Satelliti artificiali
La messa in orbita di un satellite artificiale (corpo che viene indotto a ruotare intorno alla Terra)
può essere schematizzata in due fasi: la fase di lancio e la fase di parcheggio.
Fase di lancio
Una volta stabilita l’orbita sulla quale su vuole parcheggiare il satellite, è necessario provvedere a
fornirgli l’energia necessaria per raggiungere la quota voluta. A ciò provvede il mezzo di
propulsione, il cui motore a razzo basa il suo funzionamento sul principio di azione e reazione: il
combustibile, mescolato con l’ossigeno, produce una miscela esplosiva e, mentre i gas di scarico
prodotti nella combustione vengono espulsi verso il basso, il missile riceve, per reazione, una spinta
verso l’alto. E’ appunto questa spinta che viene utilizzata per imprimere al veicolo spaziale la
velocità necessaria a raggiungere la quota dell’orbita.
E’ noto che un corpo di massa m lanciato verso l’alto
con velocità v0 viene rallentato dall’attrazione
gravitazionale fino a fermarsi ad una altezza h, che può
essere calcolata dalle equazioni del moto:
v = v0 – gt (1)
h v0t
1 2
gt (2)
2
Poiché quando il razzo raggiunge la massima altezza si
ferma, basta porre v = 0 nella equazione (1) per avere:
v
0 = v0 – gt
v0 = gt t o Sostituendo
g
tale valore del tempo nella relazione (4), si ottiene :
h v0
v0 1 v0 2
v2 1v2 v2
g 2 = 0 0 0
g 2 g
g 2 g
2g
definitiva:
h
cioè, in
v0 2
(3)
2g
Da tale relazione si ricava che l’altezza che si vuole raggiungere dipende dalla velocità iniziale del
corpo (velocità di lancio).
In pratica, però, la velocità di lancio deve essere superiore a quella calcolata teoricamente in quanto
l’attrito con l’aria provoca una ulteriore decelerazione.
Fase di parcheggio:
Una volta raggiunta la quota desiderata, viene impressa al veicolo spaziale una velocità v
perpendicolare alla forza di gravità. Mediante le leggi della dinamica è possibile prevedere quale
sarà la traiettoria descritta dal veicolo. Possiamo distinguere due casi.
Primo caso: se la velocità impressa v è inferiore ad un dato valore critico
(velocità orbitale = vorb)
il veicolo si comporta come un proiettile, e cadrà sulla Terra, in quanto la sua
traiettoria è un arco di ellisse che interseca la superficie terrestre.
Secondo caso: se la velocità v è uguale o superiore a vorb , la traiettoria descritta
dal veicolo non interseca la superficie terrestre, per cui esso diventa un satellite della Terra.
A seconda del valore della velocità, l’orbita può assumere una delle configurazioni rappresentate in
figura.
Caso a : v = vorb
orbita circolare
Caso b : v > vorb
orbita ellittica
La velocità orbitale (velocità posseduta da un corpo che ruota intorno alla Terra), si può calcolare
considerando che la forza centrifuga è uguale all’attrazione gravitazionale tra il satellite S e la
Terra.
Dato che la forza centrifuga è data da mv2/r con
r = R + h (R raggio della terra ed h distanza del satellite dalla superficie terrestre), si ricava :
m
v2
mM
G
dove m è la massa del satellite e M è quella della Terra.
2
R h
R h
dalla quale: v
GM
Rh
(4) chiamata: velocità orbitale vorb
GM
Rh
Essendo costanti sia G che M ed R, si vede che la velocità per la messa in orbita di un satellite
(detta velocità orbitale) è indipendente dalla sua massa e dipende esclusivamente dalla distanza h
dell’orbita dalla superficie della Terra.
La velocità di rotazione è legata al periodo dalla relazione: vorb
2 ( R h)
(5)
T
Come esempio calcoliamo la velocità necessaria a mantenere in orbita un satellite all’altezza di
20 Km dal suolo, ed il relativo periodo di rotazione. Usufruendo della relazione (4) in cui:
Costante di gravitazione universale: G = 6,673 10-11 N m2/Kg2
Massa della Terra: M = 5,98 1024 Kg
Raggio terrestre: R = 6,37 106 m
Quota del satellite : h = 20 Km = 2 104 m
Si ha: vorb
GM
6,673 1011 5,98 1024
m/s = 7,9 103 m/s = 7,9 Km/s = 28.400 Km/h
Rh
6,37 106 2 104
Conseguentemente, in base alla relazione (5), il periodo T risulta:
T
2 ( R h)
= 5.070 s = 1h 24m 40s
vorb
Velocità di fuga
La velocità di fuga dalla superficie terrestre è quella che deve avere un corpo affinché si sottragga
all’attrazione da parte della Terra.
Quando un satellite
artificiale viene lanciato
dalla superficie terrestre, gli
viene impressa una velocità
iniziale vo e quindi gli viene
fornita una corrispondente
energia cinetica.
A mano a mano che esso si
allontana dalla Terra,
diminuisce la sua energia
cinetica ma, in omaggio al
principio di conservazione
dell’energia, aumenta in corrispondenza la sua energia potenziale.
Se la sua energia cinetica si annulla prima che il satellite sia uscito dal campo gravitazionale
terrestre, esso ricadrà al suolo; in caso contrario potrà iniziare il viaggio spaziale. Tale evenienza
può verificarsi se la velocità iniziale avrà un valore non inferiore alla cosiddetta velocità di fuga vf.
Per calcolare la velocità di fuga dalla Terra dobbiamo considerare che l’energia potenziale di un
corpo rispetto alla terra è massima quando il corpo è all’infinito ( in pratica lontanissimo e supposta
zero) e decresce man mano che il corpo si avvicina alla Terra (assumendo così un valore negativo);
ora , se lanciamo un corpo con velocità vo, quindi con energia cinetica Wc = ½ mv02 , esso si
allontanerà dalla terra e contemporaneamente Wc diminuisce trasformandosi in energia potenziale
Wp. Se vo e quindi Wc è sufficientemente grande, quando vo si annulla tutta l’energia cinetica si
trasforma in energia potenziale massima, ed in questo caso vo coincide con la velocità di fuga.
L’energia potenziale, la cui espressione è Wp = G
mM
e consideriamone il valore assoluto.
R
Per il teorema della conservazione dell’energia, si ha Wc = Wp per cui
1
mM
mv f 2 G
2
R
cioè:
vf
2G M
R
(6)
Confrontando la (6) con la (4) la velocità di fuga della Terra è uguale alla velocità orbitale di un
satellite sopra una traiettoria di raggio R moltiplicata per
2 , cioè: v f vorb 2
La (6) dà la velocità di fuga da un qualsiasi corpo celeste dalla Terra, Luna , Sole, di massa M , da
una distanza R dal centro del corpo celeste.
La velocità di fuga dalla Terra, risulta dalla (6) di :
vf
11,2 103 m/s
11,2 Km/sec = 40.000 Km/h
Possiamo chiederci, se un corpo è lanciato dalla Terra con tale velocità si perde nello spazio. No,
esso sfugge all’attrazione terrestre, ma non a quella del sole. Infatti, se si volesse inviare
un’astronave dalla Terra fuori dal sistema solare occorrerebbe imprimerle una velocità ancora
maggiore di 11,2 Km/sec, cioè la velocità di fuga dal Sole a partire da un punto distante circa 150
milioni della Terra dal Sole.
Noi sappiamo che la Terra ruota intorno al sole a 30Km/sec; questa è la velocità orbitale di un corpo
che ruota intorno al sole alla distanza Terra-Sole. Quindi, essendo v f vorb 2 la velocità di fuga
dal Sole a partire dalla Terra è vf = 30 2 42 Km/s. Una velocità difficile da imprimere; ma se si
esegue il lancio quando la Terra si allontana dal Sole, basterà imprimere all’astronave la velocità v
= 42 – 30 = 12 Km/s.
Riepilogando
Se un corpo è lanciato da Terra con una velocità minore di vorb esso ricadrà al suolo; se è lanciato
con v = vorb esso descriverà un’orbita; se la velocità di lancio da Terra è di 11,2 Km/s esso sfugge
all’attrazione terrestre, ma non a quella solare; se, poi, si supera la velocità di fuga dal Sole
(42 Km/s) il corpo sfugge anche dal Sole.
N.B. Raggio terrestre = 6,37 106 m = 6.370 Km
distanza media Terra - Luna = 3,80 108 m = 380.000.000 Km
distanza media Terra - Sole = 1,49 1011 m = 149.000.000.000 Km
Massa della Terra = 5,98 1024 Kg massa Luna = 7,35 1022 Kg massa Sole = 2 1030 Kg
costante G = 6,67 10-11 Kg
Satelliti geostazionari
Un satellite geostazionario è un satellite che ruota su un’orbita equatoriale con lo stesso periodo
della Terra, e quindi si trova costantemente sulla verticale di un determinato punto dell’equatore
terrestre. I satelliti geostazionari per essere tali, devono trovarsi ad una determinata altezza dalle
terra che si può così determinare.
I satelliti sincroni, impiegati come ripetitori nelle telecomunicazioni intercontinentali, sono così
chiamati perché ruotano con lo stesso periodo della Terra intorno allo stesso asse. Per cui un
osservatore terrestre vede il satellite sempre nello stesso punto del cielo.
Quale deve essere l’altezza h dal suolo di un satellite sincrono sopra l’equatore?.
Si sa che: v
2 r
T
posto r = R + h si ha: v
2 ( R h)
(10)
T
La forza centripeta sul satellite è uguale al suo peso (all’altezza h). l’accelerazione di gravità è
inversamente proporzionale al quadrato della distanza, per cui:
2
2
gh : g = R : (R + h)
g R2
per cui: gh =
(11) (accelerazione di gravità all’altezza h).
( R h) 2
Ora, essendo l’accelerazione centripeta ac uguale all’accelerazione di gravità gh all’altezza h, si ha:
ac =
4 2 ( R h)
v2
g R2
= gh ; per la (10) si ha:
=
T2
( R h)
( R h) 2
( R h) 3
g T 2 R2
4 2
4 2 ( R h)3 = g T2 R2
.
Dove: g= 9,8 m/s2 ; T = 86.400 sec (1 giorno = 24 3600 = 86.400 sec) ; R = 6,4 106 m )
Si ha:
R + h = 42.500 Km e quindi:
h = (R + h) – R = 36.100 Km
I satelliti geostazionari rivestono un ruolo fondamentale per le telecomunicazioni; infatti essi
funzionano come ripetitori di onde elettromagnetiche mettendo in comunicazione punti della
Terra non in contatto visivo e quindi non raggiungibili direttamente dai segnali.
