Scuola Militare Nunziatella
COMPLETEZZA e COERENZA
della Matematica
• 4 giugno 2013- Luigi Taddeo
Quanti figli ebbero Renzo e Lucia?
P.ODIFREDDI-Lezioni di Logica
Matematica
Parigi, 8 Agosto 1900- Conferenza
internazionale dei Matematici (ICM)
David HILBERT (18621943) 23 PROBLEMI :
• da 1 a 6 i
FONDAMENTI della
Matematica
• da 7 a 14 l’Algebra e la
Geometria
• da 15 a 23 la Topologia
e l’Analisi
I Primi due
• 1) L’ipotesi del Continuo
• 2) Completezza e Coerenza dell’Aritmetica
(della Matematica)
INSIEMI INFINITI
• Cardinalità di un insieme
L’insieme dei numeri naturali è
equipotente all’insieme delle
frazioni
L’INFINITO
(della Matematica)
•
•
•
•
Tu, che contieni te stesso
Tu, che sottratto rimani te stesso
Tu, che sommato rimani te stesso
Tu, sei infinito
Georg Cantor
1845-1918
IPOTESI DEL CONTINUO
• Esistono insiemi che hanno cardinalità
compresa tra quella di N (numeri naturali)
e quella di R (numeri reali)?
Ritorniamo al problema da cui
siamo partiti
• Quanti figli ebbero Renzo e Lucia?
• Non lo sappiamo nel senso che Manzoni
non ce lo dice esplicitamente né lo si
deduce dal romanzo
Testo Letterario -Teoria
Matematica
• TESTO
• ASSIOMI
• CRITICA
• ANALISI
(DIMOSTRAZIONI)
• ASPETTI IMPLICITI
• TEOREMI
• Nessun testo letterario descrive una realtà
sufficientemente complessa in modo
completo
• Manzoni “Ne vennero poi col tempo non
so quant’altri, dell’uno e dell’altro
sesso….”
Ipotesi del continuo
Primo problema di Hilbert
• Gli assiomi della Teoria degli insiemi non
sono sufficienti né ad assicurare
l’esistenza di insiemi aventi la cardinalità
compresa tra quella di N e quella di R, né
ad escluderne l’esistenza.
• Dunque: Esistono insiemi che hanno
cardinalità compresa tra N ed R?
• Risposta: Non è possibile rispondere
Teorema di INCOMPLETEZZA
(1931) Kurt Gödel-1906-1978
• In ogni teoria
matematica è
possibile costruire
proposizioni
sintatticamente
corrette che non
possono essere né
dimostrate né
confutate all'interno
della teoria stessa
INCOMPLETEZZA
• Nessun testo
letterario è
completo
• Nessuna teoria
matematica è
completa
COERENZA (consistenza)
• La coerenza è l’impossibilità di dimostrare
una proposizione e il suo contrario, detto
in altro modo:
Se riesco a dimostrare che A è vera non
potrò mai dimostrare che A è falsa e
viceversa
UN’ULTERIORE
CONSEGUENZA del Teorema di
Gödel
La consistenza della teoria stessa NON è
dimostrabile
CONCLUSIONI
• Dio esiste perché la Matematica è
coerente,
• il Diavolo esiste perché non lo possiamo
dimostrare
