6.3 La cardinalità di R Mappa dell`Unità Sembra, da quanto detto

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6.3 La cardinalità di R
Mappa dell'Unità
Sembra, da quanto detto finora, che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa cardinalità. Ci manca solo `RR` insieme
dei numeri reali e il gioco è fatto. Si ricorda che `RR` è definito mediante le sezioni di Dedekind, ma per darne una
definizione informale poniamo che `RR` sia l'insieme `RR`={numeri con infinite cifre decimali anche non periodiche}.
Per mostrare che `|NN|=|RR|` basterà trovare una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di `NN` e quelli di `RR`, e
per far questo dobbiamo mettere in ordine tutti gli elementi di `RR`, per esempio in questo modo:
`NN`
`RR`
0 → 2,135672736499…
1 → 1,333333333333…
2 → 2,641488235261…
3 → 0,540018123511…
4 → 5,540161413318…
5 → 4,054082862554…
6 → 8,888282956135…
7 → 6,126442624186…
8 → 9,649828464283…
9 → 3,678678678678…
eccetera.
La cosa importante è che nella colonna di destra ci siano TUTTI i numeri reali. Come possiamo essere certi che siano
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proprio tutti? Consideriamo che (argomento diagonale di Cantor)
- il primo numero ha come prima cifra dopo la virgola il numero 1.
- il secondo numero dell'elenco ha come seconda cifra dopo la virgola il numero 3.
- il terzo numero ha come terza cifra dopo la virgola il numero 1.
- il quarto numero ha come quarta cifra dopo la virgola il numero 0.
Queste cifre sono indicate in grassetto nella corrispondenza tra `NN` e `RR`.
Si consideri il numero reale avente parte dopo la virgola ottenuta aumentando di uno tutti i numeri in grassetto in
diagonale (se il numero è 9 si mette lo zero), ad esempio: 5,2421730357…
Questo numero non è nell'elenco!
Avevamo appena supposto di aver elencato tutti i numeri reali e già ne troviamo uno che non c'è! (e non è affatto
l'unico). Non è dunque possibile elencare tutti i numeri reali e quella appena mostrata è la dimostrazione che la
cardinalità di `RR` è superiore al quella di `NN`.
Mediante questo ragionamento, detto metodo diagonale di Cantor, si è dimostrato il teorema seguente.
6.3.1 Teorema
`RR` non è numerabile.
6.3.2 Definizione
Se un insieme ha la stessa cardinalità dei numeri reali si dice che esso ha la potenza del continuo.
Si può quindi concludere che `|NN| lt |RR|`.
La domanda che si pose Cantor fu la seguente: esistono insiemi che hanno cardinalità superiore a `|NN|` ma minore
di `|RR|` Cantor disse che a suo parere tali insiemi non potevano esistere, e questa è detta ipotesi del continuo.
6.3.3 Ipotesi del continuo
Non esistono insiemi che hanno cardinalità compresa tra quella di `NN` e quella di `RR`.
La teoria degli insiemi si fonda sugli assiomi di Zermelo-Fraenkel, esposti qui sotto con alcune modifiche successive.
6.3.4 Assiomi di Zermelo-Frankel (1908)
• Estensionalità. Se `A sube B` e `A supe B` allora `A=B`.
• Insiemi elementari. Esiste l'insieme vuoto Ø che non ha elementi. Dato l'elemento `a` esiste l'insieme `{a}` che ha
`a` come unico elemento. Dati gli elementi `a` e `b` esiste l'insieme `{a,b}` che contiene solo `a` e `b` come elementi
• Separazione. Se una proposizione p(x) è ben definita per tutti gli elementi x di un insieme X allora esiste un
sottoinsieme di X, indicato con Y, tale che per tutti gli elementi di Y la proposizione p(x) è vera.
• Insieme potenza. Per ogni insieme A esiste l'insieme delle parti P(A) avente come elementi tutti e soli i
sottoinsiemi di A.
• Insieme unione. Per ogni insieme A c'è un insieme B avente come elementi tutti e soli gli elementi degli elementi di
A.
• Assioma dell'infinito. Esistono infiniti insiemi. Se c'è almeno un elemento a allora esistono i seguenti insiemi: {a},
{{a}}, {{{a}}},…
• Altrimenti se non ci sono elementi allora esistono gli infiniti insiemi:{Ø}, {{Ø}}, {{{Ø}}},…
Ci sono poi due assiomi che fanno riferimento a conoscenze di logica pertanto non si ritiene opportuno esporli in
questa sede:
• Assioma di rimpiazzamento.
• Assioma di fondazione.
Infine il più controverso di tutti:
• Assioma della scelta. Se A è un insieme avente come elementi insiemi disgiunti e non vuoti A1, A2, A3,… (non è
detto che siano una infinità numerabile, potrebbe essere una infinità non numerabile) è possibile costruire un insieme
prendendo un elemento da ognuno degli insiemi A1, A2, A3,
Tali assiomi sono considerati alla base della matematica ordinaria, benché non sia possibile provare la loro coerenza
con gli strumenti della matematica ordinaria (si veda successivamente il teorema di incompletezza di Gödel).
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L'ultimo assioma è stato utilizzato per dimostrare il paradosso di Banach-Tarski (che esporremo nel paragrafo che
segue), proposto da Banach e Tarski proprio per supportare la loro decisione di non utilizzare l'assioma della scelta,
sperando che altri matematici li seguissero. Il fatto che da questo assioma seguano paradossi ha convinto i matematici
ad usarlo con parsimonia.
Successivamente si è dimostrato, riferendosi agli assiomi di Zermelo-Fraenkelche definiscono la teoria degli insiemi
che:
• L'ipotesi del continuo è coerente con la teoria degli insiemi ( Gödel 1936).
• La negazione dell'ipotesi del continuo è coerente con la teoria degli insiemi (Cohen 1963).
Si può dunque concludere che l'ipotesi del continuo è indipendente dalla teoria degli insiemi, ed è quindi possibile
creare teorie degli insiemi differenti accettando o rifiutando l'ipotesi del continuo.
In insiemistica si è visto che, dato un insieme `A`, è possibile costruire un insieme detto insieme delle parti. Tale
insieme ha come elementi tutti i sottoinsiemi dell'insieme `A` ed è indicato da `text(P)(A)`. E' facile vedere che se
l'insieme `A` finito ha cardinalità `|A|` allora l'insieme delle parti ha cardinalità `|P(A)|>|A|`. E' possibile dimostrare che
tale proprietà vale anche se l'insieme A è infinito, dunque l'insieme `text(P)(NN)` ha una cardinalità più che numerabile.
Cantor ha dimostrato che la cardinalità dell'insieme `text(P)(NN)` è uguale alla cardinalità di `RR`, quindi `text(P)(NN)`
ha la potenza del continuo. Si dice che la cardinalità di `text(P)(NN)` è `aleph_1`. Allo stesso modo si può trovare
l'insieme `text(P)(RR)`, ed esso avrà una cardinalità maggiore di quella di `RR`, che si indicherà con `aleph_2` eccetera
eccetera. E' così possibile costruire infiniti insiemi ognuno di cardinalità maggiore a quello precedente. Tali numeri
`aleph_0`, `aleph_1`, `aleph_2`,… sono detti numeri transfiniti, ed essi sono, neanche a dirlo, infiniti!
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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