Introduzione alla geometria - Centro Interdipartimentale di Ricerca e

LE GEOMETRIE
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CHE COS'È LA GEOMETRIA?
Geometria significa "misurazione del terreno".
Il termine originale greco, geometrein, è composto da geo,
«terra», e metrein, «misurare».
GEOMETRIA : "MISURAZIONE DEL TERRENO"
Erodoto, un celebre storico greco riteneva che la Geometria
fosse nata in Egitto dove gli abitanti avendo la necessità di
delineare i confini delle proprie terre cancellati dalle
inondazioni del Nilo.
Questo era indispensabile per ristabilire
l'ammontare delle tasse dovute al Faraone.
La storia dice che Ramsete II per assegnare ai sudditi un
quadrato di terra, scoprì l'angolo retto.
LE ORIGINI
La geometria fu utilizzata anche dagli astronomi,
ingegneri e architetti per studiare il cielo, costruire
ponti, strade, case...
Forse prima dei Babilonesi e degli Egiziani, i Cinesi e gli Indiani
conoscevano la Geometria e la risoluzione dei problemi, come
indicano alcuni antichi documenti in cui venivano riportate formule
per calcolare l'area dei cerchi e dei triangoli.
Tra il 600-300 a.C. la Geometria ebbe un grande risvolto grazie a
particolari opere di Euclide, Pitagora e Talete.
INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA
La disciplina matematica che nasce dall’esigenza di misurare,
venne chiamata dai greci GEOMETRIA.
I geometri greci impararono a misurare l’estensione di una
linea, retta o curva, di una superficie limitata da linee e di un
volume delimitato da superfici
GEOMETRIA e MISURA
• Con il passare del tempo l’espressione misurare assunse un
significato più ampio: stabilire relazioni tra oggetti geometrici.
Esempi di relazioni:
• un segmento 𝐴𝐶 è il triplo del segmento 𝐴𝐵, o anche
• la relazione tra la lunghezza della circonferenza e il suo
diametro (è un numero con infinite cifre dopo la vigola)
• una retta r è parallela ad una retta m.
METODO DI SVILUPPO DELLA GEOMETRIA
• Per stabilire le relazioni tra vari enti e la loro veridicità, i
geometri dell’antichità perfezionarono un sistema che fini
per diventare il metodo matematico per eccellenza:
LA DIMOSTRAZIONE
METODO DI SVILUPPO DELLA GEOMETRIA
• I geometri greci partirono da principi primari e
«attraverso lunghe catene di ragionamenti»
ottennero un insieme di risultati che
rappresentavano l’insieme delle proprietà
(teoremi) degli enti geometrici che ci circondano;
come del resto sottolinea Cartesio nel ‘Discorso
sul metodo’.
Questa abilità è quello che caratterizza la geometria
euclidea.
CLASSIFICAZIONE E ANALISI DEI MODI DI RAGIONARE
• LA RETORICA
• LA MAIEUTICA
• METODO LOGICO DEDUTTIVO
INTRODUZIONE
Studiata gia' dagli assiro-babilonesi e dagli egizi, la
geometria deve sua forma attuale ad un greco EUCLIDE e in
Grecia dara' il meglio di se' stessa divenendo
da scienza sacerdotale ed esclusiva, scienza aperta a tutti
contribuendo a formare ed esplicitare quei ragionamenti
che poi troveranno le loro applicazioni nella filosofia come
studio sia della natura che del pensiero.
In questa parte del biennio ci occuperemo di Geometria
Euclidea presentata nel modo classico
CHI ERA EUCLIDE
• Non si conoscono con esattezza i dati della vita
di Euclide, come del resto avviene per altri
maestri dell’antichità.
• Tutte le informazioni disponibili si ricavano
dalle interpretazione degli studiosi, fondate
sullo studio dei documenti dell’antichità che
fanno riferimento alla geometria.
CHI ERA EUCLIDE
Visse al tempo del primo Tolomeo (367-283 a.C.),
approssimativamente tra gli anni 325 e 265 a.C.,
perché Archimede, che visse subito dopo
Tolomeo primo, cita Euclide;
CHI ERA EUCLIDE
Le caratteristiche del suo pensiero, sembrano
indicare che studiò ad Atene con discepoli di
Platone. Infatti, la testimonianza più importante
su cui si basa la storiografia che riguarda Euclide
viene da Proclo (filosofo bizantino, frequentatore
dell'Accademia di Atene), che lo colloca tra i più
giovani discepoli di Platone.
CHI ERA EUCLIDE
Euclide era dunque più giovane dei discepoli di
Platone, ma più anziano di Eratostene e di
Archimede che erano fra loro contemporanei,
come afferma in qualche luogo Eratostene.
CHI ERA EUCLIDE
Si sa che visse ad Alessandria insegnando
matematica presso la biblioteca d’Alessandria
d’Egitto, per più di venti anni.
Lì fondò la celebre scuola nella quale sviluppo la
sua attività intellettuale più intensa.
CHI ERA EUCLIDE
La morte viene collocata nel 283 a.C.
Una rappresentazione di Euclide
di Raffaello Sanzio nella Scuola di
Atene del 1509.
CHI ERA EUCLIDE
Intorno all’anno 300 a.C., Euclide scrisse la sua
grande opera: Elementi,
la più importante opera di geometria
dell'antichità.
In quest’opera raccolse tutto il sapere
matematico dell’epoca.
CHI ERA EUCLIDE
Si può dire che quest’opera fosse la più diffusa dopo
la Bibbia.
Fu considerata come libro di testo per apprendere la
geometria quotidiana.
ANEDDOTO- si racconta che Tolomeo gli chiese una volta se
non ci fosse una via più breve degli Elementi per apprendere
la geometria; ed egli rispose che per la geometria non
esistevano vie fatte per i re.
CHI ERA EUCLIDE
Di fatto, per circa 20 secoli, mantenne questo primato di:
• libro di fondamento per lo studio della geometria
quotidiana e
• esempio di esposizione logica, creativa e strutturata
delle conoscenze dell’epoca in cui visse.
La prima versione stampata comparve a Venezia nel 1482
e fu una traduzione dall’arabo al latino.
Nel 1505 fu pubblicata la prima versione in latino tradotta
direttamente dal greco.
L’OPERA DI EUCLIDE: «ELEMENTI»
Euclide formulò la prima rappresentazione
organica e completa della geometria nella sua
fondamentale opera:
‘Elementi di geometria’
o semplicemente gli ‘Elementi’.
Questa opera può essere suddivisa in quattro
parti:
1) Le proprietà delle figure piane e le applicazioni delle
regole su queste figure;
2) L’aritmetica dei numeri razionali;
3) L’aritmetica dei numeri irrazionali e quadratici;
4) La geometria solida.
L’OPERA DI EUCLIDE: «ELEMENTI»
‘Elementi’ è un’opera suddivisa in 13 volumi in cui
si dimostrano, punto per punto tutte le
proposizioni.
Primi 4 libri
I primi quattro libri vengono
denominati pitagorici, poiché il
loro contenuto era
principalmente la materia
studiata da Pitagora e dai suoi
seguaci.
Al loro interno si raccoglie
la geometria piana: le
proprietà dei triangoli e
dei parallelogrammi, il
teorema di Pitagora,
circonferenze, poligoni,
ecc.
L’OPERA DI EUCLIDE: «ELEMENTI»
Il 5° e 6° libro
In questi libri compare per la
prima volta un riferimento alla
proporzione aurea (espressa
come la ragione media ed
estrema)
Tali libri sono dedicati
allo studio delle
proporzionalità e
similitudine dei
poligoni.
L’OPERA DI EUCLIDE: «ELEMENTI»
Il 7°, 8° e 9° libro
In questi libri si definisce il
concetto euclideo di numero.
Euclide per numero intende
quello che attualmente si
definisce come grandezza
misurabile, ovvero, la lunghezza di
un segmento.
I numeri ci si presentano come semplici rapporti
di grandezze omogenee a una comune grandezza
assunta come unità di misura.
http://www.lascuolaitalica.it/vsVII1.htm
I libri sono dedicati, con
particolare attenzione,
all’aritmetica,
sviluppando problemi
relativi alla teoria dei
numeri: la divisibilità, i
numeri primi, i numeri
perfetti, ecc
L’OPERA DI EUCLIDE: «ELEMENTI»
Il 10° libro
Il libro presenta la
classificazione dei
numeri denominati
irrazionali (quelli che
non possono esprimersi
sotto forma di frazioni)
L’OPERA DI EUCLIDE: «ELEMENTI»
11°, 12° e 13° libro
In questi libri sono presentati e
studiati nel dettaglio i famosi 5
poliedri regolari, poliedri (figure
solide) le cui facce sono poligoni
regolari identici: i solidi platonici
Gli ultimi tre libri
analizzano la geometria
nello spazio (poliedri,
sfere, ecc.)
TERMINOLOGIA EUCLIDEA
Euclide intraprese gli ‘Elementi’ dando informazioni
semplici e chiare, facilmente assumibili in maniera
intuitiva che chiamò definizioni, postulati o assiomi e
con questi egli articolò le sue proposizioni, una
catena di definizioni che sviluppano una
dimostrazione.
TERMINOLOGIA EUCLIDEA
Concetti iniziali
Fissiamo le cose iniziali che tutti dobbiamo sapere per poter
costruire la geometria
•Gli enti fondamentali
•Gli assiomi
•I postulati
•Le proposizioni
•Il teorema
•La dimostrazione geometrica
TERMINOLOGIA EUCLIDEA
Ente primitivo: Un concetto primitivo è un ente geometrico che si conosce
mediante le sue proprietà senza che se ne dia una definizione formale. Questi di
solito vengono suggeriti passando da una visione di entità sensibili ad una visione immaginativa con un
processo di idealizzazione che conduce ad entità formali con il ruolo di modelli delle corrispondenti sensibili.
Per esempio il concetto di punto viene suggerito dall'osservazione di un granello di sabbia o dalla punta di uno
spillo; il concetto di retta da un sottile filo di seta o da un raggio di luce; il concetto di piano dalla superficie
tranquilla di uno specchio d'acqua.
TERMINOLOGIA EUCLIDEA
Assioma: proposizione talmente chiara ed evidente che si ammette senza
necessità di dimostrazione. La sua evidenza è maggiore rispetto a quello di
postulato
Postulato: Principio indimostrato la cui validità si ammette a priori per
evidenza o convenzione allo scopo di fornire la spiegazione di
determinati fatti o di costruire una teoria.
TERMINOLOGIA EUCLIDEA
Proposizione: enunciazione di una verità dimostrata o che si cerca di
dimostrare
Teorema: proposizione dimostrabile logicamente, partendo da assiomi, o
da altri teoremi già dimostrati, tramite regole accettate.
I CONCETTI PRIMITIVI
• Nel Libro I compaiono una serie di definizioni iniziali che si
riferiscono al punto, alla retta, all’angolo retto e al parallelismo:
Definizione 1: il punto è quello che non ha parti.
Definizione 2: una linea è una lunghezza senza ampiezza
[…]
Definizione 3: una linea retta è una linea che giace nei suoi punti
[…]
Definizione 10: quando una linea retta è situata sopra un’altra in modo che i due angoli
adiacenti siano uguali, ciascuno degli angoli uguali è retto, e della linea retta che poggia
sull’altra, si dice che è perpendicolare ad essa.
[…]
Definizione 23: le linee rette parallele sono linee rette che, trovandosi sullo stesso piano e
prolungandosi all’infinito in entrambe le direzioni, non si incontrano mai in nessuna direzione.
GLI ASSIOMI
Dopo le definizioni che individuano punto, retta e piano come enti primitivi, compaiono i
seguenti assiomi:
1. Cose uguali ad una terza sono uguali tra di loro.
2. Se a cose uguali si aggiungono altre cose uguali, si ottengono
somme uguali
3. Se a cose uguali si sottraggono altre cose uguali, si ottengono
differenze uguali
4. Le cose che coincidono tra loro sono uguali tra loro.
5. Il tutto è maggiore di una parte.
I POSTULATI DI EUCLIDE
Euclide enuncia anche cinque celebri poatulati:
• I. per due punti distinti passa una sola retta
• II. Un segmento rettilineo può essere prolungato all’infinito
• III. Esiste un’unica circonferenza con un dato centro e di un dato diametro
• IV Tutti gli angoli retti sono uguali
• V Se una linea retta interseca due rette in modo che gli angoli interni di uno
stesso lato siano minori di due angoli retti, le due linee rette, prolungate
all’infinito, si incontrano dal lato in cui i due angoli sono minori di due angoli
retti.
IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE
IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE
ENUNCIATI EQUIVALENTI AL QUINTO POSTULATO
Gli enti fondamentali
Ricordiamo quali sono gli oggetti che sono stati fissati come i
protagonisti della rappresentazione geometrica:
•Il punto
•La retta
•Il piano
fissare e non definire, infatti essi saranno gli indefinibili della
geometria, nel senso che il mio concetto di punto deve essere
uguale al tuo, pero' non posso definire il concetto di punto
(concetto primitivo).
I postulati
I postulati sono delle regole iniziali cui tutti gli oggetti geometrici
debbono obbedire: Euclide li mise alla base della geometria per la loro
intuitivita'.
Possiamo dividerli in 5 gruppi
•Postulati dell'esistenza
•Postulati dell'appartenenza
•Postulati dell'uguaglianza
•Postulati dell'ordine
I postulati sono l'unica cosa che in geometria bisogna studiare a
memoria: tutto il resto sara' ricavato mediante il ragionamento
•Postulato delle parallele
Per ora ci limiteremo ai postulati per il piano; tratteremo i postulati per lo spazio quando parleremo di geometria dello spazio
Postulati dell'esistenza
Definiscono l'esistenza degli enti geometrici
•Esistono infiniti punti
•Esistono infinite rette
Postulati dell'appartenenza
DEFINISCONO I LEGAMI FRA GLI ENTI GEOMETRICI
Per un punto passano infinite rette
Per due punti distinti passa una sola retta
Dato un piano ed una retta, la retta divide il piano in due
semipiani in modo tale che se prendiamo due punti
nello stesso semipiano il segmento che li unisce non
taglia la retta, mentre se prendiamo i due punti in
semipiani opposti il segmento che li unisce taglia la retta
Postulati dell'uguaglianza
Bisogna distinguere fra uguaglianza e congruenza: due cose
sono uguali se sono la stessa cosa, cioe' se occupano lo
stesso spazio nello stesso tempo.
Diremo invece che due cose sono congruenti se sono uguali
ma occupano spazi diversi nello stesso tempo
• (definizione di congruenza)
Due figure si dicono congruenti quando con un movimento rigido
e' possibile sovrapporle in modo che coincidano punto per punto
Postulati dell'uguaglianza
• (proprieta' riflessiva)
Ogni figura e' uguale a se' stessa
A=A
• (proprieta' simmetrica)
Se la figura A e' congruente alla figura B allora anche la figura B e'
congruente alla figura A
A = B => B = A approfondimento
• (proprieta' Transitiva)
Se la figura A e' congruente alla figura B e la figura B e'
congruente alla figura C allora anche la figura A e' congruente
alla figura C
A = B e B = C => A = C come si legge
ORA POSSIAMO DIRE:
• Tutti i punti sono fra loro congruenti
• Tutte le rette sono fra loro congruenti
cioe' con un movimento rigido posso spostare un punto su
un qualunque altro punto ed una retta su una qualunque
altra retta in modo che coincidano
Postulati dell'ordine
Danno il concetto di ordine sulla retta e nel piano:
• Data una retta e su di essa due punti distinti si puo' scegliere
sulla retta un verso per cui il primo punto preceda il secondo ed
il secondo segua il primo
• Data una retta e su di essa due punti distinti esiste sempre un
terzo punto che si trovi compreso fra il primo ed il secondo (in
pratica significa che i punti su qualunque segmento di retta
sono infiniti)
Postulato delle parallele
• Su un piano data una retta ed un punto fuori di essa, dal
punto e' possibile tracciare solamente una parallela alla
retta data.
Questo postulato, tra l'altro il meno intuitivo fra tutti i postulati, e' quello che ha
permesso di capire che i postulati sono regole iniziali, e, come tutte le regole
iniziali, se vengono cambiati permetteranno di ottenere geometrie di tipo
diverso da quella euclidea ma perfettamente logiche e portatrici di risultati:
pensa che una di queste geometrie e' la geometria di Riemann base della teoria
della relativita'.
Alcuni esempi di geometrie non Euclidee verranno dati nel capitolo in cui
studieremo il parallelismo
La dimostrazione
• Nota importante:
Spesso ho incontrato alunni che dicono: "ma e' evidente, perche' devo
dimostrarlo?"
Purtroppo quella macchina meravigliosa che e' il nostro cervello talvolta ci
porta a conclusioni sbagliate (se non ci credi prova a rispondere a queste
domande) , quindi serve un metodo per metterci al riparo da errori di cui non
potremmo renderci conto: il metodo geometrico
Se io prendo un triangolo rettangolo ed un triangolo con l'angolo che
differisca per un millesimo di grado tu non sei in grado di distinguere quale
dei due sia rettangolo, ma in uno sara' valido il teorema di Pitagora, nell'altro
no; da qui la necessita' di dimostrare tutto, anche le cose che ci sembrano piu'
ovvie (Inserire anche esempio dell'area del triangolo)
La dimostrazione
La dimostrazione potra' effettuarsi mediante
• il teorema: insieme di ragionamenti piu' o meno
complicati
• il criterio: scorciatoia per dimostrare qualcosa
• il lemma: conseguenza immediata derivata da un teorema
IL TEOREMA
Il teorema può essere:
• diretto: con un ragionamento parto dall'ipotesi ed arrivo alla
tesi
• per assurdo: si nega la tesi e se da questo si riesce a negare
anche l'ipotesi il teorema sara' vero
Sul concetto di geometria
Le "geometrie" e i giochi di carte
• Per quanto ti possa sembrare stano una delle cose piu' simili alla geometria che esista nel mondo reale
e' una partita a carte: Le regole iniziali sono i postulati che anche qui puoi suddividere in
• esistenza
• appartenenza
• uguaglianza
• ordine
Sul concetto di geometria
Le "geometrie" e i giochi di carte
• E qui puoi vedere come funzionano i postulati:
se dico
esistono 40 oggetti, 10 carte di bastoni, ..... avro' le carte per una partita di briscola, tresette, scopa, .....
mentre se dico
esistono 56 oggetti, 13 carte di quadri,..... avro' le carte per una partita di ramino, scala quaranta,.....
se gli oggetti sono solo 32...... avro' le carte per il poker
Sul concetto di geometria
Le "geometrie" e i giochi di carte
• Variando i postulati dell'uguaglianza e dell'ordine (il tre prende i tre oppure le carte la cui somma e' tre
oppure il tre prende l'asso se il seme e' uguale o se il seme corrisponde alla carta scoperta) scegliero' se
giocare a scopa o a tresette
In pratica i postulati ti obbligano a giocare in un modo piuttosto che in un altro, ma i giochi che fai sono
tutti ugualmente validi, sta a te scegliere poi quello che ti piace di piu'
Sul concetto di geometria
Le "geometrie" e i giochi di carte
• Similmente, variando i postulati iniziali tutte le geometrie che potremo ottenere saranno ugualmente
valide, saremo poi noi a scegliere quelle che meglio si adattano al mondo reale (in modo da poterlo
filtrare tramite il nostro ragionamento per meglio adattarlo alle nostre esigenze)
Sul concetto di geometria
Le "geometrie" e i giochi di carte
• Per esercizio prova a scrivere i postulati per un gioco che conosci