π2 2π π π π π π π - Amo la matematica

4^C – recupero per assenti
16/10/2010
Forze e moto – Gravitazione
1. Un mobile di 50 kg è spinto sul pavimento in linea retta con velocità costante. Quanto vale il coefficiente d’attrito, se la
forza che spinge il mobile vale 196,2 N?
Per il primo principio della dinamica, per avere un moto rettilineo uniforme la somma delle forze che agiscono sulla cassetta deve
essere pari a zero. In altre parole, la forza con cui si trascina la cassetta deve essere uguale alla forza di attrito, perciò:
F = Fa = m g k
k =
⇒
Fa
196,2 N
=
=
m g 50 kg ⋅ 9,81 m / s 2
0,4
2. Un pendolo semplice oscilla con un periodo di 4 s circa: calcola la sua lunghezza. Quale sarebbe il suo periodo se la
lunghezza fosse doppia?
T = 2π
Il periodo del moto del pendolo è espresso dalla formula:
l
g
dove l è la lunghezza del pendolo e g l’accelerazione di gravità.
2
 T 
 ⋅ g = 3,98 m
Ricavando la lunghezza in funzione del periodo otteniamo:
l = 
2
π


Nel momento in cui raddoppio la lunghezza del filo, il periodo aumenta secondo la costante 2 :
T2 = 2 π
l2
= 2π
g
2 l1
=
g
2T =
5,66 s
3. Una stessa massa è applicata a due molle. Sapendo che la seconda subisce un allungamento doppio rispetto alla prima,
determina il rapporto tra le loro costanti elastiche e quello tra i loro periodi di oscillazione.
Il corpo è soggetto alla forza peso e alla forza elastica della molla. Il corpo sarà in equilibrio quando la forza elastica, in conseguenza
dell’allungamento della molla, bilancia il peso del corpo:
mg = k s.
Sapendo che
s2 = 2 s1 , ottengo:
I due periodi quindi sono:
Determiniamone il rapporto:
mg
mg
e
.
s2 =
k1
k2
mg
mg
k2
k1
=2
⇒
=
⇒
k2
k1
mg 2 mg
s1 =
Consideriamo i due allungamenti:
T1 = 2 π
T2
= 2π
T1
m
k1
m
1
⋅
k2 2 π
T2 = 2 π
e
k1
=
m
k1
=
k2
2
m
k2
k2 1
=
k1
2
4^C – recupero per assenti
16/10/2010
4.
Forze e moto – Gravitazione
L’accelerazione di gravità sulla Terra è in media 9,81 m/s2 e il raggio terrestre medio è circa 6400 km. Qual è la massa
della Terra?
Su di un pianeta, la forza di attrazione gravitazionale fra la massa del corpo e la massa del pianeta esprime la forza peso:
Fpeso = Fgrav
m gT = G
Ovvero:
5.
m MT
RT2
⇒
MT =
gT ⋅ RT2
=
G
6,02 ⋅ 1024 m
Due palline d’oro di uguale massa, poste a una distanza di 10 cm fra i loro baricentri, si attirano con una forza di
1,7 ⋅ 10−13 N. Qual è la massa di ciascuna pallina?
F =G
La forza di attrazione gravitazionale è espressa dalla formula:
m⋅m
d2
Conoscendo tutte le variabili della formula tranne le due masse, uguali, posso invertire la formula ottenendo:
m =
2
F ⋅ d2
G
⇒
m=
F ⋅ d2
G
=
5,05 ⋅ 10−3 kg
6. Enuncia le tre leggi di Keplero.
1.
2.
3.
Le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
Le velocità orbitali dei pianeti non sono costanti, ma seguono una legge per cui in tempi uguali sono uguali le aree spazzate dal
raggio vettore che congiunge il Sole con il pianeta.
Il rapporto fra il quadrato del periodo di rivoluzione T e il cubo del semiasse maggiore dell’orbita R è costante.
7. Quanto vale la costante di gravitazione universale? Qual è la sua unità di misura?
G = 6,67 ⋅ 10−11 N ⋅
m2
kg 2
8. Cos’è un satellite geostazionario? A quale altezza si deve trovare rispetto alla superficie terrestre?
Un satellite geostazionario è un satellite che ruota su un’orbita equatoriale con lo stesso periodo della Terra, e quindi si trova
costantemente sulla verticale di un determinato punto dell’equatore terrestre. La sua altezza rispetto alla superficie terrestre è di poco
meno di 36 000 km.