Probabilità
Parliamo di probabilità quando siamo in presenza di un fenomeno aleatorio, cioè del
quale è impossibile conoscere a priori l’esito, ad esempio perché questo dipende da
troppi parametri che non siamo in grado di controllare. Si pensi al classico esempio del
lancio di una moneta o di un dado.
I possibili esiti dell’esperimento costituiscono l’insieme detto spazio campionario o
spazio degli eventi, (sample space).
Ogni sottoinsieme di si chiama evento. Si dice che un evento A è verificato se l’esito
dell’esperimento appartiene ad A.
Chiamiamo evento elementare un evento costituito da un unico elemento.
Esempio
Se l’esperimento è il lancio di un dado a 6 facce, allora ={1,2,3,4,5,6}. Così l’evento
esce il 2 oppure il 3 è l’insieme {2,3}. L’evento “esce un numero pari” è {2,4,6}.
La probabilità è una funzione P definita su P() a valori in [0,1] tale che valgano le
seguenti proprietà:
(i) P()=1,
(ii) se A e B sono due insiemi disgiunti, allora P(AB)=P(A)+P(B), additività sugli
insiemi disgiunti.
Un insieme sul quale sia definita una probabilità si chiama spazio di probabilità.
Conseguenze della definizione sono le seguenti proprietà:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P(A)=1-P(A),
P()=0,
P(A \ B)=P(A)-P(B), se B A,
se B A, allora P(B) P(A),
P(A \ B)=P(A)-P(AB
P(AB)= P(A)+ P(B)- P(AB
Vediamo come si verificano: ad esempio, per verificare la 1. basta osservare che
AAe quindi P(AA) = P() = 1. D’altra parte AA = e quindi possiamo
applicare la (ii) e dedurre che P(AA) =1=P(A)+P(A). Da cui segue la 1.
Analogamente per verificare 2. si osserva che e che .
Per 3. si nota che A =(A \ B)B e che (A \ B)B e si applica (ii). E così via.
1
La definizione di probabilità precedente è astratta, completamente disgiunta da ogni
contesto reale, ovvero è di tipo assiomatico.
Consideriamo ora il caso di un esperimento i cui esiti possibili sono in numero finito,
cioè = n. Quando non ci sono eventi “privilegiati” (ad esempio nel lancio del dado
equo), è ragionevole supporre che gli eventi elementari abbiano la stessa probabilità,
ovvero che siano equiprobabili. Dovendo avere l’evento certo probabilità 1, segue che
ogni evento elementare ha probabilità uguale a 1/ n.
Di conseguenza la probabilità che lanciando una volta un dado equo “esca 2 oppure 5”,
è uguale a P({2}{5})=P({2})+ P({5})=2/6=1/3.
Nel caso di eventi elementari equiprobabili e finiti, questa definizione (= porre la
probabilità di ogni evento elementare uguale a 1/ n) coincide con la definizione
frequentista ( o di Laplace) di probabilità. È cioè possibile dimostrare che ripetendo il
lancio del dado un numero N molto grande di volte il rapporto fE/N (=frequenza
relativa) fra il numero volte fE in cui si è verificato l’evento E (= frequenza assoluta)
ed N, approssima P(E), ovvero fE/N P(E), quando N tende all’infinito.
Per convincerci della affermazione precedente proviamo ad eseguire più volte
l’esperimento del lancio di una moneta equa, ci aspettiamo che su un grande numero
lanci, T (testa) uscirà la metà delle volte. Per poter analizzare il risultato di tanti lanci,
diciamo 90, possiamo simulare il lancio del dado su una calcolatrice.
La simulazione è uno strumento importantissimo, laddove eseguire un esperimento
realmente sia molto costoso in termini di tempo o di danaro.
Ci sarà utile utilizzare la funzione rand (che si trova nel menù MATH sottomenù
PROB): ad ogni esecuzione di questa funzione viene generato un numero casuale
compreso nell’intervallo [0,1] secondo una distribuzione uniforme. Se selezioniamo
rand e poi digitiamo (n) ed eseguiamo premendo ENTER, otteniamo un numero
casuale dell’intervallo [0,n]. Codifichiamo le uscite T e C con i numeri 0 e 1. Allora per
ottenere una sequenza di 90 lanci della moneta basta ripetere 90 volte il lancio singolo:
int(2*rand). Infatti, l’istruzione int (menù MATH sottomenù NUM) ha come
argomento un numero e restituisce la parte intera di quel numero (cioè, ciò che viene
prima del punto decimale). Ad esempio, int(2.2345) dà come risultato 2.
Ora facciamo eseguire alla macchina gli 80 lanci memorizzando i risultati in una lista:
l’istruzione è la seguente:
seq(int(2*rand),X,1,90,1) STO L1.
L’istruzione seq si trova nel menù 2nd LIST e serve a creare una lista di 80 elementi
contenenti ciascuno una applicazione della funzione int(2*rand).
Per rilevare quante volte è uscita croce (cioè, 1) è sufficiente sommare tutti i termini
della lista L1. Per fare ciò eseguite: sum L1. L’istruzione sum si trova nel menù 2nd
LIST sottomenù MATH.
Simuliamo ora il lancio ripetuto di un dado equo a 6 facce, ci aspettiamo che su un
grande numero lanci, ogni uscita compaia circa un sesto delle volte.
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Eseguiamo con la macchina gli 90 lanci memorizzando i risultati in una lista diversa
dalla precedente: l’istruzione è la seguente:
seq(int(6*rand)+1,X,1,90,1) STO L2.
Osserviamo che la istruzione int(6*rand)+1 produce un numero casuale intero
compreso fra 1 e 6, operazione equivalente al lancio del dado equo. Per ottenere il
computo automatico della frequenza di ciascuna uscita utilizziamo la funzione di
tracciamento automatico dell’istogramma.
Per vedere l’istogramma dei dati contenuti nella lista L2 eseguiamo le seguenti
operazioni:
1. controlliamo che non ci siano funzioni selezionate nel menù Y=;
2. premiamo 2nd STATPLOT e selezioniamo Plot1: attiviamo On , come Type
scegliamo l’istogramma, come Xlist scegliamo L2, e come Freq 1.
3. Premendo GRAPH e poi
ZOOMSTAT dal menù ZOOM otterremo
l’istogramma dei dati.
Per leggere la frequenza delle classi usiamo TRACE: una crocetta lampeggiante
compare sul primo rettangolo e in basso a sinistra leggeremo le informazioni:
min=0.5, max=1.5 e più a destra n=17 (ad esempio). Questi dati vanno interpretati al
modo seguente: 0.5 e 1.5 sono gli estremi dell’intervallo di base del primo rettangolo ed
n=17 ci informa che in questo intervallo cadono 17 dati della nostra lista. Deduciamo
che nella lista L2 il numero 1 compare 17 volte, ovvero nei 90 lanci l’uno è uscito 17
volte. Spostandoci con le frecce verso destra, possiamo ricavare analoghe informazioni
sulle altre uscite. Dal fatto che i rettangoli che compongono l’istogramma hanno altezze
abbastanza diverse (provate a ripetere più volte i 90 lanci) possiamo dedurre che 90
lanci sono pochi. Occorrerebbe farne molti di più per ottenere una stima ragionevole
della probabilità.
Esercizio
Si lanciano due dadi equi a sei facce uno rosso e uno bianco e si sommano i numeri
risultanti sulle facce superiori. Determinare lo spazio degli eventi e calcolare la
probabilità che la somma sia 5, e poi che la somma sia 12. Di tutte le somme possibili
qual è la più probabile?
Svolgimento = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),
(2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1),
(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. La somma 5 può
verificarsi quando esce (1,4), (2,3), (3,2) oppure (4,1). Quindi poniamo E ={(1,4), (2,3),
(3,2), (4,1)}. Abbiamo così constatato che la somma 5 può verificarsi in 4 dei 36 casi
possibili (equiprobabili) Quindi P(E) =1/36+1/36+1/36+1/36=1/9.
Per la somma 12 si ha invece: P(E) =1/36.
Simuliamo ora il lancio di due dadi a sei facce: eseguiamo quindi le due istruzioni
seq(int(6*rand)+1,X,1,80,1) STO L1
seq(int(6*rand)+1,X,1,80,1) STO L2.
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La lista L1 contiene le uscite del dado rosso e la lista L2 contiene le uscite del dado
bianco, il primo lancio sulla prima riga, il secondo sulla seconda, ecc. Per sommare i
risultati di ogni lancio, basta sommare termine a termine le liste:
L1+ L2 STO L3.
Ora nella lista L3 sono contenute tutte le somme, tracciando l’istogramma della lista L3
possiamo verificare che le frequenze delle varie somme (da 2 a 12) sono abbastanza
diverse.
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