PNI quesito 9
Def. Due insiemi sono equipotenti (hanno la stessa cardinalità) se esiste una funzione biiettiva definita sul
primo insieme a valori nel secondo.
Def. Un insieme ha la cardinalità del numerabile se è in biiezione con ℕ, cioè se ha cardinalità
i suoi ele e ti so o i fi iti ed è possi ile ele a li usa do ℕ come insieme di indici.
L’i sie e ℤ ha la stessa cardinalità di ℕ poiché la funzione
ℕ
, ovvero se
ℤ così definita:
{
È iniettiva e suriettiva, quindi biiettiva e quindi tra i due insiemi esiste una relazione di equipotenza.
Analogamente, l’i sie e
{ |
ℤ
ℕ
}⁄
dove
è una relazione di equivalenza in cui
.
Ne segue che ogni numero razionale può essere espresso come rapporto di due numeri ben definiti.
Il prodotto cartesiano di insiemi numerabili è numerabile e quindi, essendo la funzione che associa
lo è.
ℤ
ℕ
è u a iiezio e, si ha he l’i sie e ℤ
ℝ o è u e a ile, i fatti, o side ia o l’i te vallo
ℕ
è numerabile e quindi anche
, .
ipotizziamo che
ℝ
sia numerabile. Allora si dovrebbero poter elencare tutti i suoi
elementi (scritti come numeri decimali) usando ℕ come insieme di indici. Esiste cioè una funzione tale per
cui:
Dove
è la j-esima cifra decimale del i-esi o u e o dell’ele o.
Se (0,1) fosse davve o u e a ile o e soste ia o, allo a l’ele o sop asta te esau is e tutti i u e i
compresi tra 0 e 1, cioè non ci sono numeri compresi tra 0 e 1 che vengono saltati. Eppure, il numero così
costruito:
Dove
{
vale ualsiasi alt a p oposta si ile a uesta ….
È u u e o he è o p eso t a e ed è e ta e te dive so dal p i o u e o dell’ele o, esse do pe
costruzione
, è diverso anche dal secondo, poiché
e osì via… ui di è stato assurdo
ipotizzare che
fosse numerabile.
Def. Si dice che un insieme che ha la stessa cardinalità di (0,1) ha cardinalità del continuo.
Inoltre, ℝ è equipotente a (0,1), infatti, la funzione
è biunivoca su (0,1) e ha valori su
tutto ℝ, quindi è biiezione (0,1) è in biiezione con ℝ e quindi anche ℝ ha cardinalità del continuo.
