Esercizi 8 - statistica@unimib

Esercizio 1-SI
c(1  x) 0  x  1
Sia  x   
altrimenti
0
a)Determinare c>0, tale che  x  sia una funzione di densità
b)Determinare la funzione di ripartizione di X
c) calcolare E(X), Var(X)
Soluzione
a)Una funzione  :    è una funzione di densità di probabilità se e solo se
  0 ,  integrabile su  e  (x)  1 . Dobbiamo quindi determinare c tale che
1

x2 
1


=1  c  2

c
x


c


c
1

x
dx

1


2  0
2

1
0
t

x2 
t2
b) (t )    ( x)dx 2 1  x dx 2 x    2(t  )
2 0
2
0
r

Quindi
se t  0
0

(t )  t( 2-t )
se 0  t  1
1
se t  1

t
t
1
 x2 x3 
1
c) E(X)=  x ( x)   2 x(1  x)dx 2   
3 0 3
 2


1
0
1
 x3 x4 
1
E ( X )   x  ( x)dx   2 x 1  x dx  2   
4 0 6
 3
1 1 1
Var(X)= E ( X 2 )  E ( X ) 2   
6 9 18
2


2
1
0
2
Esercizio 2
Sia R una variabile casuale di legge uniforme su (0,1), R~ U 0,1 e sia V il volume di una sfera
di raggio R. Determinare il valor medio di V.
Soluzione
La variabile casuale R ha funzione di densità
per 0  x  1
1
 x   
altrove
0
4
Il volume di una sfera di raggio R è dato da V  R 3
3
 
4 1
4 r4
4
 4
E(V)= E  R 3   E R 3 =   r 3 dr  
3 0
3 4
3
 3
1
0
1
 
3
Esercizio 3
La statura X della popolazione degli adulti di sesso maschile residenti in una certa nazione è
una variabile casuale normale con media pari a 174 cm ed il 99% degli individui ha statura
compresa tra 154 cm e 194 cm.
a) Determinare la varianza della statura
a) Determinare il 10° percentile della statura.
Soluzione
a) X ~ N   174,  2


154  174 X  174 194  174 
 20 
 20 
0.99  P154  X  194  P 


        





 
  
 20 
 20 
 20 
    1     2   1
 
 
 
(Per la simmetria della funzione di densità normale si ha  ( x)  1   ( x) )
 20  1  0.99
 20 
Quindi devo trovare  tale che   
, cioè tale che    0.995
2
 
 
Risulta
20

 2.58 da cui   7.752 cm
b)
Devo determinare il valore di k tale che PX  k =0.1
 X  174 k  174 
 k  174 
 174  k 
0.1  P{ X  k}  P 

  1  

  
7.752 
 7.752
 7.752 
 7.752 
 174  k 
da cui 
  0.9
 7.752 
174  k
 1.29  k  164
da cui
7.752
Esercizio 4
Una ditta confenziona scatole di caffè il cui peso si distribuisce normalmente con valor medio
pari a 1 Kg e con deviazione standard di 6 grammi. Sapendo che la legge impedisce di mettere
in commercio col peso dichiarato di 1 Kg, confezioni che contengono meno di 985 grammi,
quante confezioni in media, ogni mille, non potranno essere messe in commercio?
Soluzione
Sia X la variabile casuale peso
X ~ N   1000,  6
 X  1000 985  1000 
P{ X  985}  P 

   2.5  1  2.5  1  0.994  0.006
6
6


Quindi su mille confezioni, 6 non potranno essere messere in commercio
Esercizio 5-SI
La durata di una batteria di un cellulare si distribuisce secondo una legge esponenziale il cui
valore atteso è pari a 4 anni.
a) Determinare la probabilità che la batteria duri più di tre anni
b) Determinare la varianza della durata della batteria
c) L’intervallo di ampiezza 4 al quale corrisponde la massima probabilità di contenere la
durata effettiva della batteria
Soluzione
a) X è una variabile aleatoria di legge esponenziale di parametro  =1/4=0,25
Devo determinare
PX  3  1   e x dx  1  e x |30  e 3 
1
3
0
e
3/ 4

 0,4724
1
 0,0625
42
C) Devo calcolare
3 / 4 ( a  4 )
 1  e 3 / 4 a  max e 3 / 4 a 1  e 3
max Pa  X  b  max F (b)  F (a)  max 1  e
b) Var ( X ) 
a  0 ,b  0
ba  4
a  0 ,b  0
ba  4
a 0


a 0


Il massimo si ha per a=0. Quindi l’intervallo è (0,4)
Esercizio 6
Una fabbrica possiede due diverse linee di produzione che producono elementi esteriormente
indistinguibili, ma di qualità diversa. I pezzi prodotti dalla linea A sono il 70% del totale e
hanno un tempo di vita distribuito secondo una legge esponenziale di parametro  . I pezzi
prodotti dalla linea B sono il rimanente 30% e hanno un tempo di vita distribuito secondo una
legge esponenziale di parametro    .
a) Un pezzo viene scelto a caso e indichiamo con T il suo tempo di vita. Qual è la
probabilità che T  t ?
b) Calcolare il valor atteso di T.
Soluzione
a)
Siano X A , X B i tempi di vita dei pezzi provenienti dalla linea A e dalla linea B rispettivamente.
X A ~Esp(  ) , X B ~Esp(  )
PX A  t  FX A (t )  1  e t
PX B  t  FX B (t )  1  e  t
PT  t  PT  t | APA  PT  t | BPB  PX A  tPA  PX B  tPB 




 1  e t 0.7  1  e  t 0.3  0.7  0.3  0.7e t  0.3e  t  1  0.7e t  0.3e  t
per t  0 .
b)
Bisogna determinare la densità di T. Al punto a) abbiamo calcolato la funzione di ripartizione.
Derivando si ottiene la densità:
0.7e t  0.3e  t
per 0  t  
T t   
altrove
0


0.7 0.3
E T    tT t dt   t 0.7e t  0.3e  t dt 



0


