1
Approssimazione della va Binomiale con la va di Poisson
Se X è B n, allora per n
n
k
n k
n
n!
k
P X k 1
k
k
n
n
k
!
n
k
!
n
n n 1... n k 1
1
1
k
k! n
n
n
k
n
k
1
n
n k
k
e
n k!
2
Quindi se X è B(n,p) con n grande e p piccolo allora
B(n,p)P(np)
Esempi:
1. Numero di telefonate in un centralino tra t e t+1
1. Numero di complicazioni postoperatorie tra t e t+1
2. Numero di piante infestanti in una parcella di terreno
3. Numero di clienti che si presentano allo sportello tra t e t+1
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4
5
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Esercizio 2.18 pag. 89 – Baldi
Un’urna A contiene n palline tutte rosse. Un’urna B contiene n palline di
cui r rosse (1<=r<n) e le rimanenti n-r nere. Si sceglie a caso una delle
urne e da essa si effettua una successione di estrazioni con rimpiazzo.
a) Qual è la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa?
b) Qual è la probabilità che le prime due palline estratte abbiano colori
diversi?
d1) Sapendo che le prime k palline estratte sono rosse, qual è la
probabilità che l’urna dalla quale esse sono state estratte sia l’urna A?
d2) Supponiamo n=12 e r=4; quanto grande dovrà essere k perché si
possa concludere che l’urna da cui le palline sono state estratte sia
l’urna A con una probabilità almeno del 99%?
IN AGGIUNTA
e) Ripetere l’esercizio precedente se la selezione dell’urna dipende dall’esito del seguente
esperimento: “lancio 5 volte una moneta bilanciata e se ottengo un numero primo di teste
allora pesco dall’urna A altrimenti pesco dall’urna B”.
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a) Qual è la probabilità che la prima pallina estratta sia rossa?
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b) Qual è la probabilità che le prime due palline estratte abbiano
colori diversi?
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d1) Sapendo che le prime k palline estratte sono rosse, qual è la probabilità
che l’urna dalla quale esse sono state estratte sia l’urna A?
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d2) Supponiamo n=12 e r=4; quanto grande dovrà essere k perché si
possa concludere che l’urna da cui le palline sono state estratte sia
l’urna A con una probabilità almeno del 99%?
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