GLI EVENTI E LA
PROBABILITA’
© GIOVANNI CATTARUZZA & LORENZO VISINTINI
a.s. 2013/14
INTRODUZIONE
Distinguiamo tre tipi di eventi:
Certi
Impossibili
Aleatori
Prenderemo in considerazione gli eventi aleatori.
PROBABILITA’
Da un mazzo di 52 carte se ne estragga una; si
determini la probabilità che esca un fante.
Il numero di casi possibili è 52 (numero di carte nel
mazzo)
Il numero di casi favorevoli (fanti) è 4
p=
4
52
=
1
13
Si lancia un dado; calcolare la probabilità
che esca 5 o un numero pari
Il numero di casi possibili è 6
Il numero di casi favorevoli è 4
=> f = {2; 4; 5; 6}
4
Secondo la formula la probabilità è
6
=
2
3
PROBABILITÀ
Definizione
La probabilità del verificarsi di un evento è data
dal rapporto fra il numero dei casi favorevoli
(nell’esempio i fanti) e il numero dei casi
possibili (nell’esempio le 52 carte), purché
questi siano tutti ugualmente possibili
p (E) =
𝑓
𝑢
EVENTI E INSIEMI
Possiamo descrivere un evento attraverso
il linguaggio degli insiemi.
Consideriamo il lancio di un dado, l’evento
«esce un numero dispari».
I casi possibili sono 6 pertanto l’insieme
universo è U = {1,2,3,4,5,6}
I casi favorevoli sono 3
F = {1,3,5}
Un’urna contiene 5 palline bianche, 8
palline nere e 7 rosse. Calcola la
probabilità che:
L’EVENTO CONTRARIO
Dato un evento E, possiamo dire che
l’evento contrario è l’evento che si verifica
non si verifica E
La somma della probabilità di un evento e
quella del suo evento contrario è 1
p (E) + p (Ē) = 1
p (Ē) = 1 – p (E)
EVENTI COMPATIBILI E
INCOMPATIBILI
EVENTI COMPATIBILI
Dati due Eventi, E1 e E2,
appartenenti allo stesso
insieme Universo, si dicono
compatibili se possono
verificarsi
contemporaneamente.
EVENTI INCOMPATIBILI
Al contrario, si dicono
incompatibili se il verificarsi
di uno esclude il verificarsi
contemporaneo dell’altro.
Dati 12 dischetti numerati, prendiamo in
considerazione gli eventi:
- Esce un multiplo di 5 F = { 5, 10}
- Esce un multiplo di 3 F = { 3, 6, 9, 12}
SONO INCOMPATIBILI
SOMMA DI EVENTI
INCOMPATIBILI
Riprendiamo l’esempio dei
12 dischetti:
F (E1) = {5, 10}
F (E2) = {3, 6, 9, 12}
p (E) = p (E1) + p (E2)
=
2
12
=
6
12
+
4
12
=
1
2
COMPATIBILI
U = {dischetti}
E1 = «esce un numero pari»
E2 = «esce un numero > 7»
Per sommare due eventi
dobbiamo tenere conto anche
della loro intersezione.
SOMMA DI EVENTI COMPATIBILI
p (E1 U E2) = p (E1) + p (E2) – p (E1 п E2)
Nell’esempio
p (E1 U E2) =
6+5−3
12
=
8
12
=
2
3
AUB
U
1
3
2
4
8
10
6
9
12
11
5
7
Un cassetto contiene 18 calzini blu, 6 neri e 4 grigi.
Calcola la probabilità che,
estraendone uno a caso,
esso sia blu o grigio.
U = «28 calzini»
E1 = «18 calzini blu»
E2 = «4 calzini grigi»
E1 U E2 = «18 + 4 calzini»
p (E1) + p (E2) =
18+4
28
=
22
28
=
11
14
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Prendiamo in considerazione due
eventi:
U = «12 dischetti numerati»
E1 = «esce un multiplo di 3»
E2 = «esce un numero < 9»
Si verifica l’evento E2
U
E2
2
11
5
8
4
E1
1
3
7
12
6
9
10
EVENTI DIPENDENTI
p (E1) =
1
3
p (E1 | E2) =
1
4
In questo caso gli eventi si dicono
dipendenti, perché p (E1) ≠ p (E1 | E2)
TEOREMA DEL PRODOTTO
EVENTI DIPENDENTI
Consideriamo un sacchetto con 3 gettoni numerati.
E1 = «il primo estratto è dispari»
E2 = «il secondo estratto è dispari»
Supponiamo che, dopo la prima estrazione, il gettone NON
venga rimesso nel sacchetto.
TEOREMA DEL PRODOTTO
EVENTI DIPENDENTI
, perché i numeri dispari
sono due su tre.
p (E1) = p (E2) =
2
3
Si verifica E1:
l’insieme Universo si restringe a 2 gettoni.
p (E1 | E2) =
1
2
TEOREMA DEL PRODOTTO
EVENTI DIPENDENTI
Seconda estrazione
E = «i due numeri estratti sono entrambi dispari»
3
2
1
0
0
1
2
Prima estrazione
3
TEOREMA DEL PRODOTTO
EVENTI DIPENDENTI
I casi possibili sono 6 (vedi grafico).
I casi favorevoli sono 2, corrispondenti alle coppie (1; 3) e (3; 1).
Quindi:
p (E) =
2
6
=
1
3
Possiamo dire che:
p (E1 ∩ E2) = p (E1) ∙ p (E1 | E2)
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Consideriamo due eventi nell’insieme Universo precedente:
E1 = «esce un multiplo di 3»
E3 = «esce un numero pari»
Si verifica l’ E3.
Rappresentiamo questi eventi in un insieme:
EVENTI INDIPENDENTI
U
1
11
3
12
9
4
6
2
7
5
10
8
EVENTI INDIPENDENTI
La probabilità di E1 è
4
12
=
La probabilità di E1 | E3 è
1
3
2
6
=
1
3
In questo caso i due eventi sono indipendenti,
poiché p (E1) = p (E1 | E3)
TEOREMA DEL PRODOTTO
EVENTI INDIPENDENTI
Consideriamo i 3 gettoni numerati:
E1 = «il primo numero è dispari»
E2 = «il secondo numero è dispari»
Supponiamo che, dopo la prima estrazione, il gettone venga
rimesso nel sacchetto.
p (E1) = p (E2) =
2
3
TEOREMA DEL PRODOTTO
EVENTI INDIPENDENTI
E = «escono due numeri dispari"
3
2
1
0
0
1
2
3
TEOREMA DEL PRODOTTO
EVENTI INDIPENDENTI
I casi possibili sono 9 (vedi grafico)
I casi favorevoli sono 4 corrispondenti alle coppie ( 1; 1)
(1; 3) (3; 1) (3; 3)
p (E) =
4
9
Possiamo dire che:
p (E1 ∩ E2) = p (E1) ∙ p (E2)
I 24 libri di uno scaffale sono numerati da 1
a 24. Qual è la probabilità che, scegliendone
uno a caso, si prenda un libro con numero
pari o minore di 12.
U = «24 libri»
E1 = «numero pari»
E2 = «numero < 12»
𝟏𝟐
𝟏
p1 =
=
𝟐𝟒
𝟐
𝟏𝟏
p2 =
𝟐𝟒
𝟏𝟐+𝟏𝟏
𝟓
𝟏𝟖
𝟑
p=
=
=
𝟐𝟒
𝟐𝟒
𝟐𝟒
𝟒
Dal sacchetto della tombola si fanno due
estrazioni successive con reimmissione.
Calcola la probabilità di ottenere un numero
pari e un numero dispari.
U = «90 numeri»
E1 = «numeri pari»
E2 = «numeri dispari»
eventi INDIPENDENTI
p (E1) ∙ p (E2)
=
𝟒𝟓 𝟒𝟓
∙
𝟗𝟎 𝟗𝟎
=
𝟏
𝟐
∙
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟒
Nell’estrazione contemporanea
di due carte da un mazzo di 40,
qual è la probabilità che
escano due 5?
E1
1
5
5
5
5
40
E2
4
1
p (E1) =
=
40
10
3
1
p (E1 | E2) =
=
39
13
1
p (E1 ∩ E2) =
10
∙
1
1
=
13
130
