Prerequisiti al corso di Didattica della matematica II della SSIS
(didattica dell’algebra)
Insiemi e sottoinsiemi. Operazioni tra insiemi e proprietà. Cardinalità di un insieme. Il teorema di
Cantor-Bernstein. L’aritmetica dei cardinali. L’assioma di scelta.
Gli insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali, complessi): loro costruzioni, loro
rappresentazioni e loro cardinalità. Il principio di induzione.
Relazioni e funzioni. Composizione di funzioni e proprietà. La struttura di gruppo e di gruppo
commutativo, esempi. Sottogruppi invarianti. Gruppo quoziente. Omomorfismi ed isomorfismi di
gruppi: principali teoremi. Struttura dell’insieme delle funzioni biunivoche su un insieme.
Esponenziali e logaritmi.
La struttura di anello e di anello commutativo con identità, esempi vari. Ideali bilateri. Anello
quoziente. Omomorfismi, isomorfismi e teoremi relativi. Caratteristica di un anello. Domini di
integrità. Ideali primi e ideali massimali. Anelli fattoriali e anelli euclidei. L’anello dei polinomi. La
struttura di campo. Struttura del quoziente di un dominio di integrità rispetto ad ideale massimale.
Le strutture delle classi di resto modulo n. Il campo dei quozienti di un dominio di integrità. Le
strutture dei vari insiemi numerici.
Estensione di un campo. Estensioni algebriche e trascendenti. Campo di spezzamento di un
polinomio. Campi di Galois.
Riferimenti bibliografici
Un qualsiasi buon testo universitario di algebra
