La meccanica quantistica classica di Andrea Bucciotti 5°C

La meccanica quantistica classica di Andrea Bucciotti 5°C
Introduzione
La teoria della meccanica quantistica classica parte da due presupposti fondamentali: che in natura
non esistono traiettorie continue, e che la velocità e la posizione di una particella siano
determinabili solo a livello probabilistico. Essa permette di interpretare e quantificare fenomeni che,
nell'opinione dei fisici contemporanei, non possono essere giustificati dalla meccanica classica, le
cui previsioni sono in questi casi in completo disaccordo con i risultati sperimentali. La meccanica
quantistica elimina anche la distinzione tra particelle e onde che aveva caratterizzato la fisica del
XIX secolo, approdando alla moderna interpretazione dualistica (onda - corpuscolo) grazie alla
descrizione dei moti di una particella tramite funzioni d'onda.
La funzione d'onda
Introduciamo una funzione generica (rappresentabile nel piano come un numero complesso)
dipendente dal tempo e dalla posizione della particella: (x,y,z,t).
2
Il modulo quadro di questa funzione (
) rappresenta appunto la probabilità di trovare la
particella in un certo istante alla posizione data.
La densità di probabilità di trovare la particella in un
cubetto di volume infinitesimo v (e quindi in un punto)
2
x y z.
sarà pari a p
La somma della densità di probabilità degli infiniti cubetti
p
1
di volume infinitesimale è R3
, abbiamo quindi la
certezza di trovare la particella da qualche parte nello
spazio.
Portandoci per comodità nel caso in cui la particella si
muova di moto unidimensionale, notiamo che la
probabilità di trovare la particella in un punto x
decresce con il passare del tempo, appiattendo la
gaussiana di riferimento, a causa delle forze che
agiscono sulla particella stessa.
La forma esatta di può essere determinata grazie all'equazione di Schroedinger, che è una
2
2
equazione differenziale di secondo ordine:
x, t
x, t
U x
dove:
t
2m
x2
 è l'unità immaginaria
h


2
con h costante fisica
U(x) potenziale della particella
x, t
Gli operatori: l'Hamiltoniano
Dopo aver definito meglio la funzione d'onda passiamo al concetto di operatore. Esso è simile a
quello di derivata o integrale di una funzione, è cioè una funzione che opera su una funzione,
restituendone una terza. L'operatore dai noi trattato è l'Hamiltoniano, l'operatore dell'energia, legato
alla funzione d'onda da questa relazione:
dove E è l'autovalore associato all'autostato, o autofunzione .
Notiamo che l'insieme delle E è di ordinamento alef 0, quindi i valori assumibili dall'energia del
sistema sono strettamente discreti e quindi quantizzati.
Ad esempio, nell'atomo di Bhor, ogni livello assumibile dagli elettroni è caratterizzato da una certa
energia costante, che se viene aumentata causa un salto di livello dell'elettrone, giustificato da un
cambiamento della .
2
U x
2m
L'espressione matematica dell'hamiltoniano è la seguente:
Laplaciano, o derivata seconda della funzione.
dove rappresenta il
Un caso particolare: l'oscillatore armonico
Andiamo a determinare nel caso dell'oscillatore armonico (ad esempio un pendolo) gli stati
dell'energia. La legge di Hooke ci determina il valore del potenziale:
1
U x
2
k x2
1
U x
La relazione
con k
m w 2 x2
2
diventa quindi:
2
1
''
2m
e
2m
poniamo
d x2
'
a
Ecco quindi che
E
2
2
4d x
2ad
1
b
''
2dx
2
e risolviamo:
2d
2
2d
bx
2
4ad x
E
m w 2 x2
4 d2 x2
2
m w 2 x2
2
2
a
c
m w2
con c e d costanti arbitrarie.
E
semplificando
2
bx
2
2
Ma E è una costante che non può contenere x. Poniamo quindi x 4 a d
Modificando l'unico parametro non costante, cioè d, ottengo che
d
b
0
b
4a
ma la soluzione negativa non è accettabile, in quanto posta all'esponente della 
genererebbe una curva non convergente, con conseguente perdita di significato fisico.
E
2ad
2a
b
2
ab
w2
1
w
4a
4
2
Dunque
che è il livello 0 dell'energia.
Deduciamo che un oscillatore armonico in stato di quiete ha in ogni caso una piccola energia di
base, e non è mai fermo.
Energia media e delta di Kronecker
Se ci interessasse andare a calcolare il valore medio dell'energia di una particella, avremmo bisogno
di due strumenti: l'operatore hamiltoniano di cui abbiamo già trattato, e il concetto di delta di
Kronecker. L'insieme delle funzioni d'onda forma uno spazio vettoriale, che eredita le leggi del
mondo dei vettori.
Se  ,    cos 
1 2
1 2
Se
1
Cos
2
1,
Cos
allora
0
1,
2
1
0
2
2
(il prodotto interno fra 2 vettori perpendicolari è 0)
Ma se i 2 vettori sono paralleli, e sono quindi lo stesso vettore Cos  = 1
Ed ecco come si presenta la delta di Kronecker:
Prima di procedere al calcolo introduciamo un sistema di assi ortonormali a infinite dimensioni,
giustificato a livello fisico dalla sovrapposizione continua di stati nei quali la particella si può
trovare.
Iniziamo scomponendo psi nelle sue infinite componenti rispetto agli infiniti assi:
a1
1
a2
a3
2
3
...
il prodotto interno fra  e H  è quindi:
,H
a1
a1
1
a2
a1 a1 E1
a3
2
1,
a2
1
1
3
a3 3 ..., a1 H
..., a1 E1 1
a2 E2
2
a1 a2 E2
1,
2
1
2
...
a2 H 2
a3 E3
3
a2 a1 E1
a3 H
...
2,
3
...
sviluppando i prodotti:
1
...
applicando Kronecker si annullano i prodotti di vettori diversi fra loro e rimane quindi
an
n 1
2
En
che è l'energia media della particella.