PROBABILITÀ

PROBABILITÀ
Concezione classica
Il Calcolo delle Probabilità, nato nel Settecento, è sviluppato nella sua forma moderna agli
inizi dell'Ottocento ad opera di Pierre Simon de Laplace, ed è stata ripresa da C.F. Pierce
nel 1910. In base ad essa: la probabilità P(E) di un evento E è il rapporto tra il numero di
casi "favorevoli" al suo manifestarsi e il numero totale di risultati ugualmente possibili e
mutuamente escludentesi:
n° casi favorevoli
p(E) = ——————————————————
n° casi possibili
Ad esempio nel caso di una normale moneta, per l'uscita di testa, si ha:
numero di facce con testa
p("esce testa") = ———————————————————————— =
numero di facce totali
1
———
2
Nel caso di un dado non truccato si valuta 1/6 la probabilità di avere un numero qualsiasi
dei sei presenti sulle facce; così nel caso dell'uscita di un 3 si ha:
numero di facce con 3
p("esce 3") = ———————————————————————— =
numero di facce totali
1
———
6
La probabilità di vincere puntando sul rosso alla roulette è circa il 49%: i numeri rossi sono
infatti 18 su un totale di 37 (oltre ai 18 numeri neri, vi è anche lo zero che è verde).
Concezione frequentista
Quest'idea di probabilità è dovuta largamente a R. Von Mises. In base ad essa, la
probabilità di un evento è il limite cui tende la frequenza relativa del suo verificarsi
all'aumentare del numero di esperimenti
p(E) =
frequenza relativa
lim
—————————————————————
N° prove→ ∞
N° prove
Questa definizione permette di valutare la probabilità di un evento anche se non è
riconducibile a eventi elementari ugualmente possibili e mutuamente escludentesi come
impone l'idea classica di probabilità.
Ad esempio per valutare la probabilità che esca testa nel lancio di una moneta nel dubbio
che sia truccata si attende che siano svolti un numero di lanci sufficiente a consentirci di
determinare una frequenza relativa "stabile".
La probabilità frequentista si può applicare dunque soltanto agli esperimenti ripetibili nelle
stesse condizioni per un numero di volte relativamente elevato, sufficiente a stabilizzare la
frequenza relativa. Ciò non accade per molte situazioni nelle quali ci preme una
valutazione delle probabilità: nel risultato di una partita di calcio, quello di una roulette
russa o il tempo atmosferico di domani.
Concezione soggettivista
È stata introdotta da Bruno De Finetti per rendere maggiormente operativo il concetto di
probabilità, aumentandone il campo di applicabilità. La probabilità soggettiva è il "grado di
fiducia che una persona coerente attribuisce al verificarsi di un evento ". Per rendere
operativa questa idea si può precisare che: la probabilità di un evento E è il prezzo p(E)
che si è disposti a pagare per vincere 1 nel caso si verifichi e 0 in caso contrario,
accettando anche in coerenza di assumere eventualmente la parte del banco.
Ad esempio se un individuo è disposto a scommettere 3 contro 4 sul fatto che si verifichi
un certo evento, attribuisce in tal modo implicitamente a tale evento una probabilità pari a
3/(3+4) (circa il 43%). La frazione che esprime la probabilità ha numeratore uguale a
quanto l’individuo è disposto a puntare e denominatore pari alla sua puntata sommata a
quella di un sfidante invocato a convalidare la valutazione. Tale somma rappresenta
anche quanto ciascuno dei due partecipanti alla scommessa vincerebbe a seguito della
puntata.
Il dilemma di Monty Hall
È un problema di teoria della probabilità, legato ad un gioco a premi americano il cui
conduttore era noto con lo pseudonimo, appunto, di Monty Hall.
Ci sono tre contenitori A, B, C e in uno solo di essi il gestore del gioco pone un oggetto.
Chiede ad uno dei presenti di provare ad indovinare dove sta l'oggetto.
Sia data ad esempio la seguente situazione iniziale:
A
Vuoto
B
Oggetto
C
Vuoto
Il giocatore sceglie ad esempio A, ma non lo apre
Il gestore apre il rimanente contenitore vuoto C e lo mostra al giocatore
Strategie possibili:
Strategia a) il giocatore mantiene la scelta fatta inizialmente;
Strategia b) il giocatore cambia la scelta ed indica il rimanente contenitore chiuso;
Strategia c) il giocatore sceglie nuovamente a caso uno fra i due contenitori rimasti.
Come abbiamo visto, il calcolo della probabilità si basa sulla valutazione a priori della
riuscita di un certo evento. Giocando sempre la stessa strategia:
Probabilità di un evento = Num. casi favorevoli / Num. casi possibili
Ne segue che:
Probabilità di indovinare con la Strategia a): 1/3
Non dobbiamo farci fuorviare dal fatto che il gestore, DOPO LA SCELTA DEL
GIOCATORE, apre una scatola.
Di fatto una scatola su tre contiene l'oggetto, il giocatore ha scelto una scatola e quindi la
probabilità è 1/3.
Probabilità di indovinare con la Strategia b): 2/3
La probabilità che l'oggetto sia in una delle due scatole NON scelte è 2/3.
Visto che il gestore rivela quale delle due è vuota, la probabilità che l'oggetto sia nell'altra
è per l'appunto 2/3.
Cambiando scatola è come se il giocatore avesse scelto DUE scatole, anziché UNA.
Probabilità di indovinare con la strategia c): 1/2
Dopo che il gestore ha mostrato una scatola vuota, è evidente che l'oggetto si trova in una
delle altre due.
Dunque, RISCEGLIEDONE una a caso, la probabilità di indovinare è 1/2.