
posizionarsi, e la funzione di payoff del candidato 1 (simmetrica per il
candidato 2) è la seguente:
 Quando a1< a2, (il candidato 1 è più vicino alla sinistra mentre
il 2 alla destra), la funzione di payoff di 1 è data dalla
percentuale
di
voti
che
vanno
a
lui
cioè:
 1  (a1  0) 
a1  a 2 a1  a 2

2
2
, dove il primo addendo indica la
percentuale di elettorato a sinistra di 1 che voterà per lui, e il
secondo indica che l’elettorato di centro che sta tra il candidato
1 e 2 voterà a metà per lui e a metà per l’altro candidato.
 Quando a1= a2, l’elettorato voterà equamente per entrambi i
candidati, cioè 1 =0.5
 Quando a1> a2 (il candidato 1 è più a destra del candidato 2):
 1  (1  a1 ) 
a1  a 2
a  a2
1 1
2
2
dove il primo addendo indica la %
di elettorato a destra di 1, che voterà per lui, e il secondo indica
che l’elettorato di centro voterà equamente per 1 e 2.
Riassumendo:
 a1  a 2
 a1  a 2
 2 se a1  a 2
se a 2  a1
1 

2

u1 (a1 , a 2 )  1/2 se a1  a 2
u 2 (a1 , a 2 )  1/2 se a1  a 2
 a a
a  a
2
1  1
2
se a1  a 2
 1
se a 2  a1
2

 2
Dimostrare che il solo equilibrio di Nash è a*1=a*2=0.5
In questo gioco con 2 giocatori l’equilibrio di Nash si definisce come la
coppia di strategie( a*1,a*2) tale per cui a*i, con i=1,2, risolve il problema
*
max u i (ai , a i ) dove S denota lo spazio delle strategie dei giocatori (in
ai S i
questo caso l’intervallo [1,0] dei numeri reali).
Giocatore 1: La risposta ottima del candidato 1 alla strategia ottima a*2
del candidato 2 è data da:

 a1  a * 2 
 se a1  a * 2
max 

2
 a1 



a1  a * 2 


 se a1  a * 2
1


max
2

 a1 
Nota: il payoff del candidato 1 è linearmente crescente in a1 (variabile
decisionale) se a1  a*2 e linearmente decrescente se a1  a * 2 . La scelta
ottima sarà quindi di imitare la scelta ottima di 2: a *1  a * 2
Giocatore 2: La risposta ottima del candidato 2 alla strategia ottima a* 1
del candidato 1 è data da:

 a1  a * 2 
 se a 2  a *1
max 

2
 a2 



a1  a * 2 

1 
 se a 2  a *1


max
2

 a 21 
Nota: il payoff del candidato 2 è linearmente crescente in a2 (variabile
decisionale) se a *1  a 2 e linearmente decrescente se a *1  a2 . La scelta
ottima sarà quindi di imitare la scelta ottima di 2: a * 2  a *1
In equilibrio, quindi, i due candidati si imitano: a *1  a * 2 . Che posizione
sceglieranno nello spettro elettorale? Dato a *1  a * 2 , il payoff di 1 è pari a
a *1 se a *1 <=1/2 e 1- a *1 su a *1 >1/2. quindi, 1 massimizza il suo payoff se
a *1 =1/2.
Analogamente, il payoff di 2 è pari a 1- a * 2 se a * 2 <=1/2 e pari a a * 2 se
a * 2 >1/2. dunque 2 massimizza il suo payoff se a * 2 =1/2.
Quindi, l’unico equilibrio di Nash è: a*1=a*2=0.5.
D. Equilibrio di Nash in strategie miste
Esercizio 6: equilibrio di Nash in strategie miste
S (q)
A (p) -1,-3
B (1-p) 4,4
D (1-q)
3,1
-2,-2
Equilibrio di Nash in strategie pure: (B,S) e (A,D)
Equilibrio di Nash in strategie miste:
strategia mista di 1: p  [0,1]
strategia mista di 2: q  [0,1]
Quando 2 gioca la strategia mista q, l’utilità attesa di 1 è:
u1(A,q)=q*(-1)+3(1-q)=3-4q se gioca A
u1(B,q)=4q+(-2)* (1-q)=6q-2 se gioca B
u1(A,q)> u1(B,q)→ 3-4q>6q-2 →q<1/2
La risposta ottima di 1 sarà quindi:
r(q)= A (p-=1) se q<1/2
A,B (p  [0,1]) se q=1/2
B (p=0) se q>1/2
Quando 1 gioca la strategia mista p, l’utilità attesa di 2 è:
u2(S,p)=p*(-3)+4*(1-p)=4-7p se gioca S
u2(D,p)=p*(1)+(1-p)(-2)=3p-2 se gioca D
u2(S,p)> u2(D,p)→ 4-7p>3p-2→ p<3/5
La risposta ottima di 2 sarà quindi:
r(p)= S (q=1) se p<3/5
S,D (q  [0,1]) se p=3/5
D (q=0) se p>3/5
Esercizio 7: equilibrio di Nash in strategie miste
D
A 3,0
B 0,0
C 0,3
E
0,0
1,1
0,0
F
0,3
0,0
3,0
* Equilibrio di Nash in strategie pure: l’equilibrio di Nash in strategie
pure in un gioco con 2 giocatori si definisce come la coppia di strategie
(s1*, s2*)tale per cui si* con i=1,2, risolve il problema
Max si  Si u(si, s*-i)
Risoluzione per ispezione: individuo la risposta ottima di ciascun
giocatore alle strategie giocabili dall’altro. L’equilibrio, se esiste, è la(e)
coppia(e) di strategie ciascuna delle quali è risposta ottima per entrambi i
giocatori. Partiamo dal giocatore 1: se 2 gioca D, la risposta ottima di 1 è
A…….e così via.
In questo gioco, l’unico equilibrio in strategie pure è: (B,E).
* Equilibrio di Nash in strategie miste sul supporto (A,B,S)x(D,E,F)
Un equilibrio di Nash in strategie miste si definisce come un profilo di
strategie e probabilità sij , pi , qi ,1  pi  qi con j=1,2,3 e dove
pi (qi , )(1  pi  qi' ) è la probabilità che il giocatore i giochi la strategia
s i1 ( s i 2 )( s i 3 ) tale che per ciascun giocatore i vale
u i ( s1 j , p i q i )  u i ( si 2 , p i , q i )  u i ( si 3 , p i , q i ) (*)
dove pi (qi ) è la probabilità che l’altro giocatore, -i, giochi la strategia s-i1
(s-i2 ) (sottoinitendiamo la strategia s-i3 che –i gioca con probabilità 1-p-i-qi); la condizione dice che i è indifferente tra il giocare tutte le (tre nel
nostro esempio) strategie del suo insieme Si dato che l’altro sta
randomizzando tra le strategie a sua disposizione.
Affinché i giocatori randomizzino tra le strategie a loro disposizione, deve
valere una condizione di indifferenza.
1) Giocatore 1: egli sarà disposto a randomizzare se, indicata con p2 la
probabilità che 2 giochi D, e con q2 la probabilità che 2 giochi E (la
probabilità che 2 giochi F sarà quindi 1- p2- q2), 1 ha la stessa utilità attesa
dal giocare A, B o C (ovvero la condizione di indifferenza (*)).
Se 1 gioca A, la sua utilità attesa sarà:
p 2 3  q 2 0  (1  p 2  q 2 )0  3 p 2
Se 1 gioca B, la sua utilità attesa è:
p 2 0  q 2 1  (1  p 2  q 2 )0  q 2
Se 1 gioca C la sua utilità attesa è:
p 2 0  q 2 0  (1  p 2  q 2 )3  3(1  p 2  q 2 )
Poiché 1 randomizza se vale la condizione di indifferenza (*), i valori di p
e q tali per cui egli randomizza sono dati da:
3 p 2 = q 2 = 3(1  p 2  q 2 ) ovvero:
p2 = (1  p2  q2 ) =1/5
q 2 =3(1/5)=3/5
2) Giocatore 2: egli sarà disposto a randomizzare se, indicata con p1 la
probabilità che 1 giochi A, e con q1 la probabilità che 1 giochi B (la
probabilità che 1 giochi C sarà quindi 1- p1- q1), 2 ha la stessa utilità attesa
dal giocare D,E o F (ovvero la condizione di indifferenza (*)).
Se 2 gioca D, la sua utilità attesa sarà:
p1 0  q1 0  (1  p1  q1 )3  3(1  p1  q1 )
Se 2 gioca E, la sua utilità attesa è:
p1 0  q11  (1  p1  q1 )0  q1
Se 2 gioca F la sua utilità attesa è:
p1 3  q1 0  (1  p1  q1 )3  3 p1
Poiché 2 randomizza se vale la condizione di indifferenza (*), i valori di p
e q tali per cui egli randomizza sono dati da:
3(1  p1  q1 ) = q1  3 p1 ovvero:
p1  (1  p1  q1 )  1 / 5
q1  3 / 5
L’equilibrio di Nash in strategie miste è dato dalla seguente lista di
probabilità:
p1  (1  p1  q1 )  1 / 5
q1  3 / 5
p2 = (1  p2  q2 ) =1/5
q 2 =3(1/5)=3/5
Nota: l’equilibrio si Nash in strategie pure (B,E) si può indicare con la
seguente lista di probabilità:
p1  0
q1  1
p2  0
q2  1